高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.6.2 直线与椭圆的综合问题课件 理.ppt

第二课时直线与椭圆的综合问题 考向一椭圆与向量的综合问题 典例1 1 2016 安庆模拟 p为椭圆 1上任意一点 ef为圆n x 1 2 y2 4的任意一条直径 则的取值范围是 a 0 15 b 5 15 c 5 21 d 5 21 2 已知椭圆c 1的左 右焦点分别为f1 f2 椭圆c上的点a满足af2 f1f2 若点p是椭圆c上的动点 则的最大值为 解题导引 1 利用化简可知通过a c a c 计算即得结论 2 由已知求出点a的坐标并设出点p的坐标 然后将用坐标表示 根据点p坐标的范围即可求出的最大值 规范解答 1 选c 因为a c a c 即3 5 所以的范围是 5 21 2 选b 由椭圆方程知c 1 所以f1 1 0 f2 1 0 因为椭圆c上点a满足af2 f1f2 则可设a 1 y0 代入椭圆方程可得 所以y0 设p x1 y1 则 x1 1 y1 0 y0 所以 y1y0 因为点p是椭圆c上的动点 所以 y1 的最大值为 规律方法 解决椭圆中与向量有关问题的方法 1 设出动点坐标 求出已知点的坐标 2 写出与题设有关的向量 3 利用向量的有关知识解决与椭圆 直线有关的问题 4 将向量问题转化为实际问题 变式训练 1 2016 福州模拟 椭圆 1的左 右焦点分别为f1 f2 p是椭圆上任一点 则的取值范围是 a 0 4 b 0 3 c 3 4 d 3 4 解析 选d 因为椭圆 1的左 右焦点分别为f1 1 0 f2 1 0 设p 2cos sin r 所以 1 2cos sin 1 2cos sin 所以 因为 r cos2 0 1 4 cos2 3 4 所以的取值范围是 3 4 2 2016 莆田模拟 如图 点a b分别是椭圆e 1 a b 0 的左 右顶点 圆b x 2 2 y2 9经过椭圆e的左焦点f1 1 求椭圆e的方程 2 过点a作直线l与y轴交于点q 与椭圆e交于点p 异于a 求的取值范围 解析 1 因为以椭圆e的右顶点b为圆心的圆b方程为 x 2 2 y2 9 所以圆b的圆心坐标的横坐标即为a的值 所以a 2 在圆b x 2 2 y2 9中令y 0 得f1 1 0 所以b2 4 1 3 所以椭圆e的方程为 1 2 当直线l为x轴时 显然有 0 设直线ap x ty 2 并与椭圆e的方程联立 消去x可得 4 3t2 y2 12ty 0 由椭圆e的方程可知 a 2 0 由根与系数的关系可得 在直线ap x ty 2中令x 0 得yq 所以综上所述 的取值范围为 0 2 加固训练 1 已知椭圆的右焦点f m 0 左 右准线分别为l1 x m 1 l2 x m 1 且l1 l2分别与直线y x相交于a b两点 1 若离心率为 求椭圆的方程 2 当 7时 求椭圆离心率的取值范围 解析 1 由已知 得c m m 1 从而a2 m m 1 b2 m 由e 得b c 从而m 1 故a b 1 故所求椭圆方程为 y2 1 2 易得a m 1 m 1 b m 1 m 1 从而 2m 1 m 1 1 m 1 故 2m 1 m 1 2 m2 4m 2 7 得0 m 1 由此离心率e 故所求的离心率取值范围为 2 已知椭圆 1 a b 0 f1 f2分别为椭圆的左 右焦点 a为椭圆的上顶点 直线af2交椭圆于另一点b 1 若 f1ab 90 求椭圆的离心率 2 若求椭圆的方程 解析 1 若 f1ab 90 则 aof2为等腰直角三角形 所以有oa of2 即b c 所以a c e 2 由题知a 0 b f1 c 0 f2 c 0 其中c 设b x y 由得 c b 2 x c y 解得即将b点坐标代入 1 得 1 即 1 解得a2 3c2 又由 c b 得b2 c2 1 即有a2 2c2 1 由 解得c2 1 a2 3 从而有b2 2 所以椭圆的方程为 考向二直线与椭圆中的参数问题 典例2 2014 全国卷 设f1 f2分别是椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点 m是c上一点且mf2与x轴垂直 直线mf1与c的另一个交点为n 1 若直线mn的斜率为 求c的离心率 2 若直线mn在y轴上的截距为2 且 mn 5 f1n 求a b 解题导引 1 由斜率条件可得到a b c的关系式 然后由b2 a2 c2消去b2 再 两边同除以a2 即得到关于离心率e的二次方程 由此解出离心率 2 利用 mf2 y轴 及 截距为2 可得ym 4 然后求出m n点坐标 代入椭圆方程即可求出a b的值 规范解答 1 因为由题知 所以又a2 b2 c2 联立整理得 2e2 3e 2 0 解得e 所以c的离心率为 2 由三角形中位线知识可知 mf2 2 2 即 4 设 f1n m 由题可知 mf1 4m 由两直角三角形相似 可得m n两点横坐标分别为c c 所以m c 4 代入椭圆方程 得两式相减得 再结合 4 及a2 b2 c2 可求得 a 7 b 2 规律方法 确定直线与椭圆中有关参数的方法1 依据题设中的条件 建立与参数有关的方程 2 解方程可求得参数的值 注意椭圆中的隐含条件a2 b2 c2 变式训练 如图 f1 f2分别是椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点 a是椭圆c的顶点 b是直线af2与椭圆c的另一个交点 f1af2 60 1 求椭圆c的离心率 2 已知 af1b的面积为40 求a b的值 解析 1 f1af2 60 a 2c e 2 设 bf2 