辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学 立体几何初步章末检测 北师大版必修2.doc
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辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学
立体几何初步章末检测
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第一章 立体几何初步 章末检测
(时间∶120分钟 满分∶150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是( )
a．3π b．3π c．6π d．9π
2．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( )
a．相交 b．异面 c．相交或异面 d．平行
3．一个正方体的8个顶点都在表面积为4π的球面上，则正方体的表面积为( )
a．8 b．8 c．8 d．4
4．在空间，下列命题正确的是( )
a．平行直线的平行投影重合
b．平行于同一直线的两个平面平行
c．垂直于同一平面的两个平面平行
d．垂直于同一平面的两条直线平行
5．如图所示，一个空间几何体的三视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )
a. b. c. d．1
6．在空间中，下列说法中不正确的是( )
a．两组对边相等的四边形是平行四边形
b．两组对边平行的四边形是平行四边形
c．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
d．对角线互相平分的四边形是平行四边形
7．如图，下列物体的主视图和俯视图中有错误的一项是( )
8．如图，在正方体abcd－a1b1c1d1中，m、n分别是bb1、bc的中点，则图中阴影部分在平面add1a1上的正投影为( )
9．矩形abcd中，ab＝4，bc＝3，沿ac将矩形abcd折成一个空间四边形，使面bac⊥面dac，则四面体abcd的外接球的体积为( )
a.π b.π c.π d.π
10．如图(1)所示，已知正方体的棱长为1，沿阴影面将它切割成两部分，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为( )
a．2＋2 b．4＋2
c．2＋ d．4＋
11．如图所示，点p是△abc所在平面外一点，pa、pb、pc两两垂直，且po⊥平面abc于点o，则点o是△abc的( )
a．外心 b．内心 c．垂心 d．重心
12．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
a．若l⊥m，mα，则l⊥α
b．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
c．若l∥α，mα，则l∥m
d．若l∥α，m∥α，则l∥m
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如图，一个一端开口圆柱形的锅炉，底面直径d＝1 m，高h＝2.3 m，则锅炉的表面积为________(π取3.14)．
14．正方体的棱长为3 cm，在每一个面的正中央有一个正方形孔通过对面，孔的边长为1 cm，孔的各棱分别平行于正方体的各棱，则该几何体的体积是________．
15.
如图所示，在直四棱柱abcd—a1b1c1d1中，当底面四边形a1b1c1d1满足条件________时，有a1c⊥b1d1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
16．下列四个命题：①若a∥b，a∥α，则b∥α；②若a∥α，bα，则a∥b；③若a∥α，则a平行于α内所有的直线；④若a∥α，a∥b，bα，则b∥α.
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段ab＝4，ac、bd分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线ab，并且ac＝3，bd＝12，求cd长．
18．(12分)求证：平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形．
19.(12分)某几何体的三视图如图所示，p是正方形abcd对角线的交点，g是pb的中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：pd∥面agc，
②证明：面pbd⊥面agc.
20．(12分)
如图所示，在四面体abcd中，若棱cd＝，其余各棱长都为1，试问：在这个四面体中，是否存在两个面互相垂直？证明你的结论．
21．(12分)如图，在四棱锥p－abcd中，侧面pad⊥底面abcd，侧棱pa⊥pd，底面abcd是直角梯形，其中bc∥ad，∠bad＝90，ad＝3bc，o是ad上一点．
(1)若cd∥平面pbo，试指出点o的位置；
(2)求证：平面pab⊥平面pcd.
22．(12分)如图，在直四棱柱abcd—a1b1c1d1中，底面abcd为等腰梯形，ab∥cd，ab＝4，bc＝cd＝2，aa1＝2，e，e1分别是棱ad，aa1的中点．
(1)设f是棱ab的中点，求证：直线ee1∥平面fcc1；
(2)求证：平面d1ac⊥平面bb1c1c.
【答案解析】
1．a 2.c 3.a
4．d [由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合，因此a不对．平行于同一直线的两个平面可以平行也可以相交，故b不对，垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行，故c不对．由于垂直于同一平面的两条直线平行，故d正确．]
5．a 6.a 7.d 8.a
9．c [球o为ac中点，半径为ac＝，v＝πr3＝π.选c.]
10．b [s全＝412＋21＝4＋2.]
11．c
[(如图)
连接ao并延长交bc于h，
由题意知，ap⊥面pbc，
∴ap⊥bc.
又po⊥面abc，∴po⊥bc，
∴bc⊥面aph，∴bc⊥ah.
