高考数学一轮总复习 第十章 圆锥曲线 10.3 抛物线及其性质课件 理 新人教B版.ppt

10 3抛物线及其性质 高考理数 1 抛物线的定义到一定点f和定直线l f l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点f叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 注意 到一定点f和定直线l f l 距离相等的点的轨迹是过点f且垂直于l的直线 2 抛物线的标准方程 1 焦点在x轴上的统一方程 y2 mx m 0 焦点在y轴上的统一方程 x2 ny n 0 简记 对称轴看一次项 符号决定开口方向 2 标准方程的求法 定义法和待定系数法 知识清单 知识拓展 1 如图所示 ab是抛物线y2 2px p 0 过焦点f的一条弦 焦点弦 设a x1 y1 b x2 y2 ab的中点m x0 y0 过a m b分别向抛物线的准线作垂线 垂足分别为c e d 则根据抛物线的定义有 af ac bf bd 故 ab af bf ac bd 又me是梯形abdc的中位线 所以 ab ac bd 2 me 故有下列结论 1 以ab为直径的圆必与抛物线的准线相切 以cd为直径的圆切ab于点f 以af 或bf 为直 径的圆与y轴相切 aeb 90 cfd 90 等 2 ab x1 x2 p 3 若直线ab的倾斜角为 则 af bf ab s aob 4 a b两点的横坐标之积 纵坐标之积为定值 即x1x2 y1y2 p2 5 为定值 6 a o d共线 b o c共线 2 如图所示 ab是抛物线x2 2py p 0 的任意一条焦点弦 分别过a b作抛物线的切线 交于点p 则 1 p的轨迹为准线y 2 pa pb 3 pf ab 4 xp 抛物线的离心率e 1 体现了抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离 因此 涉及抛物线的焦半径 焦点弦的问题 可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离 即 pf x 或 pf y 使问题简化 反之 点到准线的距离也可转化为点到焦点的距离 例1 2012四川 8 5分 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点o 并且经过点m 2 y0 若点m到该抛物线焦点的距离为3 则 om a 2b 2c 4d 2解析由题意可设抛物线方程为y2 2px p 0 由 mf 2 3得p 2 抛物线方程为y2 4x 点m的坐标为 2 2 om 2 故选b 答案b 突破方法 方法1抛物线定义的应用 1 1设p是曲线y2 4x上的一个动点 1 求点p到点a 1 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值 2 若b 3 2 求 pb pf 的最小值 解析 1 如图 易知抛物线的焦点为f 1 0 准线是x 1 由抛物线的定义知点p到直线x 1的距离等于点p到f的距离 于是 问题转化为求点p到点a 1 1 的距离与点p到f 1 0 的距离之和的最小值 a p f三点共线时取得最小值 连结af交曲线于点p 故最小值为 af 2 如图 过b作bq垂直准线于q 交抛物线于p1 此时 p1q p1f 那么 pb pf p1b p1q bq 4 即 pb pf 的最小值为4 在抛物线中 记焦点f到准线l的距离为p 以抛物线的焦点f到准线l的垂线段的中点为坐标原点 以经过点f且垂直于直线l的直线为x 或y 轴建立坐标系 可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程 y2 2px x2 2py 其中p 0 求抛物线标准方程的一般步骤 1 判断焦点位置 2 设标准方程为y2 mx或x2 ny m n 0 3 求出参数m n 例2 2013课标全国 11 5分 设抛物线c y2 2px p 0 的焦点为f 点m在c上 mf 5 若以mf为直径的圆过点 0 2 则c的方程为 a y2 4x或y2 8xb y2 2x或y2 8xc y2 4x或y2 16xd y2 2x或y2 16x解析 以mf为直径的圆过点 0 2 点m在第一象限 由 mf xm 5得m 方法2抛物线的标准方程 从而以mf为直径的圆的圆心n的坐标为 点n的横坐标恰好等于圆的半径 圆与y轴切于点 0 2 从而2 即p2 10p 16 0 解得p 2或p 8 抛物线方程为y2 4x或y2 16x 故选c 答案c2 1如图 已知抛物线c的顶点在坐标原点 对称轴为x轴 直线ab交抛物线c于a b两点 交x轴正半轴于点m m 0 a b到x轴的距离之积为2m 求抛物线c的方程 解析由题意设抛物线方程为y2 2px p 0 当直线ab的斜率不存在时 ab x轴 由a b两点到x轴的距离之积是2m 得a b两点的坐标分 别为 m m 将a点坐标代入y2 2px 得2m 2pm p 1 抛物线c的方程为y2 2x 当直线ab的斜率存在时 设为k 则直线ab的方程为y k x m 由消去x 整理得y2 y km 0 y1 y2 y1y2 2mp 由已知得 y1y2 2m 则y1y2 2m 2mp 2m p 1 抛物线方程为y2 2x 综上 抛物线c的方程为y2 2x 设抛物线方程为y2 2px p 0 其焦点为f 过f的直线交抛物线于点a b 如图 设 af m bf n 利用结论 可解出m n 从而可解决相关问题 例3 2015陕西一模 10 已知直线l x y m 0经过抛物线c y2 2px p 0 的焦点 l与c交于a b两点 若 ab 6 则p的值为 方法3焦点弦的有关问题 a b c 1d 2解析由得x2 2m 2p x m2 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 2m 2p 又直线l x y m 0经过抛物线c y2 2px p 0 的焦点 0 m 0 解得m 又 ab x1 x2 p 2m 3p 4p 6 p 故选b 答案b 1 ab x1 x2 p 2 x1x2 y1y2 p2 3 以ab为直径的圆与抛物线的准线相切 4 3 1如图 ab为过抛物线y2 2px p 0 的焦点f的弦 点a b在抛物线准线上的射影为a1 b1 且a x1 y1 b x2 y2 求证 过抛物线x2 2py上两点a b作两条切线l1 l2 l1与l2的交点m的求法如下 由y 得y k1 k2 l1 y x x1 l2 y x x2 由 得m 例4 2013辽宁 20 12分 如图 抛物线c1 x2 4y c2 x2 2py p 0 点m x0 y0 在抛物线c2上 过m作c1的切线 切点为a b m为原点o时 a b重合于o 当x0 1 时 切线ma的斜率为 1 求p的值 2 当m在c2上运动时 求线段ab中点n的轨迹方程 a b重合于o时 中点为o 方法4抛物线的切线问题 解析 1 因为抛物线c1 x2 4y上任意一点 x y 的切线斜率为y 且切线ma的斜率为 所以a点坐标为 故切线ma的方程为y x 1 因为点m 1 y0 在切线ma及抛物线c2上 所以y0 2 且y0 由 得p 2 6分 2 设n x y a b x1 x2 由n为线段ab的中点知x y 切线ma mb的方程分别为y x x1 y x x2 由 得ma mb的交点m x0 y0 的坐标为x0 y0 因为点m x0 y0 在c2上 即 4y0 所以x1x2 由 得x2 y x 0 当x1 x2时 a b重合于原点o ab中点n为o 坐标满足x2 y 因此线段ab的中点n的轨迹方程为x2 y 12分 4 1已知抛物线方程为x2 2py p 0 焦点为f 过点f的直线交抛物线于a b两点 分别过a b两点作抛物线的切线l1 l