高中数学 精讲优练课型 第一章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象课件 新人教版必修4.ppt

1 4 3正切函数的性质与图象 知识提炼 函数y tanx的图象和性质 r 奇函数 即时小测 1 判断 1 正切函数的定义域和值域都是r 2 正切函数在整个定义域上是增函数 3 正切函数在定义域内无最大值和最小值 4 正切函数的图象既是轴对称图形 也是中心对称图形 解析 1 错误 正切函数的定义域为 x x k k z 值域为r 2 错误 正切函数在 k k k z是增函数 在整个定义域上不具有单调性 3 正确 正切函数在定义域内值域为r 无最大值 最小值 4 错误 正切函数的图象是中心对称图形 但不是轴对称图形 答案 1 2 3 4 2 函数y tan x 的定义域为 解析 函数的自变量x应满足x k k z 即x k k z 所以 函数的定义域为 x x k k z 答案 x x k k z 3 函数y tan x 3 的周期为 解析 由于f x tan x 3 tan x 3 tan x 4 3 f x 4 因此函数的周期为4 答案 4 4 函数y tanx x 的值域为 解析 因为y tanx在 上是增函数 且tan 1 tan 所以函数的值域为 1 答案 1 5 比较大小 tan167 tan173 填 或 解析 因为90 167 173 180 且y tanx在 上是增函数 所以tan167 tan173 答案 知识探究 知识点1正切函数的性质观察如图所示内容 回答下列问题 问题1 正切函数在定义域上是单调函数吗 是周期函数吗 问题2 正切函数是奇函数还是偶函数 总结提升 1 正切函数单调性的三个关注点 1 正切函数在定义域上不具有单调性 2 正切函数无单调递减区间 有无数个单调递增区间 在 上都是增函数 3 正切函数的每个单调区间均为开区间 不能写成闭区间 也不能说正切函数在 上是增函数 2 确定正切函数奇偶性的步骤 1 确定定义域 x x k k z 关于原点对称 2 由诱导公式 tan x tanx 知正切函数是奇函数 3 函数y atan x k 0 周期的计算公式一般地 函数y atan x k 0 的最小正周期 知识点2正切函数的图象观察图形 回答下列问题 问题1 画正切曲线的关键点和关键线分别是什么 问题2 正切曲线是轴对称图形吗 是中心对称图形吗 总结提升 1 正切函数图象的两种作法 1 几何法 利用单位圆中的正切线作图 该方法较为精确 但画图时较烦琐 2 三点两线法 三点 是指 1 0 0 1 两线 是指x 和x 大致画出正切函数在 上的简图后向左 向右扩展即得正切曲线 2 正切函数图象的对称性 1 对称性 正切函数图象的对称中心是 0 k z 不存在对称轴 2 渐近线 直线x k k z 称为正切曲线的渐近线 渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分 正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线 在渐近线左侧向上无限接近渐近线 题型探究 类型一正切函数的定义域问题 典例 2015 益阳高一检测 若f x 求函数的定义域为 解题探究 本例中解三角不等式tanx m的基本方法是什么 提示 数形结合 求y tanx的图象在y m上方的点的横坐标的取值范围 解析 由tanx 0 得tanx 利用图象知 所求定义域为 k k k z 答案 k k k z 延伸探究 1 变换条件 改变问法 将本例函数改为f x tan 2x 求与此函数图象不相交的与x轴垂直的直线方程 解析 由得 k z 所以所求直线方程为x k z 2 变换条件 将本例函数改为 其定义域又是什么 解析 根据题意 得解得所以函数的定义域为 方法技巧 求正切函数定义域的方法及求值域的注意点 1 求与正切函数有关的函数的定义域时 除了求函数定义域的一般要求外 还要保证正切函数y tanx有意义即x k k z 而对于构建的三角不等式 常利用三角函数的图象求解 2 求正切型函数y atan x a 0 0 的定义域时 要将 x 视为一个 整体 令 x k k z 解得x 3 解形如tanx a的不等式的步骤 变式训练 函数的定义域是 解析 x应满足所以所以0 x 或 x 4 所以所求定义域为 0 4 答案 0 4 延伸探究 1 变换条件 将本题中 tanx 改为 tanx 1 其他条件不变 结果又如何 解析 x应满足即所以所以0 x 或 x 4 所以所求定义域为 0 4 2 变换条件 改变问法 将本题函数改为 试画出此函数在 0 上的图象 解析 由tanx 0 x 0 解得x 0 且x 且x 其图象如下 类型二正切函数单调性的应用 典例 1 2015 上海高一检测 函数y tan x 的单调递减区间是 2 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小 1 tan220 与tan200 2 tan与 解题探究 1 典例1中y tan x 的单调性与y tan x 的单调性有什么关系 