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2.4.2抛物线的几何性质(一)一、基础过关1设点a为抛物线y24x上一点,点b(1,0),且ab1,则a的横坐标的值为_2以x轴为对称轴的抛物线的通径长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为_3经过抛物线y22px (p0)的焦点作一直线交抛物线于a(x1,y1)、b(x2,y2)两点,则的值是_4过抛物线y22px的焦点f的直线与抛物线交于a、b两点,若a、b在准线上的射影为a1、b1,则a1fb1_.5等腰rtabo内接于抛物线y22px (p0),o为抛物线的顶点,oaob,则rtabo的面积是_6.如图所示,过抛物线y22px (p0)的焦点f的直线l交抛物线于点a、b,交其准线于点c,若bc2bf,且af3,则此抛物线的方程为_7过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于a,b两点,设a(x1,y1), b(x2,y2)若x1x26,则ab_.二、能力提升8如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m水位下降1 m后,水面宽_ m.9已知abc的三个顶点都在y232x上,a(2,8),且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合,则直线bc的斜率是_10正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y22px (p0)上,求这个正三角形的边长11线段ab过x轴正半轴上一定点m(m,0),端点a、b到x轴的距离之积为2m,以x轴为对称轴,过a、o、b三点作抛物线求抛物线的方程12已知过抛物线y22px (p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2) (x10)的焦点f的直线交抛物线于a、b两点,设a(x1,y1),b(x2,y2),则称ab为抛物线的焦点弦求证:(1)y1y2p2;x1x2;(2)以ab为直径的圆与抛物线的准线相切答案102y28x或y28x3449054p26y23x78829410解如图所示,设正三角形oab的顶点a,b在抛物线上,且坐标分别为a(x1,y1),b(x2,y2),则y2px1,y2px2.又oaob,所以xyxy,即xx2px12px20.整理得(x1x2)(x1x22p)0.x10,x20,2p0,x1x2.由此可得|y1|y2|,即线段ab关于x轴对称由此得aox30,y1x1.与y2px1联立,解得y12p,ab2y14p.11解画图可知抛物线的方程为y22px (p0),直线ab的方程为xkym,由消去x,整理得y22pky2pm0,由根与系数的关系得y1y22pm,由已知条件知|y1|y2|2m,从而p1,故抛物线方程为y22x.12解(1)直线ab的方程是y2,与y22px联立,从而有4x25pxp20,所以x1x2,由抛物线定义得abx1x2p9,所以p4,抛物线方程为y28x.(2)由p4,4x25pxp20,化简得x25x40,从而x11,x24,y12,y24,从而a(1,2),b(4,4)设(x3,y3)(1,2)(4,4)(14,24),又y8x3,即2(21)28(41),即(21)241,解得0或2.13证明如图所示(1)抛物线y22px (p0)的焦点f,准线方程:x.设直线ab的方程为xky,把它代入y22px,化简,得y22pkyp20.y1y2p2,x1x2.(2)设ab中点为c(x0,y0),过a、b、c分别作准线
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