高考数学一轮复习 第九章 导数及其应用 9.1 导数的概念及运算课件.ppt

9 1导数的概念及运算 第九章导数及其应用 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 易错警示系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 f x0 或y 知识梳理 1 答案 2 如果函数y f x 在开区间 a b 内的每一点处都有导数 其导数值在 a b 内构成一个新函数 这个函数称为函数y f x 在开区间内的导函数 记作f x 或y 2 导数的几何意义函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率k 即k f x0 答案 3 基本初等函数的导数公式 0 x 1 cosx sinx ex axlna 答案 4 导数的运算法则若f x g x 存在 则有 1 f x g x 2 f x g x f x g x f x g x f x g x 5 复合函数的导数复合函数y f g x 的导数和函数y f u u g x 的导数间的关系为yx 即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积 yu ux y对u u对x 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 f x0 与 f x0 表示的意义相同 2 求f x0 时 可先求f x0 再求f x0 3 曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 4 与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 5 函数f x sin x 的导数是f x cosx 思考辨析 答案 f 1 3 b 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 如图所示为函数y f x y g x 的导函数的图象 那么y f x y g x 的图象可能是 解析答案 1 2 3 4 5 解析由y f x 的图象知y f x 在 0 上单调递减 说明函数y f x 的切线的斜率在 0 上也单调递减 故可排除a c 又由图象知y f x 与y g x 的图象在x x0处相交 说明y f x 与y g x 的图象在x x0处的切线的斜率相同 故可排除b 故选d 答案d 1 2 3 4 5 f x cosx sinx 解析答案 1 2 3 4 5 即x 0时 成立 tan 1 0 y 1 0 又 0 解析答案 1 2 3 4 5 5 2015 陕西 设曲线y ex在点 0 1 处的切线与曲线y x 0 上点p处的切线垂直 则p的坐标为 解析y ex 曲线y ex在点 0 1 处的切线的斜率k1 e0 1 因为两切线垂直 所以k1k2 1 所以m 1 n 1 则点p的坐标为 1 1 1 1 解析答案 返回 1 2 3 4 5 题型分类深度剖析 例1求下列函数的导数 1 y 3x2 4x 2x 1 解 y 3x2 4x 2x 1 6x3 3x2 8x2 4x 6x3 5x2 4x y 18x2 10 x 4 2 y x2sinx 解y x2 sinx x2 sinx 2xsinx x2cosx 导数的运算 题型一 解析答案 3 y 3xex 2x e 解y 3xex 2x e 3x ex 3x ex 2x 3xexln3 3xex 2xln2 ln3 1 3e x 2xln2 解析答案 5 y ln 2x 5 解令u 2x 5 y lnu 解析答案 思维升华 1 求导之前 应利用代数 三角恒等式等变形对函数进行化简 然后求导 这样可以减少运算量 提高运算速度 减少差错 遇到函数的商的形式时 如能化简则化简 这样可避免使用商的求导法则 减少运算量 2 复合函数求导时 先确定复合关系 由外向内逐层求导 必要时可换元 思维升华 1 f x x 2016 lnx 若f x0 2017 则x0等于 a e2b 1c ln2d e 故由f x0 2017得2017 lnx0 2017 则lnx0 0 解得x0 1 b 跟踪训练1 解析答案 2 若函数f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 等于 a 1b 2c 2d 0解析f x 4ax3 2bx f x 为奇函数 且f 1 2 f 1 2 b 解析答案 命题点1已知切点的切线方程问题 故该切线方程为y 2 x 1 即x y 3 0 c 导数的几何意义 题型二 解析答案 2 曲线y e 2x 1在点 0 2 处的切线与直线y 0和y x围成的三角形的面积为 解析 y 2e 2x 曲线在点 0 2 处的切线斜率k 2 切线方程为y 2x 2 该直线与直线y 0和y x围成的三角形如图所示 解析答案 命题点2未知切点的切线方程问题例3 1 与直线2x y 4 0平行的抛物线y x2的切线方程是 a 2x y 3 0b 2x y 3 0c 2x y 1 0d 2x y 1 0解析对y x2求导得y 2x 则切线斜率为k 2x0 由2x0 2得x0 1 故切线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 d 解析答案 2 已知函数f x xlnx 若直线l过点 0 1 并且与曲线y f x 相切 则直线l的方程为 a x y 1 0b x y 