提示 y tan x 的单调递减区间是y tan x 的单调递增区间 2 典例2中 比较两个正切值的大小 首先要如何变形 提示 先用诱导公式将两个角转化到同一个单调区间上 解析 1 因为所以y tan x 的单调递减区间是y tan x 的单调递增区间 由k x k k z得k x k k z 所以函数y tan x 的单调递减区间是 k k k z 答案 k k k z 2 1 因为tan220 tan 180 40 tan40 tan200 tan 180 20 tan20 且y tanx在0 x 90 是增函数 所以tan40 tan20 即tan220 tan200 2 因为y tanx在 上单调递增 所以即 延伸探究 将本例1中的函数改为 试求此函数的单调递增区间 解析 由k z得k z 所以函数的单调递增区间为 方法技巧 1 运用正切函数单调性比较大小的方法 1 运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内 2 运用单调性比较大小关系 2 求函数y atan x a 都是常数 的单调区间的方法 1 若 0 由于y tanx在每一个单调区间上都是增函数 故可用 整体代换 的思想 令k x k k z 解得x的范围即可 2 若 0 可利用诱导公式先把y atan x 转化为y atan x atan x 即把x的系数化为正值 再利用 整体代换 的思想 求得x的范围即可 变式训练 试用正切函数的单调性比较tan8和tan 的大小 解题指南 先用诱导公式将已知角绝对值化小 再用单调性比较大小 解析 因为tan8 tan 3 8 tan 3 8 tan tan 9 tan 因为3 8 8 1 0 3 8 8 5 16 tan 3 8 即tan8 补偿训练 tan1 tan2 tan3 tan4从小到大的排列顺序为 解析 y tanx在区间 上是单调增函数 且tan1 tan 1 又 2 3 4 1 所以tan2 tan3 tan4 tan1 答案 tan2 tan3 tan4 tan1 类型三正切函数奇偶性与周期性的应用 典例 1 直线y a a为常数 与正切曲线y tan x 为常数 且 0 相交的两个相邻点间的距离为 2 1 求函数与函数f x tanx tanx 的最小正周期 2 判断函数g x tan2x的奇偶性 解题探究 1 典例1中 两个相邻交点的距离有什么意义 提示 两个相邻交点的距离是周期 2 典例2 1 中 求周期的方法是什么 2 中判断奇偶性的步骤是什么 提示 求y atan x 的周期可依据公式其他形式的函数可考虑图象法 判断奇偶性首先要求定义域并判断其是否关于原点对称 若对称再判断f x 与f x 的关系 最后依据奇偶性定义回答 解析 1 选c 因为直线y a a为常数 与正切曲线y tan x相交的相邻两点间的距离就是正切函数的周期 又因为y tan x的周期是 所以直线y a a为常数 与正切曲线y tan x相交的相邻两点间的距离是 2 1 函数的最小正周期为t f x tanx tanx 作出f x tanx tanx 的简图 如图所示 易得函数f x tanx tanx 的周期t 2 函数g x tan2x的定义域是 x x k z 关于坐标原点对称 又g x tan 2x tan2x g x 所以函数g x tan2x是奇函数 方法技巧 与正切函数有关的函数的周期性 奇偶性问题的解决策略 1 一般地 函数y atan x 的最小正周期为t 常常利用此公式来求周期 2 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域 判断其是否关于原点对称 若不对称 则该函数无奇偶性 若对称 再判断f x 与f x 的关系 变式训练 1 2015 南昌高一检测 给出如下四个函数 f x 5sin x f x cos sinx f x xsin2x f x 其中奇函数的个数是 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 选b 是非奇非偶函数 定义域为r f x cos sin x cos sinx cos sinx f x 是偶函数 定义域为r f x xsin2 x xsin2x f x 是奇函数 定义域由1 tan2x 0得tanx 1 x x k 且x k k z 关于原点对称f x f x 是奇函数 2 已知函数f x 2tan kx 的最小正周期t满足1 t 2 求自然数k的值 解析 t 由1 2得 k 而k n 所以k 2或3 补偿训练 判断下列函数的奇偶性 1 f x 2 f x 解析 1 由得f x 的定义域为 x x k 且x k k z 不关于原点对称 所以函数f x 既不是偶函数 也不是奇函数 2 函数定义域为 x x k 且x k k z 关于原点对称 又f x tan x tan x tan x tan x f x 所以函数是奇函数 易错案例函数y atan x 的对称中心 典例 2015 杭州高一检测 已知函数y tanx 的图象 则图象的对称中心坐标为 失误案例 错解分析 分析解题过程