高考数学40个考点总动员 考点33 随机事件的概率、古典概型和几何概型（教师版） 新课标.doc

2013年新课标数学40个考点总动员 考点33 随机事件的概率、古典概型和几何概型（教师版）【高考再现】热点一 随机事件的概率1. (2012年高考广东卷理科7)从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数为0的概率是（ ）a. b. c. d. 2.(2012年高考新课标全国卷理科15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 3.(2012年高考山东卷文科18) (本小题满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.()从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；()现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率. (ii)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.4.(2012年高考湖南卷文科17)（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55.（）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率）（）记a为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得.是互斥事件，.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.【方法总结】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误热点二 古典概型1.(2012年高考重庆卷理科15)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.2(2012年高考上海卷理科11)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【答案】【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为.3. （2012年高考江苏卷6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 4某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式。 （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310（i）假设花店在这100内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。（2）（）这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为（）利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为考点定位：本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求分段函数的解析式和平均利润，以及概率。5.(2012年高考陕西卷文科19)（本小题满分12分）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率【方法总结】计算古典概型事件的概率可分三步：算出基本事件的总个数n；求出事件a所包含的基本事件个数m；代入公式求出概率p.热点三 几何概型1(2012年高考北京卷理科2)设不等式组，表示平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）（a） （b） （c） （d）2. (2012年高考福建卷理科6)如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）a b c d【答案】c【解析】，,所以.3.(2012年高考湖南卷理科15)函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，p为图像与y轴的交点，a,c为图像与x轴的两个交点，b为图像的最低点.（1）若，点p的坐标为（0，），则 ;（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在abc内的概率为 .（2）由图知，设的横坐标分别为.设曲线段与x轴所围成的区域的面积为则，由几何概型知该点在abc内的概率为.4.(2012年高考辽宁卷理科10)在长为12cm的线段ab上任取一点c.现作一矩形，领边长分别等于线段ac，cb的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为（ ）(a) (b) (c) (d) 【答案】c5. (2012年高考湖北卷理科8)如图，在圆心角为直角的扇形oab中，分别以oa，ob为直径作两个半圆。在扇形oab内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )a. b. . c. d. 【考点定位】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题.6. (2012年高考陕西卷理科10)右图是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ）（a） （b） （c） （d） 由几何概型知，点落入扇形的概率为，则，故选d.【考点定位】此题主要考查算法的基本思想和功能以及结构.【方法总结】首先认真阅读题目，把其中的有用信息向我们熟悉的知识方面转化，实现知识的迁移，然后再利用概率的知识去解决.数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件a满足的不等式，在图形中画出事件a发生的区域，利用公式可求【考点剖析】一明确要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别了解互斥事件、对立事件的意义及其运算公式.2.理解古典概型及其概率计算公式会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的 概率.二命题方向1随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查2借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主3.以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内容新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主三规律总结一条规律 (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式p(a)1p()，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较简便一条规律从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合i，基本事件的个数n就是集合i的元素个数，事件a是集合i的一个包含m个元素的子集故p(a).两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求另外在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同一条规律对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决【基础练习】1(人教a版教材习题改编)一从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()a至少有一个红球与都是红球b至少有一个红球与都是白球c至少有一个红球与至少有一个白球d恰有一个红球与恰有二个红球解析对于a中的两个事件不互斥，对于b中两个事件互斥且对立，对于c中两个事件不互斥，对于d中的两个互斥而不对立答案d2(人教a版教材习题改编)一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为()a. b. c. d.3(人教a版教材习题改编)在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为() a. b. c. d14.