m 则 bf1 2a m 在三角形bf1f2中 bf1 2 bf2 2 f1f2 2 2 bf2 f1f2 cos120 2a m 2 m2 a2 am m a af1b的面积s a 10 所以c 5 b 5 加固训练 1 2016 呼和浩特模拟 已知椭圆的两焦点为f1 0 f2 0 离心率e 1 求此椭圆的方程 2 设直线l y x m 若l与此椭圆相交于p q两点 且 pq 等于椭圆的短轴长 求m的值 解析 1 设椭圆方程为 1 a b 0 则c 所以a 2 b 1 所求椭圆方程为 y2 1 2 由消去y 得5x2 8mx 4 m2 1 0 则 0 得m2 5 设p x1 y1 q x2 y2 则x1 x2 x1x2 y1 y2 x1 x2 pq 2 解得m 满足 所以m 2 2016 徐州模拟 已知椭圆e 1过点且右焦点为f 1 0 右顶点为a 过点f的弦为bc 直线ba 直线ca分别交直线l x m m 2 于p q两点 1 求椭圆方程 2 若fp fq 求m的值 解析 1 由 1 a2 b2 1 解得a2 4 b2 3 所以椭圆方程为 1 2 当直线bc的斜率存在且不为0时 设b x0 y0 则bc y x 1 与椭圆e 1联立组成方程组 解得或所以 显然kab kap kac kaq 所以kapkaq 设q m y1 kfq 同理kfp kap 所以kfpkfq 1 又m 2 所以所以m 4 当bc的斜率不存在时 bc的方程为x 1 令ac的方程为 即3x 2y 6 0 ab的方程为 即3x 2y 6 0 又fq fp 所以kfq kfp 1 解上式得m 舍 或m 4 综上可知 m 4 考向三直线与椭圆的位置关系 考情快递 考题例析 命题方向1 由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质 典例3 2015 安徽高考 设椭圆e的方程为 1 a b 0 点o为坐标原点 点a的坐标为 a 0 点b的坐标为 0 b 点m在线段ab上 满足 bm 2 ma 直线om的斜率为 1 求e的离心率e 2 设点c的坐标为 0 b n为线段ac的中点 点n关于直线ab的对称点的纵坐标为 求e的方程 解题导引 1 可先求出m点的坐标 利用直线om的斜率 即可得出关于a b的等式 再利用椭圆中a b c之间的关系求离心率 2 利用 1 的结果 椭圆中a b c都可利用b来表示 充分利用题设条件 得出关于b的方程 解方程即可求得b值 进而得出椭圆方程 解析 1 由题意可知点m的坐标是又kom 所以进而得a b 故e 2 直线ab的方程为 1 点n的坐标为设点n关于直线ab的对称点s的坐标为则ns的中点t的坐标为又点t在直线ab上 且kns kab 1 从而有 b 3 所以a 3 故椭圆的方程为 1 命题方向2 由直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题 典例4 2015 江苏高考改编 如图 在平面直角坐标系xoy中 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为 且右焦点f到直线l x 的距离为3 1 求椭圆的标准方程 2 过f的直线与椭圆交于a b两点 线段ab的垂直平分线分别交直线l和ab于点p c 若 pc 2 ab 求直线ab的方程 解题导引 1 求椭圆标准方程 只需列两个独立条件即可 一是离心率为 二是右焦点f到左准线l的距离为3 解方程组即得 2 本题关键就是根据 pc 2 ab 列出关于斜率的等量关系 规范解答 1 由题意 得且c 3 解得a c 1 则b 1 所以椭圆的标准方程为 y2 1 2 当ab x轴时 ab 又cp 3 不合题意 当ab与x轴不垂直时 设直线ab的方程为y k x 1 a x1 y1 b x2 y2 将ab的方程代入椭圆方程 得 1 2k2 x2 4k2x 2 k2 1 0 则x1 2 c的坐标为且 ab 若k 0 则线段ab的垂直平分线为y轴 与左准线平行 不合题意 从而k 0 故直线pc的方程为 则p点的坐标为从而 pc 因为 pc 2 ab 所以解得 k 1 此时ab的方程为y x 1或y x 1 母题变式 1 若将条件 pc 2 ab 改为 pc ab 结果如何 解析 由例题可知 ab pc 又因为 pc ab 即解上式得 k 此时ab的方程为y x 或y x 2 若将条件 pc 2 ab 改为 pc ab 结果如何 解析 由例题可知 ab pc 又因为 pc ab 即化简上式得 3k4 1 0 显然上式不成立 因此满足条件的直线ab不存在 技法感悟 1 由直线与椭圆位置关系解决离心率问题的思路由题中条件寻找a b c间的关系式 等式或不等式 然后借助a2 b2 c2转化为的方程或不等式即可 2 直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法 题组通关 1 2016 福州模拟 椭圆的焦点为f1 f2 过f1的最短弦pq的长为10 pf2q的周长为36 则此椭圆的离心率为 解析 选c pq为过f1垂直于x轴的弦 则 pf2q的周长为36 所以4a 36 a 9 由已知 5 即 5 又a 9 解得c 6 解得即e 2 2016 宝鸡模拟 已知椭圆x2 2y2 4 则以 1 1 为中点的弦的长度为 解析 选c 易知该弦所在直线的斜率存在 由题意可设y 1 k x 1 所以y kx 1 k 代入椭圆方程 得x2 2 kx 1 k 2 4 所以 2k2 1 x2 4k 1 k x 2 1 k 2 4 0 由x1 x2 2 得k x1x2 所以 x1