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第七讲 平面图形的等积变形与求积问题(一)【主题策划】平面图形问题是小学阶段非常重要的知识，学好它不仅为我们上初中学习几何打下基础，而且可以开发智力，丰富我们的解题思路。从本讲开始，我们来研究与多边形面积有关的知识。部分多边形面积公式：(1) (2)三角形面积公式 - 正方形面积公式- (3) (4)长方形面积公式- 平行四边形面积公式- （5） 梯形面积公式- 梯形面积公式- （注：a为梯形的中位线。）【五环旗下】例1、下面是一个长方形纸片，请你在这张纸片上画出一个正方形。你有几种不同方法呢？分析与解：方法一：用“量”的方法。方法二：用“折”的方法。方法三：再做一个与原长方形纸片一样的纸片，用“重叠”的方法得到正方形。例2、如右下图，在大正方形中画两条互相垂直的线段，把大正方形分成A、B、C、D四部分。已知大正方形的边长是5厘米，A是一个边长为2厘米的正方形。请问：1、D是正方形吗？ 2、B、C的形状一样吗？3、B、C、D的面积分别是多少？4、B的面积是A的多少倍？D的面积是C的多少倍？分析与解：1、D是正方形。 2、B、C两个长方形面积相等、形状完全相同。3、D的面积为（52）（52）=9（平方厘米），B、C的面积为（52）2=6（平方厘米），4、B的面积是A的64=1.5倍，D的面积是C的96=1.5倍。由问题4可以得出，或BC=AD这两个等式，这两个等式在以后的学习中经常用到，请同学们把它记住。例3、用四个长为5厘米，宽为3厘米的长方形纸片，可以摆成图1，请问：1、图1中两个正方形的边长各是多少厘米？2、图2中四边形EFGH的面积是多少平方厘米？ 图1 图2分析与解：1、图1中大正方形的边长为53=8厘米，小正方形的边长为53=2厘米。2、图2中正方形EFGH的面积为（35）4222=34（平方厘米）。(求EFGH的面积还有其它方法，请同学们自己想一想。)注：我国古代三国时期的数学家赵爽，就是用这个图形证明了著名的“勾股定理”。这个图形在中国古代称为弦图，是一个非常有用的基本构图。例4、（1）如图1、图2，两个完全一样的三角形可以拼成一个长方形或平行四边形，三角形的面积是拼成图形面积的（ ）。（2）如图3，三角形ABC的面积是平行四边形面积的（ ）；阴影部分面积和是平行四边形面积的（ ）；（3）图4中的三个三角形的面积都等于长方形面积的（ ），为什么这三个三角形面积相等？分析与解：（1）。（2）、。（3），因为这三个三角形的底相同，高相等，同底等高的两个三角形面积必相等。注：在长方形中可以画很多面积相等的三角形，这些三角形的关系是：同底等高。例5、（1）如图1，O为长方形ABCD内任意一点，图中两块阴影的面积和占长方形面积的几分之几，为什么？（2）如图2， O为对角线AC上一点，图2中两个阴影三角形面积存在着怎样的关系呢？为什么？ 分析与解：（1）：图1中两块阴影面积和占长方形面积的，过O点做长方形长的平行线如图3，这条平行线将原长方形分成两个小长方形，阴影三角形AOD是上面长方形面积的，阴影三角形BOC是下面长方形面积的，所以两块阴影面积和占大长方形面积的。（2）：图2中两个阴影三角形面积相等。因为SAODSOBC=长方形面积的； SABOSOBC=长方形面积的；所以SAOD=SABO。 同理SOBC=SOCD。注：由问题1、问题2推出的两个结论很重要，请同学们一定要记住。例6、下图中O是大长方形对角线上一点，你能说明长方形甲与长方形乙面积相等吗？分析与解：因为SACD=SAOHSOCGS长方形乙 SACB=SAOESOCFS长方形甲 又因为SACD=SACB，SAOH=SAOE，SOCG=SOCF， 所以，长方形甲的面积等于长方形乙的面积。注：牢记这两个形状不同面积相等的长方形，它成立的条件是：O点在大长方形对角线上。例7、观察下图，在三角形ABO中，C、D、F为AB边的四等分点。请问：（1）三角形FBO面积是三角形ABO面积的几分之几？（2）三角形AFO的面积是三角形FOB面积的几倍？（3）三角形FOB的面积是三角形AFO面积的几分之几？分析与解：（1）三角形FBO的面积是三角形ABO面积的。（2）三角形AFO的面积是三角形FOB面积的3倍。（3）三角形FOB的面积是三角形AFO面积的。注：知道高相等的两个三角形面积的比，等于对应底的比。例8、如下图，梯形对角线把梯形ABCD分为四个三角形，这四个三角形有怎样的关系呢？分析与解：1、有三组面积相等的三角形。（1）SABD=SACD；（2）SABC=SDBC；（同底等高的两个三角形面积相等。）（3）因为SABD=SACD，即SABOSAOD= SCODSAOD，所以SABO=SCDO（等量减等量差相等）。2、在三角形ACD中，三角形AOD与三角形OCD高相等；在三角形ACB中，三角形AOB与三角形OCB高相等，所以有下面的等式：SAOD/ SCOD= SABO/SOBC。或SAODSOBC = SCODSABO。注：这两个结论在以后的学习中经常用到，请同学们一定要记住。练习题：1、如下图，已经知道其中三部分的面积，你能求出大正方形的面积吗？（单位：厘米）2、图中的数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是多少？（本题选自南京市首届“希望杯”少年数学邀请赛决赛试题）3、如下图，一个大长方形被分成9个面积不相等的小长方形。其中A、B、C、D、E的面积分别是A=160，B=172，C=215，D=240，E=300（单位：平方厘米）。原来大长方形的面积是多少平方厘米？（本题选自北京市第十一届“迎春杯”数学竞赛刊赛试题。）4、街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道（如下图），如果甬道的面积是12平方米，那么中间花坛的面积是多少平方米？（北京市第十二届“迎春杯”刊赛试题。）5、如右下图，边长是整数的四边形AFED的面积是48平方厘米，FB为8厘米。那么正方形ABCD的面积是多少平方厘米？（本题是北京市第十三届“迎春杯”刊赛试题）6、一个矩形分成四个不同的三角形，绿色三角形面积占据形面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米。问矩形的面积是多少平方厘米？红绿红黄（第三届“华杯赛”初赛试题）7、一个直角梯形，若下底增加1.5米，则面积增加3.15平方米；若上底增加1.2米，就得到一个正方形。这个直角梯形的面积是多少平方米？（北京市第十一届“迎春杯”刊赛试题。）8、如图1，在长方形ABCD中，三角形ABG的面积为4平方厘米，三角形CDH的面积为5平方厘米。问：阴影四边形EGFH的面积是多少平方厘米？9、下面三角形ABC的面积为1平方分米，其中AE=3AB，BD=2BC，那么三角形BED的面积是多少平方分米？（北京市第四届“迎春杯”刊赛试题。）10、将大正方形每边四等分，然后连接AB、BC、CD、DA（如下图），把大正方形分成四个小三角形和一个四边形。如果阴影三角形的面积是12平方厘米，那么四边形ABCD的面积比四个小三角形面积之和大多少平方厘米？ 11、如下图，甲、乙、丙、丁四个长方形的面积和