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆的边界)，则针扎到阴影区域(不包括边界)的概率为()a. b.c. d以上全错5(2012泰州联考)三张卡片上分别写上字母e、e、b，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词bee的概率为_解析三张卡片排成一排共有bee，ebe，eeb三种情况，故恰好排成bee的概率为.答案【名校模拟】一基础扎实1. (2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）理)甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 （ ）a. b. c. d. 2.（2012年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)文）一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，求第一次为白球第二次为黑球的概率为a b c d【答案】b【解析】第一次为白球的概率为第二次为黑球的概率则第一次为白球第二次为黑球的概率3. (山西省2012年高考考前适应性训练文)在棱长为2的正方体内任取一点，则该点到正方体中心的距离不大于1的概率为（ ） a b c d 4.(北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文)已知向量，其中随机选自集合，随机选自集合，那么的概率是_ 【答案】【解析】满足条件有一组：故概率为.5（海淀区高三年级第二学期期末练习文）在面积为1的正方形内部随机取一点，则的面积大于等于的概率是_6(湖北八校文2012届高三第二次联考)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点p，则点p到点的距离都大于1的概率为_ _解析：由题意得圆柱的体积为，点p到点的距离都大于1时，点p落在分别以为球心半径为1的半球的外部，两个半球的体积和为：，所以概率为.二能力拔高 7.（山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试文）在面积为s的矩形abcd内随机取一点p，则的面积小于的概率是a.b.c.d.8.(文)河南省郑州市2012届高三第二次质量预测在一个边长为500米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆炸物,则爆炸点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投放一个爆炸物被监测到的概率为( )a. b. c. d.abcxyoy=-2x+1y=x+19. (北京市西城区2012届高三下学期二模试卷理)已知函数，其中实数随机选自区间对，的概率是（ ）（a）（b）（c）（d）【答案】c【解析】如图所示，实数随机选自区间时表示为ac=3，的线段为ab=2，故概率是.10(2012届郑州市第二次质量预测理)某校航模小组在一个棱长为6米的正方体房间试飞一种新型模型飞机,为保证模型飞机安全,模型飞机在飞行过程中要始终保持与天花板、地面和四周墙壁的距离均大于1米,则模型飞机“安全飞行”的概率为a. b. c. d.11. (湖北武汉2012适应性训练理)在区间0,1上任取三个数，若向量，则的概率是a b c d【答案】d【解析】依题意得知，实数满足，这样的点可视为空间直角坐标系下的单位正方体区域（其中原点是该正方体的一个顶点）内的点，其中满足，即，这样的点可视为位于空间直角坐标系下的单位正方体区域内的点且还处于以原点为球心、为半径的球形区域内，该部分的体积恰好等于该球体积的，因此的概率等于，选d. 12.(2012洛阳示范高中联考高三理)先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（-1，1）的夹角 的概率是（ ）abcd【答案】d【解析】解：因为先后连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（-1，1）的夹角，而所有的情况有36种，则减去mn的情况就是(6,1),(6,2) (6,3 (6,4) (6,5) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (4,1) (4,2) (4,3) (3,1) (3,2) (2,1)共15种，则由古典概型可知，概率为13.(浙江省2012届浙南、浙北部分学校高三第二学期3月联考试题理)从集合1，2，3，0，1，2，3，4中，随机选出4个数组成子集，使得这4个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为_15.（湖北襄阳五中2012高三年级第二次适应性考试文）从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为,则函数的图象经过第三象限的概率是 答案：解析：由题意得，从集合中随机抽取一个数记作a，则a有四种情况，同理从集合中随机抽取一个数记作b，则b有4中情况。 则的情况有种情况， 函数的图象经过第三象限，有当时；当时；当时；当时；当时；当时，共有6种情况，所以函数图象经过第三象限的概率为。16.(河北省唐山市20112012学年度高三年级第二次模拟考试文)向圆内随机掷一点，则该点落在x轴下方的概率为 。三提升自我17. (浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )在三次独立重复试验中，事件a在每次试验中发生的概率相同，若事件a至少发生一次的概率为，则事件a恰好发生一次的概率为a b c d18.(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)设集合，从集合中随机地取出一个元素，则的概率是( )a b c d 【解析】识别条件：转念：这个集合中放的是点坐标！ 满足的点坐标 ，这个是啥东西? 是一个菱形，也是正方形，中心在坐标原点。 集合a中就是这个正方形内部的点。分象限逐一讨论 这个应该是平时练习过的一个知识点 还有比这个复杂的 继续识别条件：，个容易，抛物线下方的点，必须画图的继续识别条件：从集合中随机地取出一个元素 取点？取出点干嘛呢？赶紧看看问啥，确定一下方向吧：则的概率 一看到概率二字，恍悟，几何概型！行了，二维几何概型题目，利用面积比吧 求求面积就行了，好像还得积分， 加上两边的小三角1以及集合a图形的下半部分4 总面积= 集合a面积：8 。一比：。虽然涉及知识点不少，但是都很浅，没夹杂数学什么思想 不算难题，中等吧 【答案】b19(2012理科数学试卷）甲和乙等五名志愿者被随机地分到a、b、c、d四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲和乙不在同一岗位服务的概率为 (a) (b) (c) (d) 【答案】byxddcdbdad0dgdfded20.(仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题理)已知区域，某人向区域m随机投掷一点p，则点p正好落在区域n的概率为 a、 b、 c、 d、答案：a解：如图，区域m为正方形abcd，区域n为两个弓形oe与of的并集。 故选“a” 21(襄阳五中高三年级第一次适应性考试理)某甲上大学前把手机号码抄给同学乙.后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一 个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意