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第七章 二阶电路 当电路中含有两个独立的动态元件时,描述电路的方程为二阶微分方程,电路称为二阶电路。二阶电路过渡期的特性不同与一阶电路。用经典的方法分析二阶电路的步骤为:(1)根据KVL,KCL及元件的VCR写出以或为变量的二阶微分方程;(2)由,确定电路的初始状态,即得出或的值;(3)求出二阶微分方程的两个特征根,根据的不同取值,确定方程的齐次通解(也是电路的零输入响应),一般分为三种情况:为两个不相等的实根(称过阻尼状态) 通解=为共轭复根(称欠阻尼或衰减振荡状态) 通解=为相等实根(称临界状态) 通解=由激励源的函数形式确定方程的特解形式;由初始条件,确定或等待定常数,得出确定的解。二阶电路的重点是掌握其在过渡期的三种状态及物理过程。7-1 电路如图所示,开关未动作前电路已达稳态,t=0时开关S打。求。 解:这是一个求二阶电路初始值的问题,求法与一阶电路类似。先求和。t0后,电路的微分方程为方程的特征根为 即 和为一对共轭复根,故电路处于欠阻尼或衰减振荡。微分方程的通解为 式中,A和为待定常数,由初始条件 解得 即 故 当mAV当时,即,s时,电流达最大值 mA7-4 图示电路中开关S闭合已久,t=0时S打开。求,。解:t0后,电路的微分方程为 特征方程为 解得特征根 即 为两个共轭复根,所以电路为振荡放电过程,其方程的通解为 式中,。根据初始条件 A,可得 解得 故电感电流和电容电压分别为 A V7-5 电路如图所示,t=0时开关S闭合,设,L=1H,C=1F,U=100V。若:(1)电阻;(2)电阻;(3)。试分别求在上述电阻值时电路的电流I和电压。解:t0后,电路的微分方程为由题意知,电路的初始条件为 ,因此,这是一个求二阶电路零状态响应的问题。设的解答为 式中为方程的特解,满足为对应的齐次方程的通解,其函数形式与特征根的值有关。根据特征方程可得 (1) 当时,有即 特征根为两个不相等的实数,电路处于非震荡放电过程,的形式为根据初始条件,可得 解得 所以电容电压 (2) 当时,有 即 电路处于临界阻尼情况。的形式为 根据初始条件可得 即 即 所以电容电压 电流为 (3) 当时,有 即 为两个共轭复根,可知电路处于震荡放电过程,即欠阻尼情况。的形式为解得 故电容电压为 电流为 7-6 图示电路中,电路已处稳态。设开关S在t=0时打开,试求。解:由题意可知电路的初始条件为 t0后,电路方程为 设电容电压的解答为 方程的特征根为 即 , 为两个共轭复根,所以电路的响应为衰减震荡,即欠阻尼情况。对应齐次方程的通解为,式中。根据初始条件,可得解得 所以电容电压 电流 电感电压 7-7 图示电路在开关S打开之前已达稳态;t=0时,开关S打开,求t0时的。解:由图可知,t0时 因此,电路的初始值为 t0后电路的方程为 其特征根为 即 ,特征根为两个共轭复根,所以电路处于衰减震荡过程。电容电压为 式中。根据初始条件,可得从中解得 故电容电压为 7-8 图示电路在开关S动作前已达稳态;t=0时S由1接至2,求t0时的。解:由图可知,t0时 , 因此,时,电路的初始条件为 t0后,电路的方程为 设的解为 式中为方程的特解,满足根据特征方程的根 可知,电路处于衰减震荡过程,因此,对应齐次方程的通解为式中。由初始条件可得解得 故电容电压 电流 7-9 图式并联电路中,已知。求t0时的。解:由题意知,电路的初始值为 这是一个求二阶电路的零输入响应的问题。电路的微分方程为 特征根方程为则 即 为两个不相等的负实根,所以电路处于非振荡过程,即过阻尼情况,的通解为 代入初始条件有解得 故电感电流为 7-10 图示电路中 。求:(1)时,电路的阶跃响应;(2)时,电路的冲激响应。解:当时,电路的初始值为t0后,电路的方程为 设为方程的特解,满足 根据方程的特征根 即 为两个不相等的负实根,可得对应的齐次方程的通解为代入初始条件,有 解得 故电感电流为 (2)当时解法一:利用冲激响应和阶跃响应之间的关系,对(1)中结果求导得解法二:在t=0时,电路的方程为把上式在到区间积分,得根据是连续函数及零状态条件, 可得 即 说明在到间隔内冲激响应是由次电容储能所产生的。 t0后,电路的方程为 解答为 代入初始条件,有 解得 , 故电感电流为 A 7-11 当为下列情况时,求图示电路的响应: (1) (2) 解:(1)当时,电路的初始条件为;时,电路的方程为 设的解答为 为方程的特解,满足。根据方程的特征根 为两个共轭复根,可得对应的齐次方程的通解为式中.由初始条件可确定A和。即解得 则电路的响应 (2) 当时,利用冲激响应和阶越响应的关系,对(1)中结果求导。得 7-12 图示并联电路中,在t=0时开关由位置1接至位置2,由位2置接至位置1。已知。求t0时的.。解:由图示可解得

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