第七章二阶电路.doc

第七章 二阶电路 当电路中含有两个独立的动态元件时，描述电路的方程为二阶微分方程，电路称为二阶电路。二阶电路过渡期的特性不同与一阶电路。用经典的方法分析二阶电路的步骤为：（1）根据KVL，KCL及元件的VCR写出以或为变量的二阶微分方程；（2）由，确定电路的初始状态，即得出或的值；（3）求出二阶微分方程的两个特征根，根据的不同取值，确定方程的齐次通解（也是电路的零输入响应），一般分为三种情况：为两个不相等的实根（称过阻尼状态） 通解=为共轭复根（称欠阻尼或衰减振荡状态） 通解=为相等实根（称临界状态） 通解=由激励源的函数形式确定方程的特解形式；由初始条件，确定或等待定常数，得出确定的解。二阶电路的重点是掌握其在过渡期的三种状态及物理过程。7-1 电路如图所示，开关未动作前电路已达稳态，t=0时开关S打。求。 解：这是一个求二阶电路初始值的问题，求法与一阶电路类似。先求和。t0后，电路的微分方程为方程的特征根为 即 和为一对共轭复根，故电路处于欠阻尼或衰减振荡。微分方程的通解为 式中，A和为待定常数，由初始条件 解得 即 故 当mAV当时，即，s时，电流达最大值 mA7-4 图示电路中开关S闭合已久，t=0时S打开。求，。解：t0后,电路的微分方程为 特征方程为 解得特征根 即 为两个共轭复根，所以电路为振荡放电过程，其方程的通解为 式中，。根据初始条件 A，可得 解得 故电感电流和电容电压分别为 A V7-5 电路如图所示，t=0时开关S闭合，设，L=1H，C=1F，U=100V。若：（1）电阻；（2）电阻；（3）。试分别求在上述电阻值时电路的电流I和电压。解：t0后，电路的微分方程为由题意知，电路的初始条件为 ，因此，这是一个求二阶电路零状态响应的问题。设的解答为 式中为方程的特解，满足为对应的齐次方程的通解，其函数形式与特征根的值有关。根据特征方程可得 （1） 当时，有即 特征根为两个不相等的实数，电路处于非震荡放电过程，的形式为根据初始条件，可得 解得 所以电容电压 （2） 当时，有 即 电路处于临界阻尼情况。的形式为 根据初始条件可得 即 即 所以电容电压 电流为 （3） 当时，有 即 为两个共轭复根，可知电路处于震荡放电过程，即欠阻尼情况。的形式为解得 故电容电压为 电流为 7-6 图示电路中，电路已处稳态。设开关S在t=0时打开，试求。解：由题意可知电路的初始条件为 t0后，电路方程为 设电容电压的解答为 方程的特征根为 即 ， 为两个共轭复根，所以电路的响应为衰减震荡，即欠阻尼情况。对应齐次方程的通解为，式中。根据初始条件，可得解得 所以电容电压 电流 电感电压 7-7 图示电路在开关S打开之前已达稳态；t=0时，开关S打开，求t0时的。解：由图可知，t0时 因此，电路的初始值为 t0后电路的方程为 其特征根为 即 ，特征根为两个共轭复根，所以电路处于衰减震荡过程。电容电压为 式中。根据初始条件，可得从中解得 故电容电压为 7-8 图示电路在开关S动作前已达稳态；t=0时S由1接至2，求t0时的。解：由图可知，t0时 ， 因此，时，电路的初始条件为 t0后，电路的方程为 设的解为 式中为方程的特解，满足根据特征方程的根 可知，电路处于衰减震荡过程，因此，对应齐次方程的通解为式中。由初始条件可得解得 故电容电压 电流 7-9 图式并联电路中，已知。求t0时的。解：由题意知，电路的初始值为 这是一个求二阶电路的零输入响应的问题。电路的微分方程为 特征根方程为则 即 为两个不相等的负实根，所以电路处于非振荡过程，即过阻尼情况，的通解为 代入初始条件有解得 故电感电流为 7-10 图示电路中 。求：（1）时，电路的阶跃响应；（2）时，电路的冲激响应。解：当时，电路的初始值为t0后，电路的方程为 设为方程的特解，满足 根据方程的特征根 即 为两个不相等的负实根，可得对应的齐次方程的通解为代入初始条件，有 解得 故电感电流为 （2）当时解法一：利用冲激响应和阶跃响应之间的关系，对（1）中结果求导得解法二：在t=0时，电路的方程为把上式在到区间积分，得根据是连续函数及零状态条件， 可得 即 说明在到间隔内冲激响应是由次电容储能所产生的。 t0后，电路的方程为 解答为 代入初始条件，有 解得 ， 故电感电流为 A 7-11 当为下列情况时，求图示电路的响应: （1） （2） 解：（1）当时，电路的初始条件为；时，电路的方程为 设的解答为 为方程的特解，满足。根据方程的特征根 为两个共轭复根，可得对应的齐次方程的通解为式中.由初始条件可确定A和。即解得 则电路的响应 (2) 当时，利用冲激响应和阶越响应的关系，对（1）中结果求导。得 7-12 图示并联电路中，在t=0时开关由位置1接至位置2，由位2置接至位置1。已知。求t0时的.。解：由图示可解得