高考数学一轮复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课件.ppt

第五章数列 5 3等比数列及其前n项和 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想与方法系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 等比数列的定义一般地 如果一个数列 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 通常用字母表示 q 0 2 等比数列的通项公式设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an 3 等比中项若 那么g叫做a与b的等比中项 从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一 常数 公比 q a1 qn 1 g2 a b ab 0 知识梳理 1 答案 4 等比数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m n 2 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n n 则 qn m ak al am an 答案 qn 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 满足an 1 qan n n q为常数 的数列 an 为等比数列 2 g为a b的等比中项 g2 ab 3 如果数列 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 则数列 bn 也是等比数列 4 如果数列 an 为等比数列 则数列 lnan 是等差数列 思考辨析 答案 1 2015 课标全国 已知等比数列 an 满足a1 3 a1 a3 a5 21 则a3 a5 a7等于 a 21b 42c 63d 84解析设等比数列 an 的公比为q 则由a1 3 a1 a3 a5 21得3 1 q2 q4 21 解得q2 3 舍去 或q2 2 于是a3 a5 a7 q2 a1 a3 a5 2 21 42 故选b b 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 设等比数列 an 的前n项和为sn 若s2 3 s4 15 则s6等于 a 31b 32c 63d 64解析根据题意知 等比数列 an 的公比不是 1 由等比数列的性质 得 s4 s2 2 s2 s6 s4 即122 3 s6 15 解得s6 63 故选c c 解析答案 1 2 3 4 5 3 等比数列 an 中 a4 2 a5 5 则数列 lgan 的前8项和等于 a 6b 5c 4d 3解析数列 lgan 的前8项和s8 lga1 lga2 lga8 lg a1 a2 a8 lg a1 a8 4 lg a4 a5 4 lg 2 5 4 4 b 解析答案 1 2 3 4 5 4 2015 安徽 已知数列 an 是递增的等比数列 a1 a4 9 a2a3 8 则数列 an 的前n项和等于 解析由等比数列性质知a2a3 a1a4 又a2a3 8 a1 a4 9 a1 1 a4 8 从而a1q3 8 q 2 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 5 在9与243中间插入两个数 使它们同这两个数成等比数列 则这两个数为 解析设该数列的公比为q 由题意知 243 9 q3 q3 27 q 3 插入的两个数分别为9 3 27 27 3 81 27 81 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 等比数列基本量的运算 题型一 解析答案 答案b 2 在等比数列 an 中 若a4 a2 6 a5 a1 15 则a3 解析设等比数列 an 的公比为q q 0 4或 4 解析答案 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 可迎刃而解 思维升华 解析设公比为q 则由题意知0 q 1 d 跟踪训练1 解析答案 2 2015 湖南 设sn为等比数列 an 的前n项和 若a1 1 且3s1 2s2 s3成等差数列 则an 解析由3s1 2s2 s3成等差数列知 4s2 3s1 s3 可得a3 3a2 所以公比q 3 故等比数列通项an a1qn 1 3n 1 3n 1 解析答案 例2设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明 数列 bn 是等比数列 等比数列的判定与证明 题型二 解析答案 证明由a1 1及sn 1 4an 2 有a1 a2 s2 4a1 2 a2 5 b1 a2 2a1 3 得an 1 4an 4an 1 n 2 an 1 2an 2 an 2an 1 n 2 bn an 1 2an bn 2bn 1 n 2 故 bn 是首项b1 3 公比为2的等比数列 2 求数列 an 的通项公式 解由 1 知bn an 1 2an 3 2n 1 故an 3n 1 2n 2 解析答案 例2中 sn 1 4an 2 改为 sn 1 2sn n 1 其他不变 探求数列 an 的通项公式 解由已知得n 2时 sn 2sn 1 n sn 1 sn 2sn 2sn 1 1 an 1 2an 1 an 1 1 2 an 1 又a1 1 当n 1时上式也成立 故 an 1 是以2为首项 以2为公比的等比数列 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 引申探究 解析答案 思维升华 1 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法 其他方法只用于选择题 填空题中的判定 若证明某数列不是等比数列 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 2 利用递推关系时要注意对n 1时的情况进行验证 思维升华 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 2a2 3a3 nan n 1 sn 2n n n 1 求a2 a3的值 解 a1 2a2 3a3 nan n 1 sn 2n n n 当n 1时 a1 2 1 2 当n 2时 a1 2a2 a1 a2 4 a2 4 当n 3时 a1 2a2 3a3 2 a1 a2 a3 6 a3 8 综上 a2 4 a3 8 跟踪训练2 解析答案 2 求证 数列 sn 2 是等比数列 解析答案 证明a1 2a2 3a3 nan n 1 sn 2n n n 当n 2时 a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 sn 1 2 n 1 得nan n 1 sn n 2 sn 1 2 n sn sn 1 sn 2sn 1 2 nan sn 2sn 1 2 sn 2sn 1 2 0 即sn 2sn 1 2 sn 2 2 sn 1 2 s1 2 4 0 sn 1 2 0 解析答案 故 sn 2 是以4为首项 2为公比的等比数列 例3 1 在等比数列 an 中 各项均为正值 且a6a10 a3a5 41 a4a8 5 则a4 a8 等比数列的性质及应用 题型三 解析答案 