高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法与复数 第3讲 数学归纳法及其应用课件 理 新人教A版.ppt

第3讲数学归纳法及其应用 最新考纲1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 知识梳理 1 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 第一个值n0 n0 n n k 1 2 数学归纳法的框图表示 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 1 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 解析三角形是边数最少的凸多边形 故第一步应检验n 3 答案c 解析根据数学归纳法 则n k k 2为偶数 时 下一个偶数为k 2 答案b 解析n k时 等式左边 1 2 3 k2 n k 1时 等式左边 1 2 3 k2 k2 1 k2 2 k 1 2 比较上述两个式子 n k 1时 等式的左边是在假设n k时等式成立的基础上 等式的左边加上了 k2 1 k2 2 k 1 2 答案d 考点一用数学归纳法证明等式 规律方法 1 用数学归纳法证明等式问题 要 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式两边各有多少项 初始值n0是多少 2 由n k时等式成立 推出n k 1时等式成立 一要找出等式两边的变化 差异 明确变形目标 二要充分利用归纳假设 进行合理变形 正确写出证明过程 不利用归纳假设的证明 就不是数学归纳法 考点二用数学归纳法证明不等式 规律方法应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 证明时用上归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明方法 训练2 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的导函数 1 令g1 x g x gn 1 x g gn x n n 求gn x 的表达式 2 若f x ag x 恒成立 求实数a的取值范围 3 设n n 比较g 1 g 2 g n 与n f n 的大小 并加以证明 7 考点三归纳 猜想 证明 规律方法 1 利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题 存在性问题 其基本模式是 归纳 猜想 证明 即先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理论证结论的正确性 2 归纳 猜想 证明 的基本步骤是 试验 归纳 猜想 证明 高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题 训练3 设数列 an 的前n项和为sn 满足sn 2nan 1 3n2 4n n n 且s3 15 1 求a1 a2 a3的值 2 求数列 an 的通项公式 思想方法 1 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则就会导致错误 有一无二 是不完全归纳法 结论不一定可靠 有二无一 第二步就失去了递推的基础 2 归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时 对于归纳假设要注意以下两点 1 归纳假设就是已知条件 2 在推证n k 1时 必须用上归纳假设 3 利用归纳假设的技巧在推证n k 1时 可以通过凑 拆 配项等方法用上归纳假设 此时既要看准目标 又要掌握n k与n k 1之间的关系 在推证时 分析法 综合法 反证法等方法都可以应用 易错防范 1 数学归纳法证题时初始值n0不一定是1 2