高三数学一轮复习 第十一篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理.ppt

第十一篇计数原理 概率 随机变量及其分布 必修3 选修2 3 六年新课标全国卷试题分析 第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理 知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 分类加法计数原理中 各类中方法都能独立完成一件事吗 提示 都能 2 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘法计数原理 提示 如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事 用分类加法计数原理 如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分 用分步乘法计数原理 知识梳理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 夯基自测 1 乘积 a1 a2 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 d1 d2 d3 d4 的展开式中共有不同的项的个数为 a 16 b 24 c 48 d 96解析 2 3 4 4 96 d 2 如图 一条电路由a到b接通时 有不同的线路的种数为 a 3 b 7 c 8 d 12 解析 3 1 2 2 8 c 3 4名学生参加三个体育运动项目的比赛 每名学生可以参加任何一项比赛 每个项目产生一名冠军 则各项冠军获得者的不同情况种数为 a 81 b 64 c 32 d 27解析 第一个项目的冠军获得情况有4种 同理第二 三个项目的冠军获得情况各有4种 故各项冠军获得者的不同情况有4 4 4 64 种 b 4 从一个小组的10名同学中产生一名组长 一名学生代表 则组长和学生代表不允许重复和允许重复的选法分别有种 种 解析 不允许重复时 组长选法有10种 学生代表选法有9种 根据分步乘法计数原理 得选法有10 9 90 种 如果允许重复 则组长和学生代表的选法均为10种 根据分步乘法计数原理 得选法共有10 10 100 种 答案 90100 5 用1 5 9 13中的任意一个数作分子 4 8 12 16中的任意一个数作分母 可构成个不同的分数 可构成个不同的真分数 解析 由于1 5 9 13是奇数 4 8 12 16是偶数 所以以1 5 9 13中的任意一个为分子 都可以与4 8 12 16中的一个构成分数 因此可以分两步构成分数 第一步 选分子 有4种选法 第二步 选分母 也有4种选法 共有分数4 4 16 个 真分数分四类 分子为1时 分母可以从4 8 12 16中选一个 有4个 分子为5时 分母可以从8 12 16中选一个 有3个 分子为9时 分母可以从12 16中选一个 有2个 分子为13时 分母只能选16 有1个 所以共有真分数4 3 2 1 10 个 答案 1610 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 分类加法计数原理 例1 某单位有甲乙丙丁四个部门 甲部门有工作人员8名 乙部门有工作人员10名 丙部门有工作人员12名 丁部门有工作人员15名 现从该单位选派一名志愿者参加社会公益活动 共有多少种不同的选派方法 解 从甲部门选派有8种不同的选派方法 从乙部门选派有10种不同的选派方法 从丙部门选派有12种不同的选派方法 从丁部门选派有15种不同的选派方法 根据分类加法计数原理 共有不同的选派方法数8 10 12 15 45 种 反思归纳本题是分类加法计数原理的直接应用 解题时首先把问题分类 不重复也不遗漏 确定每类中的方法数 最后按照分类加法计数原理得出结果 即时训练 x y是两个正整数 则满足x y 10的数对 x y 有多少个 解 当x 1时 y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 有数对9个 当x 2时 y 1 2 3 4 5 6 7 8有数对8个 同理可得当x 3 4 5 6 7 8 9时分别有数对7 6 5 4 3 2 1个 根据分类加法计数原理可得 共有数对9 8 2 1 45 个 考点二 分步乘法计数原理 例2 1 某单位有甲乙丙丁四个部门 甲部门有工作人员8名 乙部门有工作人员10名 丙部门有工作人员12名 丁部门有工作人员15名 现从该单位四个部门中各选派一名志愿者参加社会公益活动 共有多少种不同的选派方法 2 甲 乙 丙3人站到共有7级的台阶上 若每级台阶最多站2人 同一级台阶上的人不区分站的位置 则不同的站法有多少种 