高考数学一轮复习 第十章 推理与证明、复数 10.2 数学归纳法课件.ppt

10 2数学归纳法 第十章推理与证明 复数 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 答题模板系列 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 数学归纳法一般地 证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 n0 n 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 第一个值n0 n k 1 知识梳理 1 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 5 用数学归纳法证明等式 1 2 22 2n 2 2n 3 1 验证n 1时 左边式子应为1 2 22 23 6 用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时 n0 3 思考辨析 答案 c 考点自测 2 答案 1 2 3 4 5 2 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n n 3 条时 第一步检验n等于 a 1b 2c 3d 0解析凸n边形边数最小时是三角形 故第一步检验n 3 c 解析答案 1 2 3 4 5 d 答案 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知 an 满足an 1 a nan 1 n n 且a1 2 则a2 a3 a4 猜想an 3 4 5 n 1 返回 答案 1 2 3 4 5 题型分类深度剖析 用数学归纳法证明等式 题型一 解析答案 思维升华 证明 1 当n 1时 左边 右边 所以等式成立 2 假设n k k n 时等式成立 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对于一切n n 等式恒成立 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 1 明确初始值n0的取值并验证n n0时等式成立 2 由n k证明n k 1时 弄清左边增加的项 且明确变形目标 3 掌握恒等变形常用的方法 因式分解 添拆项 配方法 思维升华 求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 证明 1 当n 1时 等式左边 2 右边 2 故等式成立 2 假设当n k k n 时等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 那么当n k 1时 左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2k 1 3 5 2k 1 2k 1 2 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 所以当n k 1时等式也成立 由 1 2 可知 对所有n n 等式成立 跟踪训练1 解析答案 1 求a的值 解由题意 所以a2 1 用数学归纳法证明不等式 题型二 解得a 1 又因为a2 1 所以a 1 解析答案 解析答案 思维升华 证明用数学归纳法证明 故n 2时 原不等式也成立 所以当n k 1时 原不等式也成立 思维升华 1 当遇到与正整数n有关的不等式证明时 应用其他办法不容易证 则可考虑应用数学归纳法 2 用数学归纳法证明不等式的关键是由n k成立 推证n k 1时也成立 在归纳假设后 可采用分析法 综合法 求差 求商 比较法 放缩法等证明 思维升华 2014 陕西 设函数f x ln 1 x g x xf x x 0 其中f x 是f x 的导函数 1 令g1 x g x gn 1 x g gn x n n 求gn x 的表达式 2 若f x ag x 恒成立 求实数a的取值范围 3 设n n 比较g 1 g 2 g n 与n f n 的大小 并加以证明 跟踪训练2 解析答案 下面用数学归纳法证明 假设n k时结论成立 解析答案 那么 当n k 1时 gk 1 x g gk x 由 可知 结论对n n 成立 当a 1时 x 0 仅当x 0 a 1时等号成立 x 在 0 上单调递增 又 0 0 x 0在 0 上恒成立 解析答案 当a 1时 对x 0 a 1 有 x 0 x 在 0 a 1 上单调递减 a 1 1时 存在x 0 使 x 0 综上可知 a的取值范围是 1 解析答案 比较结果为g 1 g 2 g n n ln n 1 下面用数学归纳法证明 解析答案 假设当n k时结论成立 由 可知 结论对n n 成立 命题点1与函数关系式有关的证明 归纳 猜想 证明 题型三 解析答案 由x2 x4 x6猜想 数列 x2n 是递减数列 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 已证命题成立 2 假设当n k时命题成立 即x2k x2k 2 即x2 k 1 x2 k 1 2 所以当n k 1时命题也成立 结合 1 2 知 对于任何n n 命题成立 命题点2与数列通项公式 前n项和公式有关的证明 解当n 1时 解析答案 2 证明通项公式的正确性 证明 由 1 知 当n 1 2 3时 通项公式成立 假设当n k k 3 k n 时 通项公式成立 即当n k 1时 通项公式也成立 解析答案 返回 答题模板系列 典例 14分 数列 an 满足sn 2n an n n 1 计算a1 a2 a3 a4 并由此猜想通项公式an 2 证明 1 中的猜想 思维点拨 1 由s1 a1算出a1 由an sn sn 1算出a2 a3 a4观察所得数值的特征猜出通项公式 2 用数学归纳法证明 答题模板系列 8 归纳 猜想 证明问题 解析答案 返回 答题模板 温馨提醒 思维点拨 1 解当n 1时 a1 s1 2 a1 a1 1 当n 2时 a1 a2 s2 2 2 a2 当n 4时 a1 a2 a3 a4 s4 2 4 a4 规范解答 解析答案 答题模板 温馨提醒 2 证明 当n 1时 a1 1 结论成立 6分 假设n k k 1且k n 时 结论成立 ak 1 sk 1 sk 2 k 1 ak 1 2k ak 2 ak ak 1 2ak 1 2 ak 10分 那么n k 1时 8分 所以当n k 1时 结论成立 13分 答题模板 温馨提醒 归纳 猜想 证明问题的一般步骤第一步 计算数列前几项或特殊情况 观察规律猜测数列的通项或一般结论 第二步 验证一般结论对第一个值n0 n0 n 成立 第三步 假设n k k n0 时结论成立 证明当n k 1时结论也成立 第四步 下结论 由上可知结论对任意n n0 n n 成立 答题模板 温馨提醒 解决数学归纳法中 归纳 猜想 证明 问题及不等式证明时 还有以下几点容易造成失分 在备考时要高度关注 1 归纳整理不到位得不出正确结果 从而给猜想造成困难 2 证明n k到n k 1这一步时 忽略了假设条件去证明 造成使用的不是纯正的数学归纳法 3 不等式证明过程中 不能正确合理地运用分析法 综合法来求证 