二阶常微分方程的级数解法 本征值问题3-1.ppt

二阶常微分方程的级数解法本征值问题 李莉lili66 1 6 1二阶常微分方程的级数解法 二阶线性常微分方程 为具一般性 设变数x是复变数 p x q x y x 为复变函数 p x 和q x 称为方程的系数 方程的解完全由方程的系数决定 方程解的解析性完全由方程系数的解析性决定 用级数解法解常微分方程时 得到的解总是某一指定点的邻域内收敛的无穷级数 方程系数p x q x 在点的解析性就决定了级数解在点的解析性 或者说 决定了级数解的形式 例如是泰勒级数还是罗朗级数 2 二阶线性常微分方程的常点和奇点 如果p x q x 在点解析 则称为方程的常点 如果p x q x 中至少有一个在点不解析 则称为方程的奇点 例1 超几何方程 系数是 在有限远处 p x q x 有两个奇点 x 0和x 1 所以 除了x 0和x 1是超几何方程的奇点外 有限远处的其它点都是方程的常点 例2 勒让德方程 在有限远处的奇点为 3 方程常点邻域内的级数解法定理 如果p x q x 在圆内解析 则在此圆内常微分方程初值问题存在唯一的解y x 并且y x 在此圆内单值解析 根据这个定理 可以把y x 在点的邻域内展开为泰勒级数 将这个形式的级数解代入微分方程 比较系数 就可以求出系数 系数均可用 表示 4 设方程的解为 将和也展开为泰勒级数 代入方程 有 5 由 上式可化为 6 上式可化为 由幂级数的乘法 7 比较等式两边同次幂的系数有 由此可知可以由初值以及表示出来 如 以此类推 可求出全部系数 从而得到方程的级数解 8 例3 在的邻域内求解常微分方程 解 这里 设解为 则 把以上结果代入方程 比较系数得 由此可得系数的递推公式 9 得到 于是方程的级数解为 10 通过这个实例 可以看出在常点邻域内求级数解的一般步骤 将相同幂次项的系数归并 比较系数 得到系数之间的递推关系 反复利用递推关系 求出系数的普遍表达式 用和表示 从而最后得出级数解 将 方程常点邻域内的 解展开为泰勒级数 代入微分方程 11 求勒让德方程在x 0点邻域内的解 其中l是一个参数 解 x 0是方程的常点 根据定理 可知解的形式为 根据上式求出 12 代入方程中 有 整理合并 得到 根据泰勒展开的唯一性 可得 即 这样就得到了系数之间的递推关系 反复利用递推关系 就可以求得系数 13 由递推公式 得 14 这样得到l阶Legendre方程的级数解 其中 15 现在确定和的收敛半径 说明和在 x 1处发散 在处 和可表示成常数项级数 由Gauss判别法 对 有 对 有 可知级数与均发散 即方程级数解在x 1和x 1为无限值 16 勒让德多项式 在实际应用中 遇到勒让德方程时 往往还附有边界条件 要求在处收敛 实际问题中 是球坐标中角度 勒让德方程的两个无限级数形式解均不满足这个条件 注意 勒让德方程还有一个参数l 如果l取某些特定的值 则可能找到满足以上边界条件的解 考察递推公式 只要l是个整数 则当k l时 由系数开始 以后的系数均为零 级数便截止于l项 退化为l次多项式 解就可能满足边界条件 这样得到的多项式 称为l阶勒让德多项式 17 当 n 0 1 2 时 18 此时称为2n阶勒让德多项式 在以上通解中取 则解成为 再取 使 可得 19 此时称为2n 1阶勒让德多项式 在以上通解中取 则解成为 再取 使 可得 当 n 0 1 2 时 20 综上所述 只有当l取整数时 勒让德方程才能在有解 这个解就是勒让德多项式 可统一表示为 其中 21 定解问题 构成本征值问题 本征值 本征解 n阶勒让德多项式 第一类勒让德函数 结论 当l不是整数时 勒让德方程的通解为 在端点上均无界 此时方程在 1 1 无有界解 当l是整数时 奇数或偶数 和中一个是勒让德多项式 另一个仍为无穷级数 记为 方程的通解为 称为第二类勒让德函数 它在 1 1 仍是无界的 22 方程正则奇点邻域中的级数解 如果是 p x 的不超过一阶的极点 即在解析 q x 的不超过二阶的极点 即在解析 这种奇点称为方程的正则奇点 否则 称为非正则奇点 23 定理 设是方程的正则奇点 则在的领域 内 方程的基础解系为 或 其中 24 在方程正则奇点邻域内求解思路 将正则解或代入方程 通过比较系数 求出指标和递推关系 进而求出系数的普遍表达式 实际的求解过程中 总是将形式的解代入方程 如果能够同时求得两个线性无关的解 则任务完成 没有必要再将形式的解代入方程中 如果只能求得一个解 那么就必须将形式 带有对数部分 的解代入方程中 为了能够方便地比较系数 往往需要对p x 和q x 进行处理 将它们展开为在正则奇点邻域的幂级数形式 25 在正则奇点邻域内求方程级数解的一般步骤 用乘方程两侧 得 其中 可化为 由正则奇点的条件知 新系数 在方程奇点的领域中是解析的 可展成泰勒级数 第1步 将方程的系数展开为正则奇点邻域的级数形式 26 不管第二个解可能取哪种形式 总先设定解的形式为 从上式求出 第2步 写出第一解形式 将其代入经过变换的方程 将以上结果代入方程 得到 27 消去因子后 得 其中 最低次幂项是常数项 i 0 j 0 n 0时 其系数为零的方程是 判定方程 指标方程 因为 所以 第3步 比较系数 得到判定方程和系数之间的递推关系 28 由方程 中 一般项的系数为零的方程 可得待定系数之间的递推关系 第4步 通过递推关系 得到第一解中系数的普遍表达式 29 当整数时 此时第二解不含对数项 用代入系数求出第二解 两个根 决定第二解的形式 设 对应于 所得即为 当整数时 用