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第7章随机利率模型 考试要求 7 1引言相关概念利率模型的评价标准均衡模型与无套利模型7 2Ho Lee模型Ho Lee模型Ho Lee模型的应用7 3连续时间随机利率模型下零息债券的定价随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程利率风险的市场价格零息债券价格满足的偏微分方程基于鞅方法的零息债券定价公式 7 4Vasicek模型Vasicek模型及模型求解Vasicek模型下的债券的定价7 5CIR模型CIR模型及模型求解CIR模型下债券的定价7 6单因素模型的局限性单因素模型的局限多因素模型简介 要点详解 7 1引言1 相关概念 1 银行账户过程定义为t时刻银行账户过程 的价值 假设 0 1 且银行账户满足以下的微分方程 其中是瞬时利率 由上式可以进一步的推出 说明 如果瞬时利率rt是随机的 银行账户过程也是随机的 2 随机折现因子 在t时刻到T时刻的随机折现因子D t T 是 随机折现因子的含义假设在0时刻向银行账户存入A单位货币 则在t 0时刻银行账户将有单位货币 若希望在T T t 时银行账户有1单位货币 即 需在0时刻投入单位的货币 这笔金额在t时刻银行账户的价值为 所以 T时刻的1单位货币 在t时刻的价值为 3 连续复利收益率用B t T 表示T时刻到期的零息票债券1单位面值在t时刻的价格 连续复利收益率R t T 定义为 由这个等式可以推出 R t T 是零息债券在 t T 上的平均收益率 说明 尽管B t T 与D t T 二者都是从T到t的贴现因子 但B t T 在t时刻是一个数 而D t T 则可能是一个随机变量 4 远期单利和远期复利t时刻的期限为 T S T S 的远期单利的定义为 t时刻的期限为 T S T S 的远期复利的定义为 说明 和是基于t时刻的信息对未来的期限为 T S 的即期单利和即期复利的预期值 5 远期瞬时利率远期瞬时利率的定义为 由定义可知 由上面的等式可以推出 零息债券的价格可表示为 这个式子结合可以推出 说明 当期限 T S 无限小时单利和复利相等 例题7 1 零息债券的远期利率由表达式f 0 T 0 05 0 01T给出 其中T为年数 面值为100美元 到期以面值赎回 则到期日为5年的零息债券的价格为 A 94 65B 88 69C 68 73D 36 79E 25 36 答案 C 解析 到期日为5年的零息债券的价格为 美元 2 利率模型的评价标准利率模型能够满足一些优良的性质 这些优良的性质包括 1 模型应该是无套利的 即利率应该是非负的 2 利率应该具有均值回复特征 即利率围绕某一均值波动 如利率超过均值 则在未来有下降的趋势 反之 如低于均值 则未来有上升的趋势 3 被用于计算债券以及利率衍生品价格时应较为简单 4 应该是动态的 能充分反映市场利率的变化 5 参数容易估计 且模型能较好的拟合历史数据 6 有明显的经济意义 说明 许多常用的随机利率模型只具有上面的部分性质 但在实际应用中往往忽略模型的某些缺陷 3 均衡模型与无套利模型 1 均衡利率模型 绝对定价模型 可以对债券和利率衍生品定价 由于货币市场和资本市场的复杂性 单因素均衡模型推导出来的收益率曲线一般不能精确地拟合实际的收益率曲线 所以实际中也常常采用多因素模型 单因素模型 是指模型中只涉及一个布朗运动 或者说模型只有一个风险源 多因素模型 是指涉及多个布朗运动 因而对应了多个风险源 说明 在均衡模型中 远期利率是由随机模型预测得到 2 无套利模型 相对定价模型或拟合模型 基本思想是基于已知的市场债券或其他利率衍生品的价格构造收益率曲线 再利用得到的收益率曲线对其他的利率衍生品定价 基于无套利模型得到的价格是一种相对价格 即相对于已知的价格的无套利价格 说明 在无套利模型中 远期利率是通过债券或某些利率衍生品的价格得到 7 2Ho Lee模型1 Ho Lee模型 假定市场是完备的 考虑离散时间 该模型假定初始利率期限结构是已知的 使用了当前可观测的期限结构所包含的全部信息来给衍生证券定价 以保证不出现套利机会 是无套利模型 sn 第n期市场的状态空间 贴现函数 第n期 状态出现 到期时刻为T的零息票债券的价格 在任意时刻n 状态i 利率期限结构由一系列贴现函数来完全描述 其中贴现函数满足 第一个条件表明零息票债券的价格非负 第二个条件表明到期时零息票债券的价格为1 第三个条件表明期限无限长的零息债券的价格为零 1 Ho Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况Ho Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况为 在第n期 贴现函数有n 1中可能状态 贴现函数的每个状态都都独立于通向该节点的路径 