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧 只有这样 才能快速正确地解决问题 温馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 数学归纳法的两个步骤相互依存 缺一不可有一无二 是不完全归纳法 结论不一定可靠 有二无一 第二步就失去了递推的基础 2 归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时 对于归纳假设要注意以下两点 1 归纳假设就是已知条件 2 在推证n k 1时 必须用上归纳假设 3 利用归纳假设的技巧在推证n k 1时 可以通过凑 拆 配项等方法用上归纳假设 此时既要看准目标 又要掌握n k与n k 1之间的关系 在推证时 分析法 综合法 反证法等方法都可以应用 方法与技巧 1 数学归纳法证题时初始值n0不一定是1 2 推证n k 1时一定要用上n k时的假设 否则不是数学归纳法 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 用数学归纳法证明2n 2n 1 n的第一个取值应是 a 1b 2c 3d 4解析 n 1时 21 2 2 1 1 3 2n 2n 1不成立 n 2时 22 4 2 2 1 5 2n 2n 1不成立 n 3时 23 8 2 3 1 7 2n 2n 1成立 n的第一个取值应是3 c 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 代入验证可知n的最小值是8 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 数列 an 中 已知a1 1 当n 2时 an an 1 2n 1 依次计算a2 a3 a4后 猜想an的表达式是 a 3n 2b n2c 3n 1d 4n 3解析计算出a1 1 a2 4 a3 9 a4 16 可猜an n2 故应选b b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当n k 1时 不等式成立 则上述证法 a 过程全部正确b n 1验得不正确c 归纳假设不正确d 从n k到n k 1的推理不正确 解析在n k 1时 没有应用n k时的假设 不是数学归纳法 d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 利用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 时 从 n k 变到 n k 1 时 左边应增乘的因式是 解析当n k k n 时 左式为 k 1 k 2 k k 当n k 1时 左式为 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 b 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 设数列 an 的前n项和为sn 且对任意的自然数n都有 sn 1 2 ansn 通过计算s1 s2 s3 猜想sn 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 左边增加了2k项 2k 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求过点p1 p2的直线l的方程 解由题意得a1 1 b1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 试用数学归纳法证明 对于n n 点pn都在 1 中的直线l上 证明 当n 1时 2a1 b1 2 1 1 1成立 假设n k k n 时 2ak bk 1成立 当n k 1时 2ak 1 bk 1 1也成立 由 知 对于n n 都有2an bn 1 即点pn都在直线l上 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 在数列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 2 2n n n 0 1 求a2 a3 a4 解a2 2 2 2 2 2 22 a3 2 22 3 2 22 2 3 23 a4 2 3 23 4 2 23 3 4 24 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 猜想 an 的通项公式 并加以证明 解由 1 可猜想数列通项公式为 an n 1 n 2n ak 1 ak k 1 2 2k 下面用数学归纳法证明 当n 1 2 3 4时 等式显然成立 假设当n k k 4 k n 时等式成立 即ak k 1 k 2k 那么当n k 1时 k 1 k 2k k 1 2k 1 2k k 1 k 1 k 1 2k 1 k 1 1 k 1 2k 1 所以当n k 1时 猜想成立 由 知数列的通项公式为an n 1 n 2n n n 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 设f x 是定义在正整数集上的函数 且f x 满足 当f k k2成立时 总可推出f k 1 k 1 2成立 那么 下列命题总成立的是 a 若f 1 1成立 则f 10 100成立b 若f 2 4成立 则f 1 1成立c 若f 3 9成立 则当k 1时 均有f k k2成立d 若f 4 16成立 则当k 4时 均有f k k2成立解析 f k k2成立时 f k 1 k 1 2成立 f 4 16时 有f 5 52 f 6 62 f k k2成立 d 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以当n k 1时 不等式成立 则上述证法 a 过程全部正确b n 1验得不正确c 归纳假设不正确d 从n k到n k 1的推理不正确 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析在n k 1时 没有应用n k时的假设 所以不是数学归纳法 故选d 答案d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 设平面上n个圆周最多把平面分成f n 片 平面区域 则f 2 f n n 1 n n 解析易知2个圆周最多把平面分成4片 n个圆周最多把平面分成f n 片 再放入第n 1个圆周 为使得到尽可能多的平面区域 第n 1个应与前面n个都相交且交点均不同 有n条公共弦 其端点把第n 1个圆周分成2n段 每段都把已知的某一片划分成2片 即f n 1 f n 2n n 1 所以f n f 1 n n 1 而f 1 2 从而f n n2 n 2 4 n2 n 2 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 设平面内有n条直线 n 3 其中有且仅有两条直线互相平行 任意三条直线不过同一点 若用f n 表示这n条直线交点的个数 则f 4 当n 4时 f n 用n表示 解析f 3 2 f 4 f 3 3 2 3 5 f n f 3 3 4 n 1