考研数学高数部分试卷与解答2008.doc

考研数学试卷2008高数部份一、 填空题2008.二.9.4已知函数连续，且，则2008.三9.42008.四.9.4设函数在内连续，则2008.四.10.4已知函数连续，且，则曲线上对应处的切线方程是2008.二.12.4曲线的拐点坐标是2008.农.10.42008.三10.4设函数，则2008.二.13.4设，则2008.一.10.42008.二.11.42008.农.11.4曲线在点处的切线方程是2008.农.9.4函数的极小值为2008.四.11.42008.三11.4设，则2008.农.12.4设，则2008.一.12.4设曲面是的上侧，则2008.一.11.4已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为2008.一.9.42008.三12.4微分方程满足条件的解为2008.二.10.42008.四.12.4微分方程的通解是二、 单项选择题2008.四.1.4设，则（B）A. B. C. D. 2008.农.1.4设函数，则（B）A. 为可去间断点，为无穷间断点 B. 为无穷间断点，为可去间断点C. 和均为可去间断点 D. 和均为无穷间断点2008.二.4.4设函数，则有（A）A. 1个可去间断点，1个跳跃间断点 B. 1个可去间断点，1个无穷间断点 C. 2个跳跃间断点 D. 2个无穷间断点2008.农.2.4设函数可微，则的微分（D）A. B. C. D. 2008.农.3.4设函数连续，则（C）A. B. C. D. 2008.三1.42008.四.2.4设函数在区间上连续，则是函数的（B）A. 跳跃间断点 B. 可去间断点 C. 无穷间断点 D. 震荡间断点 2008.一.1.4设函数，则的零点个数为（B）A. 0 B. 1 C. 2 D. 32008.二.1.4设函数，则的零点个数为（D）A. 0 B. 1 C. 2 D. 32008.二.2.42008.三2.42008.四.4.4如图（略），上凸曲线段的方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于（C）A. 曲边梯形ABOD的面积 B.梯形ABOD的面积 C. 曲边三角形ACD的面积 D. 三角形ACD的面积2008.三3.4已知，则（B）A. 都存在 B. 不存在存在C. 存在不存在 D. 都不存在2008.一.2.4函数在点处的梯度等于（A）A. B. C. D. 2008.四.3.4设是连续的奇函数，是连续的偶函数，区域，则以下结论正确的是（A）A. B. C. D. 2008.农.4.4设函数连续，交换二次积分的积分次序得（A）A. B. C. D. 2008.二.6.42008.三4.4设函数连续，若，其中区域D为第一象限与的部分，则（A）A. B. C. D. 2008.一.4.42008.二.5.4设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（B）极值点，则下列选项正确的是（D）A、若收敛，则收敛 B、若单调，则收敛C、若收敛，则收敛 D、若单调，则收敛2008.一.3.42008.二.3.4在下列微分方程中，以为任意常数）为通解的是（D）A. B. C. D. 三、 解答题 2008.三15.92008.四.15.9计算解 2008.农.15.10求极限解 2008.一15.92008.二15.9求极限解 原式2008.农.18.11证明：当时，证 设，则均连续当时，当时单调增加，故当时，于是当时单调增加，故当时，即当时，2008.农.16.10计算不定积分解 令2008.四.16.10设函数，求的极值、单调区间及曲线的凹凸区间。解 令，得驻点（舍去）因，故的极小值为，且曲线在区间是凹的。由知，在内单调递减，在内单调增加。2008.三18.102008.四.19.10 设是周期为2的连续函数（1）证明:对任意实数，（2）证明:是周期为2的周期函数证明 （1）由定积分的性质知，对任意实数，令，则有从而（2）由上结论，记则:对任意，所以是周期为2的周期函数2008.一18.10 设是连续函数（1）利用定义证明可导，且（2）当是以2为周期的周期函数时，证明函数也是以2为周期的周期函数证 （1）对任意的，由于是连续函数，所以其中介于与之间。由此，即可导，且（2）要证明也以2为周期，即要证明对任意的都有设，则，又所以，即，从而也以2为周期。证法二是直接证2008.二20.11 （1）证明积分中值定理设：若函数在闭区间连续，则至少存在一点，使得；（2）若函数具有二阶导数，且满足，则至少存在一点，使得证明（1）由已知设分别是在闭区间连续函数的最大值和最小值，则由定积分的比较性质，即，再由连续函数的介值定理，至少存在一点，使得，即（2）由上述结论，至少存在一点，使得又由知。对在和上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到，得再在上应用拉格朗日中值定理，则至少存在一点，使得 2008.二17.9计算解 由于，故是反常积分令，有2008.农.19.11设，求及解 2008.三16.102008.四.18.10设是由方程所确定的函数，其中具有二阶导数，且（1）求，（2）记，求解 （1）对等式两端取微分得解得，（2）由上式得，所以2008.一17.11已知曲线，求上距离面最远的点和最近的点。解 点到面的距离为，故求上距离面最远的点和最近的点的坐标，等价于求函数在条件与下的最大值点和最小值点。令由，解得或根据几何意义，该曲线上存在距离面最远的点和最近的点，故所求距离面最远的点和最近的点的坐标分别为2008.二21.112008.四.17.11求函数在约束条件和下的最大值点和最小值解 令由，解得或根据实际，所要求的最大值为72，最小值为62008.二18.112008.三17.11计算，其中解 曲线将区域D分为两个区域，分块积分2008.一16.9计算曲线积分，其中L是曲线上从点到点的一段解法一 解法二是加上一条直线段设法利用格林公式，在此题较为麻烦。2008.三19.10 设银行存款的年利率为，并依年复利计算，某基金会希望通过存款万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，第年提取万元，并能按此规律一直提取下去，问至少应为多少万元？解 设为用于第年提取万元的贴现值，则故设，则所以从而，至少应为3980万元。2008.一19.11 将函数展开成余弦级数，并求级数的和。解 由于，所以令，有，所以2008.农.17.10求微分方程满足初始条件的特解。解 原方程化为则由于，从而2008.二16.10设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解，求解 由得，积分并有初值条件得即，200