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最短路径问题 1 问题 如图 点A B分别在直线l的两侧 你能在直线l上找到一点C 使点C到点A 点B的距离和最短吗 试一试 并说明理由 C 这样作的依据 两点之间 线段最短 最短路径问题 基本类型 2 原题再现1 河边饮马问题 如图 牧马人从A地出发 到一条笔直的河边饮马 然后到B地 牧马人到河边的什么地方饮马 可使所走的路径最短 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 类型1 轴对称 3 可转化为以下问题 如图 点A B分别是直线l同侧的两个点 如何在l上找到一点C 使点C到点A 点B的距离和最短 A C 1 作点A关于直线l的对称点A 2 连接A B 与直线l相交于点C 则点C即为所求 类型1 轴对称 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 4 B C 可转化为以下问题 如图 点A B分别是直线l同侧的两个点 如何在l上找到一点C 使点C到点A 点B的距离和最短 1 作点B关于直线l的对称点B 2 连接AB 与直线l相交于点C 则点C即为所求 类型1 轴对称 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 5 点击中考 1 2013广西中考 如图3 在正方形ABCD中 E是AB上一点 BE 2 AE 3BE P是AC上一动点 则PB PE的最小值是 2 2013 济宁中考 如图4 在直角坐标系中 点A B的坐标分别为 1 4 和 3 0 点C是y轴上的一个动点 且A B C三点不在同一条直线上 当 ABC的周长最小时 点C的坐标是 A 0 0 B 0 1 C 0 2 D 0 3 图3 图4 类型1 轴对称 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 6 原题再现 造桥选址问题 如图1 A和B两地在一条河的两岸 现要在河上造一座桥MN 桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 图1 类型2 平移 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 7 原题再现 造桥选址问题 可转化成以下问题 如图 直线a b平行 N为直线b上的一个动点 MN垂直于直线b 交直线a与点M 当点N在直线b的什么位置时 AM MN NB最小 A A B M N a b 问题转化为 当点N在直线b的什么位置时 A N NB最小 问题转化为 当点N在直线b的什么位置时 AM NB最小 类型2 平移 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 8 原题再现 造桥选址问题 可转化成以下问题 如图 直线a b平行 N为直线b上的一个动点 MN垂直于直线b 交直线a与点M 当点N在直线b的什么位置时 AM MN NB最小 A B M N a b A 问题转化为 当点N在直线b的什么位置时 A N NB最小 问题转化为 当点N在直线b的什么位置时 AM NB最小 线段A B与直线b的交点N的位置即为所求 即在点N处造桥MN 所得路径AMNB是最短的 类型2 平移 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 9 拓展应用 如图 A和B两地之间有两条河 现要在两条河上各造一座桥MN和PQ 桥造在何处才能使从A到B的路径最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 类型2 平移 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 10 拓展应用 如图 A和B两地之间有两条河 现要在两条河上各造一座桥MN和PQ 桥造在何处才能使从A到B的路径最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 A B 类型2 平移 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 11 拓展应用 如图 A和B两地之间有两条河 现要在两条河上各造一座桥MN和PQ 桥造在何处才能使从A到B的路径最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 A B M N P Q A B 线段A B 与直线b c分别交与点N P 即在点N处建桥MN 在点P处建桥PQ 所得路径AMNPQB最短 类型2 平移 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 12 1 如图7 底面半径为1 母线长为4的圆锥 一只小蚂蚁若从A点出发 绕侧面一周又回到A点 它爬行的最短路线长是 通过化立体为平面 用 两点之间 线段最短 求最短路径 类型3 立体 平面 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 B 13 2 如图8 边长为1的正方体中 一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 A 3 B C 2 D 13 如图9是一个圆柱体木块 一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物 知圆柱体的高为5cm 底面圆的周长为24cm 则蚂蚁爬行的最短路径为 图8 图9 B 类型3 立体 平面 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 13cm 14 2013 东营 16 4分 如图 圆柱形容器中 高为1 2m 底面周长为1m 在容器内壁离容器底部0 3m的点B处有一蚊子 此时一只壁虎正好在容器外壁 离容器上沿0 3m与蚊子相对的点A处 则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m 容器厚度忽略不计 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 1 3 类型4 综合运用 P 15 感悟收获 最短路径问题 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 A C 类型1 轴对称 类型2 平移 A B A B 类型3 立体 平面 依据 两点之间线段最短 16 1 现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带 金丝带的宽度忽略不计 圆柱体高为6cm 底面圆周长为16cm 则所缠金丝带长度的最小值为 2 在菱形ABCD中 AB 2 BAD 60 点E是AB的中点 P是对角线AC上的一个动点 则PE PB的最小值为 3 在平面直角坐标系中 有A 3 2 B 4 2 两点 现另取一点C 1 n 当n 时 AC BC的值最小 练习反馈 最短路径问题 第1题 第2题 17 4 在平面直角坐标系中 矩形OACB的顶点O在坐标原点 顶点A B分别在x轴 y轴的正半轴上 OA 3 OB 4 D为边OB的中点 若E为边OA上的一个动点 当 CDE的周长最小时 求点的坐标 若E F为边上的两个动点 且EF 2 当四边形CDEF的周长最小时 求点E F的坐标 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 练习反馈 18 4 在平面直角坐标系中 矩形OACB的顶点O在坐标原点 顶点A B分别在x轴 y轴的正半轴上 OA 3 OB 4 D为边OB的中点 若E为边OA上的一个动点 当 CDE的周长最小时 求点的坐标 若E F为边上的两个动点 且EF 2 当四边形CDEF的周长最小时 求点E F的坐标 练习反馈 利用 转化 思想 把相关问题转化为基本类型 E F 19 4 在平面直角坐标系中 矩形OACB的顶点O在坐标原点 顶点A B分别在x轴 y轴的正半轴上 OA 3 OB 4 D为边