1 0c x y 1 0d x y 1 0解析 点 0 1 不在曲线f x xlnx上 设切点为 x0 y0 解得x0 1 y0 0 解析答案 又 f x 1 lnx 切点为 1 0 f 1 1 ln1 1 直线l的方程为y x 1 即x y 1 0 故选b b 命题点3和切线有关的参数问题 又f 1 0 切线l的方程为y x 1 g x x m 直线l的斜率为k f 1 1 设直线l与g x 的图象的切点为 x0 y0 于是解得m 2 故选d d 解析答案 命题点4导数与函数图象的关系例5如图 点a 2 1 b 3 0 e x 0 x 0 过点e作ob的垂线l 记 aob在直线l左侧部分的面积为s 则函数s f x 的图象为下图中的 解析答案 思维升华 解析函数的定义域为 0 当x 0 2 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 s大于0且越来越大 即斜率f x 在 0 2 内大于0且越来越大 因此 函数s f x 的图象是上升的 且图象是下凸的 当x 2 3 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 s大于0且越来越小 即斜率f x 在 2 3 内大于0且越来越小 因此 函数s f x 的图象是上升的 且图象是上凸的 当x 3 时 在单位长度变化量 x内面积变化量 s为0 即斜率f x 在 3 内为常数0 此时 函数图象为平行于x轴的射线 答案d 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率 应用时主要体现在以下几个方面 1 已知切点a x0 f x0 求斜率k 即求该点处的导数值 k f x0 2 已知斜率k 求切点a x1 f x1 即解方程f x1 k 4 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况 由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢 思维升华 1 已知函数f x x3 3x 若过点a 0 16 且与曲线y f x 相切的直线方程为y ax 16 则实数a的值是 解析先设切点为m x0 y0 联立 可解得x0 2 y0 2 9 跟踪训练2 解析答案 2 若直线y 2x m是曲线y xlnx的切线 则实数m的值为 解析设切点为 x0 x0lnx0 得切线的斜率k lnx0 1 故切线方程为y x0lnx0 lnx0 1 x x0 解得x0 e 故m e e 解析答案 返回 易错警示系列 典例 14分 若存在过点o 0 0 的直线l与曲线y x3 3x2 2x和y x2 a都相切 求a的值 易错分析由于题目中没有指明点o 0 0 的位置情况 容易忽略点o在曲线y x3 3x2 2x上这个隐含条件 进而不考虑o点为切点的情况 13 求曲线的切线方程条件审视不准致误 易错警示系列 解析答案 返回 易错分析 温馨提醒 解易知点o 0 0 在曲线y x3 3x2 2x上 1 当o 0 0 是切点时 由y 3x2 6x 2 得y 2 即直线l的斜率为2 故直线l的方程为y 2x 依题意 4 4a 0 得a 1 4分 规范解答 解析答案 温馨提醒 2 当o 0 0 不是切点时 设直线l与曲线y x3 3x2 2x相切于点p x0 y0 解析答案 温馨提醒 温馨提醒 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况 要先判断切线所过点是否在曲线上 若所过点在曲线上 要对该点是否为切点进行讨论 温馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 f x0 代表函数f x 在x x0处的导数值 f x0 是函数值f x0 的导数 而函数值f x0 是一个常数 其导数一定为0 即 f x0 0 2 对于函数求导 一般要遵循先化简再求导的基本原则 在实施化简时 首先必须注意变换的等价性 避免不必要的运算失误 3 未知切点的曲线切线问题 一定要先设切点 利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程 方法与技巧 1 利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号 防止与乘法公式混淆 复合函数的导数要正确分解函数的结构 由外向内逐层求导 2 求曲线切线时 要分清在点p处的切线与过p点的切线的区别 前者只有一条 而后者包括了前者 3 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个 这和研究直线与二次曲线相切时有差别 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 2xf 1 lnx 则f 1 等于 a eb 1c 1d e f 1 2f 1 1 则f 1 1 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 已知曲线y lnx的切线过原点 则此切线的斜率为 因为切线过点 0 0 所以 lnx0 1 c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 已知函数f x 的导数为f x 且满足关系式f x x2 3xf 2 lnx 则f 2 的值等于 解析因为f x x2 3xf 2 lnx