高考数学一轮总复习 第8章 立体几何初步 第六节 空间向量的应用课件 理.ppt

第六节空间向量的应用 知识点一空间向量的有关概念及定理 1 空间向量的有关概念 大小 方向 长度 1 模为0 相同 模相等 相反 模相等 互相平行 重合 同一平面 2 空间向量的有关定理 1 共线向量定理 对空间任意两个向量a b b 0 a b的充要条件是存在实数 使得a b 2 共面向量定理 如果两个向量a b不共线 那么向量c与向量a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 x y 使c xa yb 3 空间向量基本定理 如果三个向量a b c不共面 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p 其中 a b c 叫做空间的一个 xa yb zc 基底 建系原则 1 建立空间直角坐标系时 应找过同一点且两两垂直的直线分别为x轴 y轴 z轴 一般要使尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内 已知a 2 5 6 点p在y轴上 pa 7 则点p的坐标是 答案 0 8 0 或 0 2 0 三种对称 2 关于坐标平面对称的三种情况 关于坐标轴对称的三种情况 p x y z p7 x y z 点a 1 2 1 关于坐标平面xoy及x轴的对称点的坐标分别为 答案 1 2 1 1 2 1 知识点二空间向量的数量积及坐标运算1 空间向量的数量积 a b 0 a b 3 空间向量数量积的性质 a a b cos a b 4 空间向量数量积的运算律 交换律 分配律 结合律 a b a b a b r a b 0 a 0 b 0 a b b a a b c a b a c 2 向量的坐标运算 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 r a1b1 a2b2 a3b3 0 一个应用 用空间向量可以证明有关平行或垂直问题 方法可类比平面向量相关知识 答案平行 空间向量的运算突破方略 1 用向量法或坐标法解决几何问题时 先用向量 或坐标 表示相应的点 线段 夹角等几何元素 然后通过向量 或坐标 的运算 特别是数量积来研究点 线段等元素之间的关系 最后再把运算结果 翻译 成几何关系 得到几何问题的结论 2 用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是 适当的选取基底 a b c 用a b c表示相关向量 通过运算完成证明或计算问题 例1 2014 北京海淀模拟 如图 在空间四边形oabc中 oa 8 ab 6 ac 4 bc 5 oac 45 oab 60 则oa与bc所成角的余弦值为 点评 利用共线向量定理 共面向量定理可以证明一些平行 共面问题 利用数量积运算可以解决一些距离 夹角问题 利用空间向量求解平行或垂直问题突破方略 1 用向量证平行的方法 线线平行 证明两直线的方向向量共线 线面平行 a 证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直 b 证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量共线 面面平行 a 证明两平面的法向量为共线向量 b 转化为线面平行 线线平行问题 2 用向量证明垂直的方法 线线垂直 证明两直线所在的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直的判定定理用向量表示 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用向量表示 提醒 用向量证明平行 垂直时 要注意解题的规范性 如证明线面平行时 仍需要表明一条直线在平面内 另一条直线在平面外 例2 2016 福建四地六校第三次联考 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 1 aa1 2 e为bb1的中点 1 求de与平面ad1e所成角的正弦值 2 在棱ad上是否存在一点p 使得bp 平面ad1e 若存在 求dp的长 若不存在说明理由 点评 假设所求的点或线存在 并设定参数表达已知条件 根据题目进行求解 若能求出参数的值且符合已知限定的范围 则存在这样的点或线 否则不存在 运用空间向量解决立体几何问题的步骤 1 求证 ef bc 2 求二面角e bf c的正弦值 答题模板 1 建系 根据题中的几何图形的特征建立适当的空