由等比数列前n项和的性质知s5 s10 s5 s15 s10成等比数列 且公比为q5 解析答案 思维升华 1 在等比数列的基本运算问题中 一般利用通项公式与前n项和公式 建立方程组求解 但如果能灵活运用等比数列的性质 若m n p q 则有aman apaq 可以减少运算量 2 等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质 例如等比数列sk s2k sk s3k s2k 成等比数列 公比为qk q 1 思维升华 c 跟踪训练3 解析答案 2 等比数列 an 共有奇数项 所有奇数项和s奇 255 所有偶数项和s偶 126 末项是192 则首项a1等于 a 1b 2c 3d 4 c 解析答案 返回 思想与方法系列 思维点拨利用等差数列的性质求出等比数列的公比 写出通项公式 思想与方法系列 11 分类讨论思想在等比数列中的应用 思维点拨 解析答案 解设等比数列 an 的公比为q 因为 2s2 s3 4s4成等差数列 所以s3 2s2 4s4 s3 即s4 s3 s2 s4 规范解答 思维点拨求出前n项和 根据函数的单调性证明 思维点拨 解析答案 返回 温馨提醒 解析答案 温馨提醒 1 分类讨论思想在等比数列中应用较多 常见的分类讨论有 已知sn与an的关系 要分n 1 n 2两种情况 等比数列中遇到求和问题要分公比q 1 q 1讨论 项数的奇 偶数讨论 等比数列的单调性的判断注意与a1 q的取值的讨论 2 数列与函数有密切的联系 证明与数列有关的不等式 一般是求数列中的最大项或最小项 可以利用图象或者数列的增减性求解 同时注意数列的增减性与函数单调性的区别 温馨提醒 返回 思想方法感悟提高 方法与技巧 1 特别注意q 1时 sn na1这一特殊情况 2 由an 1 qan q 0 并不能立即断言 an 为等比数列 还要验证a1 0 3 在运用等比数列的前n项和公式时 必须注意对q 1与q 1分类讨论 防止因忽略q 1这一特殊情形而导致解题失误 4 等比数列性质中 sn s2n sn s3n s2n也成等比数列 不能忽略条件q 1 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析因为a2 a3 a4 a5 a6 a7成等比数列 a2 a3 1 a4 a5 2 所以 a4 a5 2 a2 a3 a6 a7 解得a6 a7 4 c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2014 重庆 对任意等比数列 an 下列说法一定正确的是 a a1 a3 a9成等比数列b a2 a3 a6成等比数列c a2 a4 a8成等比数列d a3 a6 a9成等比数列 所以a3 a6 a9成等比数列 故选d d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 在正项等比数列 an 中 已知a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 则n等于 a 12b 13c 14d 15解析设数列 an 的公比为q 因此q3n 6 81 34 q36 所以n 14 故选c c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 若正项数列 an 满足lgan 1 1 lgan 且a2001 a2002 a2010 2016 则a2011 a2012 a2020的值为 a 2015 1010b 2015 1011c 2016 1010d 2016 1011 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 lgan 1 1 lgan a2001 a2002 a2010 2016 a2011 a2012 a2020 1010 a2001 a2002 a2010 2016 1010 答案c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 与题中条件矛盾 故q 1 m 3 q3 8 q 2 答案b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 2015 浙江 已知 an 是等差数列 公差d不为零 若a2 a3 a7成等比数列 且2a1 a2 1 则a1 d 解析因为a2 a3 a7成等比数列 2a1 a2 1 2a1 a1 d 1即3a1 d 1 即 a1 2d 2 a1 d a1 6d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 等比数列 an 的前n项和为sn 公比不为1 若a1 1 则对任意的n n 都有an 2 an 1 2an 0 则s5 解析由题意知a3 a2 2a1 0 设公比为q 则a1 q2 q 2 0 由q2 q 2 0解得q 2或q 1 舍去 11 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a3 b2a2 b1b2 a4 b1b2b3 an b1b2b3 bn 1 a21 b1b2b3 b20 b10b11 10 210 1024 1024 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 数列 bn 满足 bn 1 2bn 2 bn an 1 an 且a1 2 a2 4 1 求数列 bn 的通项公式 解由bn 1 2bn 2 得bn 1 2 2 bn 2 数列 bn 2 是首项为4 公比为2的等比数列 bn 2 4 2n 1 2n 1 bn 2n 1 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求数列 an 的前n项和sn 解由 1 知 an an 1 bn 1 2n 2 n 2 an 1 an 2 2n 1 2 n 2 a2 a1 22 2 an 2 22 23 2n 2 n 1 an 2 22 23 2n 2n 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 等比数列 an 的前n项和sn 已知s3 7 a1 3 3a2 a3 4成等差数列 1 求数列 an 的公比q和通项an 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解若 an 是递增数列 则an 1 2n bn n 7 当1 n 7时 b1 b2 bn 当n 7时 b1 b2 bn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 设 an 是各项为正数的无穷数列 ai是边长为ai ai 1的矩形的面积 i 1 2 则 an 为等比数列的充要条件是 a an 是等比数列b a1 a3 a2n 1 或a2 a4 a2n 是等比数列c a1 a3 a2n 1 和a2 a4 a2n 均是等比数列d a1 a3 a2n 1 和a2 a4 a2n 均是等比数列 且公比相同 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a1 a3 a5 a2n 1 和a2 a4 a2n 成等比数列 且公比相等 答案d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 解析因为a10a11 a9a12 2a10a11 2e5 所以a10a