同理co⊥ab.∴o为△abc的垂心．]
12．b [对于a，由l⊥m及mα，可知l与α的位置关系有平行、相交或在平面内三种，故a不正确．b正确．对于c，由l∥α，mα知，l与m的位置关系为平行或异面，故c不正确．对于d，由l∥α，m∥α知，l与m的位置关系为平行、异面或相交，故d不正确．]
13．8.0 m2 14.20 cm3
15．b1d1⊥a1c1(答案不唯一)
解析 由直四棱柱可知cc1⊥面a1b1c1d1，
所以cc1⊥b1d1，要使b1d1⊥a1c，
只要b1d1⊥平面a1cc1，所以只要b1d1⊥a1c1，
还可以填写四边形a1b1c1d1是菱形，正方形等条件．
16．④
解析 ①中b可能在α内；②a与b可能异面；③a可能与α内的直线异面．
17.
解 连接bc.∵ac⊥l，
∴bc＝＝＝5.
又∵bd⊥l，α⊥β，α∩β＝l，
∴bd⊥α.
又∵bcα，∴bd⊥bc.
∴cd＝＝＝13.
∴cd长为13 cm.
18.
已知 如图所示，三棱锥s—abc，sc∥截面hf，ab∥截面hf.
求证 截面efgh是平行四边形．
证明 ∵sc∥截面hf，sc平面asc，且平面asc∩平面hf＝hg.
由线面平行的性质定理得sc∥hg.
同理可证sc∥ef，∴hg∥ef.
同理可证he∥gf，
∴四边形efgh是平行四边形．
19．(1)解 该几何体的直观图如图所示
(2)证明 ①连接ac，bd交于点o，连接og，因为g为pb的中点，o为bd的中点，所以og∥pd.
又og面agc，pd面agc，
所以pd∥面agc.
②连接po，由三视图，po⊥面abcd，所以ao⊥po.
又ao⊥bo，所以ao⊥面pbd.
因为ao面agc，
所以面pbd⊥面agc.
20．解 存在两个互相垂直的平面，
即平面acd⊥平面bcd.
过a作ae⊥cd，∵ad＝ac＝1，dc＝，
∴∠dac＝90，∴ae＝，
连接be，
∵bd＝bc＝1，cd＝，be⊥dc，be＝，
∴∠aeb是二面角a—cd—b的平面角．
∵ab＝1，∴ab2＝ae2＋be2，
∴∠aeb＝90，
∴平面acd⊥平面bcd.
21．(1)解 ∵cd∥平面pbo，cd平面abcd，
且平面abcd∩平面pbo＝bo，
∴bo∥cd.
又bc∥ad，∴四边形bcdo为平行四边形．
则bc＝do，而ad＝3bc，
∴ad＝3od，即点o是靠近点d的线段ad的一个三等分点．
(2)证明 ∵侧面pad⊥底面abcd，
面pad∩面abcd＝ad，ab底面abcd，
且ab⊥ad，
∴ab⊥平面pad.又pd平面pad，
∴ab⊥pd.
又pa⊥pd，且pa面pab，ab面pab，ab∩pa＝a，
∴pd⊥平面pab.
又pd平面pcd，
∴平面pab⊥平面pcd.
22．证明 (1)方法一 取a1b1的中点为f1.
连接ff1，c1f1，cf1，a1d.
由于ff1∥bb1∥cc1，
所以f1∈平面fcc1，
因此平面fcc1即为平面c1cff1.
连接a1d，f1c，
由于a1f1d1c1cd，
所以四边形a1dcf1为平行四边形，因此，a1d∥f1c，又ee1∥a1d，∴ee1∥f1c.
而ee1平面fcc1，f1c平面fcc1.
故ee1∥平面fcc1.
方法二 因为f为ab的中点，cd＝2，ab＝4，
ab∥cd，所以cdaf，
因此四边形afcd为平行四边形，所以ad∥fc.
又cc1∥dd1，fc∩cc1＝c，fc平面fcc1，cc1平面fcc1，ad∩dd1＝d，ad平面add1a1，dd1平面add1a1.
所以平面add1a1∥平面fcc1.
又ee1平面add1a1，所以ee1∥平面fcc1.
(2)在△fbc中，fc＝bc＝fb，
又f为ab的中点，所以af＝fc＝fb.
因此∠acb＝90，即ac⊥bc.
又ac⊥cc1，且cc1∩bc＝c，
所以ac⊥平面bb1c1c.
而ac平面d1ac，
故平面d1ac⊥平面bb1c1c.
9
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