c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 2014 课标全国 设曲线y ax ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为y 2x 则a等于 a 0b 1c 2d 3 由导数的几何意义可得在点 0 0 处的切线的斜率为f 0 a 1 又切线方程为y 2x 则有a 1 2 a 3 d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 已知a为常数 若曲线y ax2 3x lnx存在与直线x y 1 0垂直的切线 则实数a的取值范围是 解析由题意知曲线上存在某点的导数为1 即2ax2 2x 1 0有正根 解析答案 当a 0时 显然满足题意 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 设函数f x x x k x 2k x 3k 若f 0 6 则k 解析 f x x x k x 2k x 3k x4 7k2x2 6k3x f x 4x3 14k2x 6k3 f 0 6k3 6 解得k 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 已知函数f x x3 3x 若过点a 0 16 且与曲线y f x 相切的直线方程为y ax 16 则实数a的值是 解析先设切点为m x0 y0 联立 可解得x0 2 y0 2 9 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 2015 课标全国 已知曲线y x lnx在点 1 1 处的切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 则a 得曲线在点 1 1 处的切线的斜率为k y x 1 2 所以切线方程为y 1 2 x 1 即y 2x 1 此切线与曲线y ax2 a 2 x 1相切 消去y得ax2 ax 2 0 得a 0且 a2 8a 0 解得a 8 8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 已知曲线y x3 x 2在点p0处的切线l1平行于直线4x y 1 0 且点p0在第三象限 1 求p0的坐标 解由y x3 x 2 得y 3x2 1 由已知令3x2 1 4 解之得x 1 当x 1时 y 0 当x 1时 y 4 又 点p0在第三象限 切点p0的坐标为 1 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若直线l l1 且l也过切点p0 求直线l的方程 解 直线l l1 l1的斜率为4 l过切点p0 点p0的坐标为 1 4 即x 4y 17 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 设函数f x ax 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为7x 4y 12 0 1 求f x 的解析式 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 证明 曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0和直线y x所围成的三角形的面积为定值 并求此定值 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解设p x0 y0 为曲线上任一点 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令y x 得y x 2x0 从而得切线与直线y x的交点坐标为 2x0 2x0 所以点p x0 y0 处的切线与直线x 0 故曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0 y x所围成的三角形的面积为定值 且此定值为6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 曲边梯形由曲线y x2 1 y 0 x 1 x 2所围成 过曲线y x2 1 x 1 2 上一点p作切线 使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形 则这一点的坐标为 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 若函数f x x2 ax lnx存在垂直于y轴的切线 则实数a的取值范围是 f x 存在垂直于y轴的切线 f x 存在零点 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 已知曲线f x xn 1 n n 与直线x 1交于点p 设曲线y f x 在点p处的切线与x轴交点的横坐标为xn 则log2016x1 log2016x2 log2016x2015的值为 解析f x n 1 xn k f 1 n 1 点p 1 1 处的切线方程为y 1 n 1 x 1 x1 x2 x2015 则log2016x1 log2016x2 log2016x2015 log2016 x1x2 x2015 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 已知函数f x ax3