仅由初始点到该节点之间的向上移动和向下移动的次数决定 在该二叉树模型中 每个节点对应一组折现率 因此每个节点都对应一组与之关联的各种零息债券的价格 图7 1零息债券价格的二叉树模型 2 极限情况下 Ho Lee模型下的短期利率在极限情况下 Ho Lee模型下的短期利率满足 其中 为时间t的函数 描述了变动的趋势 为一常数 描述了利率的波动幅度 为标准布朗运动 2 Ho Lee模型的应用由可得 在计算债券价格时 通常将离散化为 其中随机变量 在u出现时取 1 在d出现时取 1 u和d分别代表向上移动和向下移动 例题7 2 表7 1为一组面值为100元的零息票债券的数据 设利率变动符合Ho Lee模型 其中 表7 1市场观测数据期限 年 零息利率 零息债券价格 元 l5 8394 4926 3088 50构建Ho Lee模型下利率的二叉树及债券价格的二叉树 解 债券价格的树形结构如图7 2所示 其中2年期的零息票债券在一年后其价格以0 5的概率变为Pu 或者以0 5的概率变为Pd 图7 2基于Ho Lee模型的定价二叉树 2年期零息票债券 该价格是受相应利率变动影响的 与其相对应的短期利率的结构如图7 3所示 图7 3基于Ho Lee模型的短期利率树形结构首先可以得到Pu和Pd的表达式分别为 再由债券价格可得 解该方程得 也可得到 债券的价格二叉树 利率的二叉树分别如图7 4和图7 5所示 图7 4基于Ho Lee模型的债券价格二叉树图7 5基于Ho Lee模型的短期利率树 例题7 3 图7 6给出了一利率二叉树图 假设所有分支上的概率都是1 2 用倒向法计算两年期零息债券的价格为 图7 6A 0 8865B 0 8925C 0 9071D 0 9123E 0 9257 答案 C 解析 两年期零息债券的价格为 7 3连续时间随机利率模型下零息债券的定价1 随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程 1 随机利率模型的一般形式考虑单因素模型 关于短期利率rt的随机微分方程的一般形式为 其中 被称为漂移项 被称为波动项 为客观概率测度P下的标准布朗运动 2 零息债券价格满足的随机微分方程由于零息债券价格B t T 与rt有关 则可以把B t T 视为关于t T rt的函数 即 方法一 对B t T rt 微分可得 则零息债券满足的随机微分方程 方法二 直接对B t T rt 应用引理 也可以得到上面的随机微分方程 2 利率风险的市场价格用两种不同到期日的零息债券 即T1 T2 构造无风险资产组合 设组合为 7 1 选择适当的头寸 使得的风险为零 即 7 2 是两种零息债券对利率风险的敏感度之比 也是用到期日为T2的零息债券对到期日为T1的零息债券做套期保值的比率 对微分可得 由可得 故组合是无风险的 因此其收益率与无风险收益率相等 即 7 3 将的表达式代入 7 3 式 可得 由可得 由T1 T2的任意性可知 数值 7 4 与期限T无关 仅与t rt有关 记为 t 下面我们探究 t在实际中的含义 T时刻到期的债券价格在客观概率测度下的随机微分方程重新记为 其中 和分别为零息债券的瞬时收益率和瞬时波动率 由可以得到 因此可以看出 t的含义是承担单位风险获得的超额收益 即利率风险的市场价格 3 零息债券价格满足的偏微分方程模型推导 由可得零息债券价格满足的偏微分方程 整理上式 可得 7 5 边界条件为 B T T 1 模型求解方法 可以利用有限差分方法或者蒙特卡罗模拟法对上式进行求解 因此可对任意特定的随机利率模型求出上式的数值解 利用Feynman Kac公式 债券价格满足的微分方程的解为 其中Q是风险中性概率测度 表示在t时刻的信息集 一般的 对于一个到期日为T的利率衍生品 如果其到期支付为f T 则该衍生品t时刻的价格为 4 基于鞅方法的零息债券定价公式在风险中性概率测度Q下 任何资产的期望收益率均为无风险收益率 因此债券价格满足的随机微分方程变为 根据零息债券满足的随机微分方程可得由得 说明 这里需要假定Girsanov定理的条件成立 可通过测度变换将贴现的债券价格过程转化为鞅 令其中 t是银行账户过程 显然Z T T T 1 由引理可得 7 6 因此Z t T 是一个Q鞅 所以 将Z t T 和Z T T 的表达式代入 7 6 式可得 7 4Vasicek模型短期利率rt最著名的两个模型是Vasicek模型和CIR模型 这两个模型都是时间齐性 即rt未来的变化仅依赖于rt的当前值 而不是当前的时刻t 1 Vasicek模型及模型求解 1 客观概率测度下的Vasicek模型 模型的形式该模型形式为 7 7 其中 为正的常数 参数 描述了利率回复的速度 参数 为短期利率的长期水平 它是一个满足均值回复特征的随机利率模型 由模型的形式知 当rt 时 漂移项的符号为负 此时rt位于 的上方 总体是向下移动的 