高三数学一轮复习 第八篇 立体几何与空间向量 第3节 空间点 直线 平面的位置关系课件 理.ppt

第3节空间点 直线 平面的位置关系 知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析 知识链条完善把散落的知识连起来 教材导读 1 分别在两个平面内的直线就是异面直线吗 提示 不是 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线 指的是找不出一个平面同时经过这两条直线 分别在两个平面内的直线可以平行 异面或相交 2 空间直线与平面 平面与平面的位置关系有哪些 提示 直线与平面的位置关系有 相交 平行 在平面内 平面与平面的位置关系有 平行 相交 知识梳理 1 平面的基本性质及相关公 定 理 m n 相等 或互补 2 空间中点 线 面之间的位置关系 3 异面直线所成的角 1 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 锐角 或直角 重要结论 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线 夯基自测 1 2013高考安徽卷 在下列命题中 不是公理的是 a 平行于同一个平面的两个平面相互平行 b 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 c 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 d 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 解析 依据面面平行的判定定理知 a项不是公理 故选a a 2 下列命题中 正确命题的个数是 平行于同一直线的两直线平行 垂直于同一直线的两直线平行 一条直线和两平行线中的一条相交 也必和另一条相交 若直线a与b相交 b与c相交 则a与c相交 若直线a b与c成等角 则a b a 0 b 1 c 2 d 3 解析 由平行公理知 正确 不正确 也可能相交或异面 不正确 也可能异面 不正确 a与c不一定相交 不正确 a与b也可能相交或异面 b 3 若直线l不平行于平面 且l 则 a 内的所有直线与l异面 b 内不存在与l平行的直线 c 内存在唯一的直线与l平行 d 内的直线与l都相交 解析 l与平面 相交 则 内不存在与l平行的直线 b b 5 若直线a b 且直线a 平面 则直线b与平面 的位置关系是 答案 b与 相交或b 或b 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 平面的基本性质及应用 例1 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab和aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 证明 2 因为ef cd1 ef cd1 所以ce与d1f必相交 设交点为p 则由p ce ce 平面abcd 得p 平面abcd 同理p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da 所以p 直线da 所以ce d1f da三线共点 反思归纳 1 证明点共面或线共面的常用方法 直接法 证明直线平行或相交 从而证明线共面 同一法 先确定一个平面 再证明有关点 线在此平面内 辅助平面法 先证明有关的点 线确定平面 再证明其余元素确定平面 最后证明平面 重合 2 证明空间点共线问题的方法 公理法 一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点 再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上 同一法 选择其中两点确定一条直线 然后证明其余点也在该直线上 3 证明三线共点的方法先选取两线交于一点 再证明该点在第三条线上即可 2 c d f e四点是否共面 为什么 考点二 空间两直线的位置关系 例2 如图是正四面体的平面展开图 g h m n分别为de be ef ec的中点 在这个正四面体中 gh与ef平行 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de与mn垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 答案 反思归纳 1 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 常常利用线面垂直的性质来解决 2 解决位置关系问题时 要注意几何模型的选取 如利用正 长 方体模型来解决问题 即时训练 若直线l1与l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 a l与l1 l2都不相交 b l与l1 l2都相交 c l至多与l1 l2中的一条相交 d l至少与l1 l2中的一条相交 解析 可用反证法 假设l与l1 l2都不相交 因为l与l1都在平面 内 于是l l1 同理l l2 于是l1 l2 与已知矛盾 故l至少与l1 l2中的一条相交 故选d 异面直线所成的角的问题 考点三 考查角度1 由几何体的结构特征计算其中异面直线所成的角 高考扫描 2014高考新课标全国卷 例3 2015高考浙江卷 如图 在三棱锥a bcd中 ab ac bd cd 3 ad bc 2 点m n分别为ad bc的中点 则异面直线an cm所成的角的余弦值是 反思归纳 1 求异面直线所成角的常用方法及类型常用方法是平移法 平移的方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 空间某特殊点 作平行线平移 补形平移 2 求异面直线所成角的三个步骤 作 通过作平行线 得到相交直线 证 证明相交直线夹角为异面直线所成的角 求 通过解三角形 求出该角 反思归纳 计算由三视图或平面图形折叠得到几何体中异面直线所成角的思路 1 准确作出直观图 2 在直观图中作出异面直线所成的角 进而求解 备选例题 例1 2015济宁一模 直线l1 l2平行的一个充分条件是 a l1 l2都平行于同一个平面 b l1 l2与同一个平面所成的角相等 c l1平行于l2所在的平面 d l1 l2都垂直于同一个平面 解析 对a 当l1 l2都平行于同一个平面时 l1与l2可能平行 相交或异面 对b 当l1 l2与同一个平面所成的角相等时 l1与l2可能平行 相交或异面 对c l1与l2可能平行 也可能异面 只有d满足要求 故选d 例2 三棱柱abc a1b1c1中 若 bac 90 ab ac aa1 aa1 平面abc 则异面直线ba1与ac1所成的角等于 a 30 b 45 c 60 d 90 例3 如图所示 三棱锥p abc中 pa 平面abc bac 60 pa ab ac 2 e是pc的中点 1 求证ae与pb是异面直线 1 证明 假设ae与pb共面 设平面为 因为a b e 所以平面 即为平面abe 所以p 平面abe 这与p 平面abe矛盾 所以ae与pb是异面直线 2 求异面直线ae和pb所成角的余弦值 易混易错辨析用心练就一双慧眼 借助正方体判定线面位置关系 典例 下列命题正确的是 a 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 b 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 c 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 d 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 解析 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线不一定平行 还有可能相交 也可能异面