高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 1 异面直线 2 空间两条直线的位置关系 1 相交直线 同一平面内 有且只有一个公共点 2 平行直线 同一平面内 没有公共点 3 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 做一做1平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关系是 答案 相交或异面 3 公理4 4 等角定理 做一做2已知 bac 30 ab a b ac a c 则 b a c a 30 b 150 c 30 或150 d 大小无法确定解析 当 b a c 与 bac开口方向相同时 b a c 30 当 b a c 与 bac开口方向相反时 b a c 150 答案 c 5 两条异面直线所成的角 夹角 做一做3在正方体abcd a1b1c1d1中 bae 25 则异面直线ae与b1c1所成的角的大小为 答案 65 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 没有公共点的两条直线一定是异面直线 2 两直线垂直 则这两条直线一定相交 3 两直线和第三条直线成等角 则这两条直线平行 答案 1 2 3 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 空间两条直线位置关系的判定 例1 1 在正方体abcd a1b1c1d1中 判断下列直线间的位置关系 a1b与d1c a1b与b1c d1d与ce e为c1d1的中点 ab与b1c 2 已知三条直线a b c a与b异面 b与c异面 那么a与c有什么样的位置关系 并画图说明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 思路分析 1 2 根据异面直线的定义分析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 解 1 平行 异面 相交 异面 2 直线a与c的位置关系有三种情况 如图所示 直线a与c可能平行 如图 可能相交 如图 可能异面 如图 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练1在本例的正方体中 所有与直线ab异面的棱所在的直线为 解析 正方体中与直线ab异面的棱所在的直线有 cc1 b1c1 dd1 a1d1 答案 cc1 b1c1 dd1 a1d1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 平行公理 等角定理的应用 例2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m m1分别是棱ad和a1d1的中点 1 求证 四边形bb1m1m为平行四边形 2 求证 bmc b1m1c1 思路分析 1 通过公理4证明mm1 bb1 且mm1 bb1 2 由 1 知b1m1 bm 同理证得c1m1 cm 再由等角定理证得 bmc b1m1c1 也可以通过证明 bcm b1c1m1证出 bmc b1m1c1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 证明 1 在正方形add1a1中 m m1分别为ad a1d1的中点 mm1aa1 又aa1bb1 mm1 bb1 且mm1 bb1 四边形bb1m1m为平行四边形 2 方法一 由 1 知四边形bb1m1m为平行四边形 b1m1 bm 同理可得四边形cc1m1m为平行四边形 c1m1 cm 由平面几何知识可知 bmc和 b1m1c1都是锐角 bmc b1m1c1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 方法二 由 1 知四边形bb1m1m为平行四边形 b1m1 bm 同理可得四边形cc1m1m为平行四边形 c1m1 cm 又b1c1 bc bcm b1c1m1 bmc b1m1c1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练2在本例中 若n1是d1c1的中点 则四边形m1n1ca是 填 平行四边形 或 梯形 答案 梯形 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 求异面直线所成的角 例3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是a1b1 b1c1的中点 求异面直线db1与ef所成角的大小 思路分析 先作出角 再证明角的两边分别与两异面直线平行 最后在三角形中求角 探究一 探究二 探究三 当堂检测 思维辨析 解法一 如图 1 连接a1c1 b1d1 并设它们相交于点o 取dd1的中点g 连接og 则og b1d ef a1c1 goa1为异面直线db1与ef所成的角或其补角 ga1 gc1 o为a1c1的中点 go a1c1 异面直线db1与ef所成的角为90 探究一 探究二 探究三 当堂检测 思维辨析 探究一 探究二 探究三 当堂检测 思维辨析 解法三 如图 3 在原正方体的右侧补上一个全等的正方体 连接b1q 则b1q ef 于是 db1q为异面直线db1与ef所成的角或其补角 通过计算 不难得到 b1d2 b1q2 dq2 从而异面直线db1与ef所成的角为90 探究一 探究二 探究三 当堂检测 思维辨析 探究一 探究二 探究三 当堂检测 思维辨析 探究一 探究二 探究三 当堂检测 思维辨析 变式训练3本例已知条件不变 则a1d与d1c的夹角为 解析 如图 连接a1b bd a1d1bc 四边形a1bcd1是平行四边形 d1c a1b ba1d就是a1d与d1c的夹角 a1bd是等边三角形 ba1d 60 即a1d与d1c的夹角是60 答案 60 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 因忽略异面直线所成的角的范围而致错典例已知ab bc bc cd de ae de bc 且ab bc cd 异面直线ab与cd成60 角 求异面直线ad与bc所成的角 错解 连接ae be 如图 所示 de bc bc cd bc cd 四边形bcde为正方形 ab bc ab bc 异面直线ab与cd成60 角 abe 60 abe是正三角形 ae ab bc de 又de ae ade是等腰直角三角形 ade 45 异面直线ad与bc所成的角的度数为45 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 错因分析 错误的原因是漏掉了如图 所示的情况 补齐即可 正解 同错解 连接ae be 如图 所示 de bc bc cd bc cd 四边形bcde是正方形 又ab bc ab bc 异面直线ab与cd成60 角 ab be abe 120 设ab 1 则 de ae 在rt ade中 ade 60 即异面直线ad与bc所成的角的度数为60 综上所述 异面直线ad与bc所成的角的度数为60 或45 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 变式训练已知在三棱锥a bcd中 ab cd 且直线ab与cd成60 角 点m n分别是bc ad的中点 则直线ab和mn所成的角为 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 解析 取ac的中点p 连接mp np 因为m n分别是bc ad的中点 所以 mpn 或其补角 为ab与cd所成的角 所以 pmn 或其补角 为ab与mn所成的角 因为直线ab与cd成60 角 所以 mpn 60 或 mpn 120 又因为ab cd 所以pm pn 若 mpn 60 则 pmn是等边三角形 所以 pmn 60 即ab与mn所成的角为60 若 mpn 120 则易知 pmn是等腰三角形 所以 pmn 30 即ab与mn所成的角为30 综上 ab与mn所成的角为60 或30 答案 60 或30 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 2 3 4 5 1 如果两条直线a和b没有公共点 那么a和b a 共面b 平行c 异面d 平行或异面解析 直线a b没有公共点时 a b可能平行 也可能异面 答案 d 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 2 3 4 5 2 直线a与直线b相交 直线c与直线b相交 则直线a与直线c的位置关系是 a 相交b 平行c 异面d 以上都有可能解析 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab与aa1相交 a1b1与aa1相交 ab a1b1 又ad与aa1相交 ab与ad相交 又a1d1与aa1相交 ab与a1d1异面 故选d 答案 d 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 2 3 4 5 3 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 异面直线ac与b1c1所成的角等于 解析 由于bc b1c1 则 acb就是异面直线ac与b1c1所成的角 又四边形abcd是正方形 则 acb 45 答案 45 探究一 探究二 探究三 思维辨析 当堂检测 1 2 3 4 5 4 已知