因此在Vasicek模型中 rt是以 回复参数的 满足 7 7 的过程称为Ornstein Uhlenbeck过程 因此在Vasicek模型下短期利率是Ornstein Uhlen beck过程 Vasicek模型的解定理7 1随机微分方程的解为 证明 考虑过程 由引理可知 等式两边取积分 得到 故从而该定理得证 由随机分析的基本知识可知 积分服从均值为0 方差为的正态分布 因此rt服从均值为 方差为的正态分布 基于t时刻的信息集Ft rT T t 的条件分布服从正态分布 2 在风险中性概率测度下的Vasicek模型在风险中性概率测度下的Vasicek模型形式为 其中 风险的市场价格 为常数 与客观概率测度下的Vasicek模型相比 风险中性概率测度下的长期均值发生了变化 方程的形式和波动率 都没有变化 说明 尽管Vasicek模型中利率可以正的概率取负值 该模型仍得到了广泛的应用 2 Vasicek模型下债券的定价定理7 2Vasicek模型下零息债券的价格为 其中 证明 假设债券价格的形式为 7 8 其中 为待定函数 在中 t rt rt t rt t rt 代入可得到Vasicek模型下的关于债券价格的偏微分方程 由可得下列等式 所以可以重写成 因为上述等式对于任意的r都是成立的 所以函数A b可以通过解下面两个独立的微分方程得到 7 9 7 10 又因P T T r 1 即 对于任意的rt都是成立的 则A 0 1 b 0 0 这是式 7 9 和 7 10 的边界条件 解方程可得 所以债券价格公式为 其中 定理得证 设 由定理7 2及可知 因此 当T 时R t T R t 其中R t 为期限无限大时零息债券的收益率 说明 Vasicek模型的不足 该模型下的利率可能以正的概率出现负值 考虑的时间范围较短时 负利率出现的概率可能很小 此时影响不大 当考虑的期限很长时 负利率出现的概率及其精确程度等问题就会变得愈发显著而不能忽略 例题7 4 假设在Vasicek模型中 0 15 0 08 初始的短期利率为8 1 短期利率在短时间内变化的初始标准差为0 023 由该模型计算的5年期零息债券的价格为 2011年春季真题 A 0 6638B 0 6681C 0 6723D 0 6782E 0 6837 答案 C 解析 由此外 利率风险的市场价格 于是 例题7 5 假设在Vasicek模型中的参数为 0 1和 0 1 在此种模型下 初始短期利率均为10 在一个短时间 t内 短期利率变化的初始标准差为0 02 则所给出的10年期零息债券的价格为 A 0 38046B 0 36025C 0 35698D 0 25037E 0 24019 答案 A 解析 在Vasicek模型中 0 1和 0 1和 0 02 得到 例题7 6 证明Vasicek模型下的瞬时远期利率为 7 11 其中解 由定理7 2及式可得 由 的定义可得 及将和代入可得 7 11 式 7 5CIR模型1 CIR模型及模型求解CIR模型 在一般均衡条件下的经济环境中考虑了利率的期限结构问题的模型 单因素CIR模型的形式为 7 12 其中 为正的常数 满足 7 12 式的过程称为平方根过程 说明 CIR模型仍是一个具有均值回复特性的模型 短期利率rt围绕长期均值 波动 利率回复到均值的速度由模型中的参数 描述 CIR模型中它的波动项增加了rt的平方根 保证了利率rt不会出现负值 通过求解可以得到下面的定理 定理7 3用表示自由度为a 非中心参数为b的非中心分布的密度函数 在CIR模型下 基于t时刻的短期利率rt 未来T T t 时刻的rT的条件分布的密度函数为 其中引理7 1设是一个过程 称为Dynkin算子 则 定理7 4CIR模型下 基于t时刻的短期利率rt 未来T T t 时刻rT的条件期望为 条件方差为 特别的 取t 0 可得对任意的t 0 有 7 13 7 14 证明 仅证式 7 13 和 7 14 前两个等式的证明是类似的 的证明 对两边取期望 因E dWt 0 所以 由引理7 1可得 7 15 上式的边界条件为E r0 r0 设则 7 15 式变为 对上式两边从0到t积分 并将代入可得 其中C为常数 由边界条件可得 C r0 的证明 对rt2用引理 可得 由引理7 1可得 将式代入上式将得到一个关于E rt2 的一阶常微分方程 解方程可得 结合式和上式即可得到说明 由定理7 4可知 当t 时 rt 2 CIR模型下债券的定价CIR模型下风险的市场价格为 其中为正的常数 将和代入下式得到CIR模型下零息债券价格满足的微分方程 该微分方程的求解 假定上式中零息债券价格的形式为 可求出待定函数如下 说明 在CIR下债券的定价是非常复杂的 这在一定程度上限制了实际中对该模型的应用 例题7 7 假设当前的短期利率为4 其标准差为每年1 当短期利率增长到8 时 CIR模型的标准差的变化情况是 A 短期利率标准差增加到1 518 B 短期利率标准差保持在1