高考数学一轮复习 第十一章 概率、随机变量及其分布 第5讲 离散型随机变量的均值与方差课件.ppt

第5讲离散型随机变量的均值与方差 最新考纲1 理解取有限个值的离散型随机变量的均值 方差的概念 2 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些简单实际问题 知识梳理 1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为 x1p1 x2p2 xipi xnpn 数学期望 平均水平 平均偏离程度 标准差 2 均值与方差的性质 1 e ax b 2 d ax b a b为常数 3 两点分布与二项分布的均值 方差 1 若x服从两点分布 则e x d x 2 若x b n p 则e x d x ae x b a2d x p 1 p np 1 p p np 诊断自测 1 判断正误 在括号内打 或 1 期望值就是算术平均数 与概率无关 2 随机变量的均值是常数 样本的平均值是随机变量 3 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度 方差或标准差越小 则偏离变量平均程度越小 4 在篮球比赛中 罚球命中1次得1分 不中得0分 如果某运动员罚球命中的概率为0 7 那么他罚球1次的得分x的均值是0 7 2 人教a选修2 3p68t1改编 已知x的分布列为 设y 2x 3 则e y 的值为 答案a 3 设随机变量x的分布列为p x k k 2 4 6 8 10 则d x 等于 a 5b 8c 10d 16 解析 e x 2 4 6 8 10 6 d x 4 2 2 2 02 22 42 8 答案b 4 2015 广东卷 已知随机变量x服从二项分布b n p 若e x 30 d x 20 则p 5 2016 宁波高三联考 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为社区志愿者 若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数 则随机变量 的数学期望e 结果用最简分数表示 考点一离散型随机变量的均值与方差 例1 根据以往的经验 某工程施工期间的降水量x 单位 mm 对工期的影响如下表 历年气象资料表明 该工程施工期间降水量x小于300 700 900的概率分别为0 3 0 7 0 9 求 1 工程延误天数y的均值与方差 2 在降水量x至少是300mm的条件下 工期延误不超过6天的概率 解 1 由条件和概率的加法公式有 p x 300 0 3 p 300 x 700 p x 700 p x 300 0 7 0 3 0 4 p 700 x 900 p x 900 p x 700 0 9 0 7 0 2 p x 900 1 p x 900 1 0 9 0 1 所以y的分布列为 于是 e y 0 0 3 2 0 4 6 0 2 10 0 1 3 d y 0 3 2 0 3 2 3 2 0 4 6 3 2 0 2 10 3 2 0 1 9 8 故工期延误天数y的均值为3 方差为9 8 2 由概率加法公式 得p x 300 1 p x 300 0 7 又p 300 x 900 p x 900 p x 300 0 9 0 3 0 6 规律方法 1 求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值 写出随机变量的分布列 正确运用均值 方差公式进行计算 2 注意e ax b ae x b d ax b a2d x 的应用 训练1 2015 安徽卷 已知2件次品和3件正品混放在一起 现需要通过检测将其区分 每次随机检测一件产品 检测后不放回 直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束 1 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 2 已知每检测一件产品需要费用100元 设x表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用 单位 元 求x的分布列和均值 数学期望 故x的分布列为 考点二与二项分布有关的均值 方差 所以 的分布列如下表 考点三期望与方差在决策中的应用 例3 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站 过去50年的水文资料显示 水库年入流量x 年入流量 一年内上游来水与库区降水之和 单位 亿立方米 都在40以上 其中 不足80的年份有10年 不低于80且不超过120的年份有35年 超过120的年份有5年 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率 并假设各年的年入流量相互独立 1 求未来4年中 至多有1年的年入流量超过120的概率 2 水电站希望安装的发电机尽可能运行 但每年发电机最多可运行台数受年入流量x限制 并有如下关系 若某台发电机运行 则该台年利润为5000万元 若某台发电机未运行 则该台年亏损800万元 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装发电机多少台 因此得y的分布列如下 所以 e y 3400 0 2 9200 0 7 15000 0 1 8620 综上 欲使水电站年总利润的均值达到最大 应安装发电机2台 规律方法 1 对实际问题进行具体分析 将实际问题转化为数学问题 并将问题中的随机变量设出来 并准确求出随机变量的分布列 2 依据期望与方差的定义 公式求出相应的期望与方差值 依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释 训练3 2016 福州调研 为回馈顾客 某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励 规定 每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球 球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 1 若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元 其余3个均为10元 求 顾客所获的奖励额为60元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望 2 商场对奖励总额的预算是60000元 并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成 或标有面值20元和40元的两种球组成 为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡 请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计 并说明理由 2 根据商场的预算 每个顾客的平均奖励额为60元 所以 先寻找期望为60元的可能方案 对于面值由10元和50元组成的情况 如果选择 10 10 10 50 的方案 因为60元是面值之和的最大值 所以期望不可能为60元 如果选择 50 50 50 10 的方案 因为60元是面值之和的最小值 所以期望也不可能为60元 因此可能的方案是 10 10 50 50 记为方案1 对于面值由20元和40元组成的情况 同理 可排除 20 20 20 40 和 40 40 40 20 的方案 所以可能的方案是 20 20 40 40 记为方案2 以下是对两个方案的分析 对于方案1 即方案 10 10 50 50 设顾客所获的奖励额为x1 则x1的分布列为 对于方案2 即方案 20 20 40 40 设顾客所获的奖励额为x2 则x2的分布列为 思想方法 1 掌握下述均值与方差有关性质 会给解题带来方便 1 e ax b ae x b e x y e x e y d ax b a2d x 2 若x b n p 则e x np d x np 1 p 2 基本方法 1 已知随机变量的分布列求它的均值 方差和标准差 可直接按定义 公式 求解 2 已知随机变量x的均值 方差 求x的线性函数y ax b的均值 方差和标准差 可直接用均值