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三角形相似形 本讲重点本讲重点 1 比例的性质 基本性质 如果 或 a b c d 那么 ad bc 反之亦成立 比例尺 b a d c 合比性质 若 则 ac bd abcd bd 等比性质 若 则 acem bdf bdfn n0 acea bdfb m n 比例中项 若 a b b c 则 b 称为 a c 的比例中项 比例尺 包括地图和模具图 图上距离 实际距离 1 平行出比例 定理及逆定理 1 平行于三角形一边的直线截其它两边 或两边的延长线 所得的对应线 段成比例 1 3 2 几何表达式举例 1 DE BC EC AE DB AD 2 DE BC AB AE AC AD 3 DE BC EC AE DB AD 2 比例的基本性质 a b c d ad bc d c b a 3 定理 平行 出相似 平行于三角形一边的直线和其它两边 或 两边的延长线 相交 所构成的三角形与原三 角形相似 B A C D E 几何表达式举例 DE BC ADE ABC 4 定理 AA 出相似 如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等 那么这两个三角形相似 几何表达式举例 A A 又 AED ACB ADE ABC 5 定理 SAS 出相似 如果一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边对应成比例 并且夹角相等 那么这两个三角形相似 几何表达式举例 AC AB AE AD 又 A A ADE ABC A C D E B A C D E B B A C D E B A C DE A BC DE 图 1图 2图 3图 4 6 双垂 出相似及射影定理 1 直角三角形被斜边上的高分成的两个直 角三角形和原三角形相似 2 双垂图形中 两条直角边是它在斜边上 的射影和斜边的比例中项 斜边上的高是 它分斜边所成两条线段的比例中项 几何表达式举例 1 AC CB 又 CD AB ACD CBD ABC 2 AC CB CD AB AC2 AD AB BC2 BD BA DC2 DA DB 7 相似三角形性质 1 相似三角形对应角相等 对应边成比例 2 相似三角形对应高的比 对应中线的比 对应角平分线 周长的比都等于相似比 3 相似三角形面积的比 等于相似比的平方 1 ABC EFG EG AC FG BC EF AB BAC FEG 2 ABC EFG 又 AD EH 是对应中线 EF AB EH AD 3 ABC EFG 2 EFG ABC EF AB S S 两相似三角形对应的边 周长 中线 角平分线 中垂线 的比都等于相似比 面积比等于相似比的平方 2 三角形相似的基本图形 4 种 3 图形的运动与画位似图形 平移 旋转 轴对称 翻转 放大 缩小 画位似图时注意位似中心 4 动点问题 求面积 S 与时间 t 的关系 当 t 为何值时 两三角形相似 注意 此时一般有两种相似对应 所以应该有两个 t 值 例题讲解例题讲解 1 线段 b 是线段 a c 的比例中项 若 a 2 b 3 那么 c 2 在比例尺为 1 2000 的地图上测得 AB 两地间的图上距离为 5cm 则 AB 两地间的实际距离为 m 3 若 则 0 234 xyz 23xy z 4 2008 年遵义市 东东和爸爸到广场散步 爸爸的身高是 176cm 东东的身高是 156cm 在同一时刻爸爸的影 长是 88cm 那么东东的影长是 cm 5 如果两个相似三角形的相似比是 那么它们的面积比是 1 2 A B C D 1 21 41 22 1 A C D B E A BFCDGH 6 如图 已知 DE BC CE 和 BD 相交于点 O S DOE S COB 4 9 则 AE EB 为 图 6 A 2 1B 2 3 C 3 2D 5 4 7 在中 为直角 于点 找出其中所有的相似三角形 并写出它们Rt ABC C ABCD D5 3 ABBC 的相似比和面积比 8 如图 在正方形网格中 TAB 的顶点坐标分别为 T 1 1 A 2 3 B 4 2 1 以点 T 1 1 为位似中心 按比例尺 TA TA 3 1 在 位似中心的同侧将 TAB 放大为 TA B 放大后点 A B 的对应 点分别为 A B 画出 TA B 并写出点 A B 的坐标 2 在 1 中 若 C a b 为线段 AB 上任一点 写出变化后点 C 的对应点 C 的坐标 9 08 广东中山市 如图 在 ABC 中 BC AC 点 D 在 BC 上 且 DC AC ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F 点 E 是 AB 的中点 连结 EF 1 求证 EF BC 2 若四边形 BDFE 的面积为 6 求 ABD 的面积 注意解题过程 第 8 题图 T O B A x y A BC E D 随堂练习随堂练习 1 若 x y z 2 5 9 则 zyx zyx2 2 已知 3 那么的值是 x y xy y 3 08 福州 如上图 在中 分别是的中点 若 则的长是 ABC DE ABAC 5DE BC 4 08 湖北荆州 两个相似三角形周长的比为 2 3 则其对应的面积比为 5 某校绘制的校园平面图的面积为 2 5m2 比例尺为 1 200 则该校占地面积 m2 6 用放大镜将图形放大 应属于哪一种变换 选填 对称变换 平移变换 旋转变换 相似变换 7 小刚身高 1 7m 测得他站立在阳光下的影子长为 0 85m 紧接着他把手臂竖直举起 测得影子长为 1 1m 那么小刚举起的手臂超出头顶 A 0 5mB 0 55mC 0 6mD 2 2m 8 2008 常州市 如图 在 ABC 中 若 DE BC DE 4cm 则 BC 的长为 AD DB 1 2 A 8cm B 12cm C 11cm D 10cm A B C E D O B A C D E 9 如图 梯形 ABCD 中 DC MN EF AB 若 DC MN EF AB 1 2 3 4 则 SCDMN SNMEF SFEAB 10 湖北省咸 宁市 如图 11 DAB CAE 请补充一个条件 使 ABC ADE 11 如图 已知 AB BD ED BD C 是线段 BD 的中点 且 AC CE ED 1 BD 4 那么 AB 12 2008年南昌市 下列四个三角形 与右图中的三角形相似的是 第 12 题 A B C D 13 2008 年湖北省荆州市 如图 五边形 ABCDE 与五边形 A B C D E 是位似图形 O 为位似中心 OD OD 则 A B AB 为 1 2 A 2 3 B 3 2 C 1 2 D 2 1 14 如图 在 8 8 的网格中 每个小正方形的顶点叫做格点 OAB的顶点都 在格点上 请在网格中画出 OAB的一个位似图形 使两个图形以O为位似 中心 且所画图形与 OAB的位似比为 2 1 15 如下图 已知 则 AC 的长等于 ABC 若将向右平移 2 个单位得到 则点的对应点的坐标是 ABC A B C A A 若将绕点按顺时针方向旋转后得到A1B1C1 则 A 点对应点 A1的坐标是 ABC C90 E 第 10 题图 DA CB A BC DE 第 8 题第 9 题 第 11 题 A 第 14 题图 B O 第 8 题 16 如上图 在 ABC 中 如果 DE BC AD 3 AE 2 BD 4 说明 ADE ABC 求的值以及 AC AE AC EC 的长度 17 如图所示 在平面直角坐标系中 OA 6cm OB 12cm 动点 P Q 同时从 A O 两点出发点 点 P 以 1cm s 的速度往 O 点运动 点 Q 以 1cm s 的速度往 B 点运动 当点 P 到达点 O 时 P Q 两点都停止运动 设运动 时间为 t s 0 t 6 1 试写出的面积与时间 t 的关系 APQB四边形 APQB S四边形 2 当 t 取值时 与相似 POQ AOB 18 2007 年青岛 已知 如图 ABCD 中 DBC 45 DE BC 于 E BF CD 于 F DE BF 相交于 H BF AD 的延长线相交于 G 求证 1 AB BH 2 AB2 GA HF 19 如图 AB CD AD BC 相交于点 E 过点 E 作 EF AB 交 BD 于点 F 则 1 还成立吗 如果成立 请给出证明 如果不成立 请说明理由 AB 1 CD 1 EF 1 A OB P Q 2 请找出 S ABD S BED和 S BDC间的关系式 并给出证明 提高练习提高练习 1 如图 点G是ABC 的重心 CG的延长线交AB于D 5cmGA 4cmGC 3cmGB 将ADG 绕点D旋转180 得到BDE 则DE cm ABC 的面积 cm2 2 2008 福州 如图 已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形 动点 P Q 同时从 A B 两点出发 分别沿 AB BC 匀速运动 其中点 P 运动的速度是 1cm s 点 Q 运动的速度是 2cm s 当点 Q 到达点 C 时 P Q 两 点都停止运动 设运动时间为 t s 解答下列问题 1 当 t 2 时 判断 BPQ 的形状 并说明