高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第6讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直课件 理 新人教A版.ppt

第6讲立体几何中的向量方法 一 证明平行与垂直 最新考纲1 理解直线的方向向量及平面的法向量 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的平行和垂直关系 3 能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理 知识梳理 1 直线的方向向量和平面的法向量 1 直线的方向向量 如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l 或 则称此向量a为直线l的方向向量 2 平面的法向量 直线l 取直线l的方向向量a 则向量a叫做平面 的法向量 平行 重合 2 空间位置关系的向量表示 n2 n1 n2 0 n m 0 m m n m 0 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 1 直线的方向向量是唯一确定的 2 若两直线的方向向量不平行 则两直线不平行 3 若两平面的法向量平行 则两平面平行或重合 4 若空间向量a平行于平面 则a所在直线与平面 平行 2 人教a选修2 1p104练习2改编 已知平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3 1 4 则 a b c 相交但不垂直d 以上均不对 解析 n1 n2 且n1 n2 2 3 3 1 5 4 23 0 不平行 也不垂直 答案c 3 2016 临沂模拟 若直线l的方向向量为a 1 0 2 平面 的法向量为n 2 0 4 则 a l b l c l d l与 相交 解析由n 2a知 n a 则有l 答案b 答案c 5 2016 济南质检 所图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 o是底面正方形abcd的中心 m是d1d的中点 n是a1b1的中点 则直线on am的位置关系是 答案垂直 考点一利用空间向量证明平行问题 规律方法 1 恰当建立坐标系 准确表示各点与相关向量的坐标 是运用向量法证明平行和垂直的关键 2 证明直线与平面平行 只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零 或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面 或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 然后说明直线在平面外即可 这样就把几何的证明问题转化为向量运算 训练1 如图所示 平面pad 平面abcd abcd为正方形 pad是直角三角形 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 求证 pb 平面efg 考点二利用空间向量证明垂直问题 例2 2016 郑州调研 如图 在三棱锥p abc中 ab ac d为bc的中点 po 平面abc 垂足o落在线段ad上 已知bc 8 po 4 ao 3 od 2 1 证明 ap bc 2 若点m是线段ap上一点 且am 3 试证明平面amc 平面bmc 规律方法 1 利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系 准确写出相关点的坐标 从而将几何证明转化为向量运算 其中灵活建系是解题的关键 2 用向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 训练2 2015 北京卷 如图 在四棱锥a efcb中 aef为等边三角形 平面aef 平面efcb ef bc bc 4 ef 2a ebc fcb 60 o为ef的中点 1 求证 ao be 2 求二面角f ae b的余弦值 3 若be 平面aoc 求a的值 1 证明因为 aef是等边三角形 o为ef的中点 所以ao ef 又因为平面aef 平面efcb 平面aef 平面efcb ef ao 平面aef 所以ao 平面efcb 又be 平面efcb 所以ao be 2 解取bc的中点g 连接og 由题设知四边形efcb是等腰梯形 所以og ef由 1 知ao 平面efcb 又og 平面efcb 所以oa og 考点三利用空间向量解决探索性问题 例3 2016 石家庄调研 如图 棱柱abcd a1b1c1d1的所有棱长都等于2 abc和 a1ac均为60 平面aa1c1c 平面abcd 1 求证 bd aa1 2 在直线cc1上是否存在点p 使bp 平面da1c1 若存在 求出点p的位置 若不存在 请说明理由 1 证明设bd与ac交于点o 则bd ac 连接a1o 在 aa1o中 aa1 2 ao 1 a1ao 60 a1o2 aa ao2 2aa1 aocos60 3 ao2 a1o2 aa a1o ao 由于平面aa1c1c 平面abcd 平面aa1c1c 平面abcd ac a1o 平面aa1c1c 规律方法向量法解决与垂直 平行有关的探索性问题 1 根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想 找出点或线的位置 并用向量表示出来 然后再加以证明 得出结论 2 假设所求的点或参数存在 并用相关参数表示相关点 根据线 面满足的垂直 平行关系 构建方程 组 求解 若能求出参数的值且符合该限定的范围 则存在 否则不存在 训练3 在四棱锥p abcd中 pd 底面abcd 底面abcd为正方形 pd dc e f分别是ab pb的中点 1 求证 ef cd 2 在平面pad内是否存在一点g 使gf 平面pcb 若存在 求出点g坐标 若不存在 试说明理由 思想方法 1 用向量法解决立体几何问题 是空间向量的一个具体应用 体现了向量的工具性 这种方法可把复杂的推理证明 辅助线的作法转化为空间向量的运算 降低了空间想象演绎推理的难度 体现了由 形 转 数 的转化思想 2 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路 一种是用向量表示几何量 利用向量的运算进行判断 另一种是用向量的坐标表示几何量 共分三步 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量 或坐标 表示问题中所涉及的点 线 面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 线 面之间的位置关系 3 根据运算结果的几何意义来解释相关问题 易错防范 1 用向量知识证明立体几何问题 仍然离不开立体几何中的定理 如要证明线面平行 只需要证明平面外的一条直线和平面内的