解 1 选派工作人员可以分四个步骤完成 第一步从甲部门选派一人 有8种不同的选派方法 第二步从乙部门选派一人 有10种不同的选派方法 第三步从丙部门选派一人 有12种不同的选派方法 第四步从丁部门选派一人 有15种不同的选派方法 根据分步乘法计数原理 共有不同的选派方法数8 10 12 15 14400 种 2 甲有7种站法 乙也有7种站法 丙也有7种站法 故不考虑限制共有站法7 7 7 343 种 其中三个人站在同一台阶上的有7种站法 故符合本题要求的不同站法有343 7 336 种 反思归纳如果 一件事情 需要分成若干步骤才能完成 则就需要使用分步乘法计数原理来计算完成这件事情的方法总数 如果其中存在某些特殊情况 则从总数中减去特殊情况的数目即可 这种间接求解的方法是计数问题中经常使用的 即时训练 四名旅客到三家旅馆住宿 每家旅馆不限制人数 问共有多少种不同的住宿方法 解 第一名有3种住宿方法 第二 三 四名旅客也各有3种住宿方法 只有这四名旅客都住宿完毕 这件事情才算完成 根据分步乘法计数原理 共有3 3 3 3 81 种 不同的住宿方法 两个计数原理的综合 考点三 例3 甲 乙 丙3个班各有三好学生3 5 2名 现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会 共有多少种不同的推选方法 解 分为三类 第一类 甲班选一名 乙班选一名 根据分步乘法计数原理有3 5 15 种 第二类 甲班选一名 丙班选一名 根据分步乘法计数原理有3 2 6 种 第三类 乙班选一名 丙班选一名 根据分步乘法计数原理有5 2 10 种 综合以上三类 根据分类加法计数原理 共有15 6 10 31 种 不同选法 反思归纳使用两个基本原理进行计数的基本思想是 先分类 再分步 即先分为若干个 既不重复也不遗漏 的类 再对每类中的计数问题分成若干个 完整的步骤 求出每个步骤的方法数 按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数 最后再按照分类加法计数原理得出总数 即时训练 在一个信号台上有三组信号灯 每组信号灯有三盏灯组成 每盏灯可出现红 黄 蓝三种颜色 其中第一组信号灯中的三盏灯可以出现三种颜色中的任意一种 第二组信号灯中的三盏灯不能出现完全相同颜色 第三组信号灯中的三盏灯出现的颜色各不相同 1 若这三组信号灯只有一组发出信号 可以发出多少种不同的信号 2 若三组同时发出信号 可以发出多少种不同的信号 解 第一组能发出的信号数为n1 3 3 3 27 种 第二组能发出的信号数为n2 27 3 24 种 第三组能发出的信号数为n3 3 2 1 6 种 1 三组信号灯只有一组发出信号 可发出信号n1 n2 n3 27 24 6 57 种 2 若三组同时发出信号 可以发出信号n1n2n3 27 24 6 3888 种 备选例题 例1 1 设集合a 1 0 1 集合b 0 1 2 3 定义a b x y x a b y a b 则a b中元素的个数是 a 7 b 10 c 25 d 52 2 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有个 用数字作答 解析 1 由题意知本题是一个分步乘法计数原理 因为集合a 1 0 1 集合b 0 1 2 3 所以a b 0 1 a b 1 0 1 2 3 所以x有2种取法 y有5种取法 所以根据分步乘法计数原理得2 5 10 故选b 2 法一用2 3组成四位数共有2 2 2 2 16 个 其中不出现2或不出现3的共2个 因此满足条件的四位数共有16 2 14 个 法二满足条件的四位数可分为三类 第一类含有一个2 三个3 共有4个 第二类含有三个2 一个3共有4个 第三类含有二个2 二个3共有6个 因此满足条件的四位数共有4 4 6 14 个 答案 1 b 2 14 例2 用n种不同颜色为下列两块广告牌着色 如图 1 图 2 要求在a b c d四个区域中相邻 有公共边的 区域不用同一种颜色 1 若n 6 为图 1 着色时共有多少种不同的方法 解 1 为a着色有6种方法 为b着色有5种方法 为c着色有4种方法 为d着色也有4种方法 所以 共有着色方法6 5 4 4 480 种 解 2 图 2 与图 1 的区别在于与d相邻的区域由2块变成了3块 同理 不同的着色方法种数是n n 1 n 2 n 3 因为n n 1 n 2 n 3 120 又120 480 所以可分别将n 4 5代入得n 5时上式成立 所以n 5 2 若为图 2 着色时共有120种不同的方法 求n 易混易错辨析用心练就一双慧眼 典例 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目 在下列情况下各有多少种不同的报名方法 1 每人恰好参加一项 每项人数不限 2