高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第3讲 导数的综合应用课件 理 北师大版.ppt

第3讲导数的综合应用 最新考纲1 利用导数研究函数的单调性 极 最 值 并会解决与之有关的方程 不等式 问题 2 会利用导数解决某些简单的实际问题 知识梳理 1 生活中的优化问题通常求利润最大 用料最省 效率最高等问题称为 问题 一般地 对于实际问题 若函数在给定的定义域内只有一个极值点 那么该点也是最值点 2 利用导数解决生活中的优化问题的基本思路 优化 3 导数在研究方程 不等式 中的应用研究函数的单调性和极 最 值等离不开方程与不等式 反过来方程的根的个数 不等式的证明 不等式恒成立求参数等 又可转化为函数的单调性 极值与最值的问题 利用导数进行研究 4 导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型 1 把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题 2 把证明不等式问题转化为函数的单调性问题 3 把方程解的问题转化为函数的零点问题 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 1 若实际问题中函数定义域是开区间 则不存在最优解 2 函数f x x3 ax2 bx c的图像与x轴最多有3个交点 最少有一个交点 3 函数f x f x g x 的最小值大于0 则f x g x 4 存在x a b 使f x a 的含义是 任意x a b 使f x a 答案c 3 2015 全国 卷 设函数f x 是奇函数f x x r 的导函数 f 1 0 当x 0时 xf x f x 0 则使得f x 0成立的x的取值范围是 a 1 0 1 b 1 0 1 c 1 1 0 d 0 1 1 答案a 4 若函数f x x3 3x a有3个不同的零点 则实数a的取值范围是 解析由于函数f x 是连续的 故只需要两个极值异号即可 f x 3x2 3 令3x2 3 0 得x 1 只需f 1 f 1 0 即 a 2 a 2 0 故a 2 2 答案 2 2 答案f a f b 考点一利用导数解决生活中的优化问题 例1 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池 不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r米 高为h米 体积为v立方米 假设建造成本仅与表面积有关 侧面的建造成本为100元 平方米 底面的建造成本为160元 平方米 该蓄水池的总建造成本为12000 元 为圆周率 1 将v表示成r的函数v r 并求该函数的定义域 2 讨论函数v r 的单调性 并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大 规律方法在求实际问题中的最大值或最小值时 1 既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示 还要注意确定函数关系式中自变量的取值范围 2 要注意求得结果的实际意义 不符合实际的值应舍去 3 如果目标函数在定义域内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点就是最值点 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 考点二利用导数研究函数的零点或方程的根 规律方法研究函数零点或方程根的情况 可以通过导数研究函数的单调性 最大值 最小值 变化趋势等 并借助函数的大致图像判断函数零点或方程根的情况 这是导数这一工具在研究函数零点或方程根中的重要应用 考点三导数在不等式中的应用 规律方法利用导数方法证明不等式f x g x 在区间d上恒成立的基本方法是构造函数h x f x g x 然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h x 0 其中一种常用方法就是找到函数h x 在何处可以等于零 这往往就是解决问题的一个突破口 训练3 设函数f x x2 ax b g x ex cx d 若曲线y f x 和曲线y g x 都过点p 0 2 且在点p处有相同的切线y 4x 2 1 求a b c d的值 2 若x 2时 f x kg x 求k的取值范围 1 在实际问题中 如果函数在区间内只有一个极值点 那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再与端点的函数值比较 2 利用导数方法证明不等式f x g x 在区间d上恒成立的基本方法是构造函数h x f x g x 然后根据函数的单调性 或者函数的最值证明函数h x 0 其中一个重要技巧就是找到函数h x 在什么地方可以等于零 这往往就是解决问题的一个突破口 3 利用函数的导数研究不等式恒成立问题是一类重要题型 体现了导数的工具性作用 将函数 不等式紧密结合起来 考查了学生综合解决问题的能力 4 对于研究方程根的个数的相关问题 利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决 这类问题求解的通法是 1 构造函数 这是解决此类题的关键点和难点 并求其定义域 2 求导数 得单调区间和极值点 3 画出函数草图 4 数形结合 挖掘隐含条件 确定函数图像