有效改进数学教学.doc

有效改进数学教学兴凯兴凯中学数学教研组有效改进数学教学一、课改中形成的基本共识 核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本教育中的“科学发展观” 教学目标全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展数学育人。 教学要求个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础 教学设计不仅从内容的教学需要预设提问、讲授、训练等，而且特别强调课堂“生成”，预设能引发学生独立思考、自主探究的“开放性问题”，乃至强调“看过问题三百个，不会解题也会问” 教学方法讲授、问答、训练的综合，不再是单一的讲授或活动，是教师主导取向的讲授式和学生自主取向的活动式的融合，强调“启发式讲授”的重要性 学习方式接受与探究的融合，强调学生学习主动性、积极性，独立思考和合作学习的结合 教学过程知识发生发展过程（自然、水到渠成）为载体的学生认知过程，以学生为主体的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、深度参与（教学的有效性） 教学评价教师根据教学进程进行教学反馈、调节，学生通过自我监控调节学习进程，重视形成性评价发展的眼光 教学媒体追求“必要性”“平衡性”“广泛性”“实践性”“有效性”，服务于数学概念、原理的实质理解 教改只能成功不能失败，因为人才的成长没有重复机会，教育要绝对避免“折腾”。 教改必须“大胆创新，谨慎实践”。 当前，与教育的本质相悖的“功利化”现象还占据主导地位，需要我们共同努力，为教育的理想而奋斗。二、有效教学的关键 理解数学，理解学生，理解教学。 “三个理解”的内涵：掌握丰富的数学学科知识；初中数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。 特别强调“内容所反映的数学思想方法”的理解，决定了教学所能达到的水平和效果。 有效教学的基本标准以自然的、水到渠成的知识发生发展过程为载体设计学生的数学活动过程，充分发挥学生学习的主动性、积极性，强调学生数学思维的展开、深度参与，强调数学概念、原理和思想方法的实质性理解，强调用数学解决问题的能力的落实。三、数学教学存在的主要问题 数学教学“不自然”，强加于人，对学生数学学习兴趣与内部动机都有不利影响； 缺乏问题意识，对学生的创新精神和实践能力培养不利； 重结果轻过程，“掐头去尾烧中段” ，关注知识背景和应用不够，导致学习过程不完整； 重解题技能、技巧轻普适性思考方法的概括，方法论层次的内容渗透不够，机械模仿多独立思考少，数学思维层次不高； 讲逻辑而不讲思想，关注数学思想、理性精神不够，对学生整体数学素养的提高不利。四、课堂教学的高立意与低起点 立意不高许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求。 数学的“育人”功能如何体现？挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。 关键：提高思想性。 “技术”：加强“先行组织者”的使用。例1 四边形的“先行组织者” 概括三角形中研究的问题、线索和基本方法：定义（组成元素、分类）三角形的性质（变化中的不变性、规律性，从度量关系和位置关系入手）三角形的全等（确定三角形的条件）特殊三角形的研究（角特殊直角三角形、边特殊等腰三角形，性质、判定）相似三角形（性质、判定） 目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的“基本套路”。 引导学生类比，思考“四边形”研究的问题、线索和方法等： 一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角和）； 特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手； 边的特殊性平行四边形：性质和判定；“性质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题； 特殊的平行四边形：角的特殊矩形，边的特殊菱形，边角都特殊正方形，都要研究性质和判定。 研究的方法：化归为三角形、平行线的性质等已有知识； 特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形直角三角形；菱形等腰三角形； 梯形例2 梯形面积公式的推导 如图，教师在将梯形进行切割后问学生： （1）这个平行四边形的底与梯形的上、下底有什么关系？ （2）平行四边形的高与梯形的高有什么关系？ （3）梯形的面积与拼成的平行四边形的面积有什么关系？ （4）梯形的面积应怎样算？ 以学生思维最近发展区为定向的教学 我们知道，长方形面积是“长宽”。你能回忆一下，我们是如何利用长方形面积得到三角形面积和平行四边形面积的吗？ 如何利用已有的面积公式求出梯形的面积公式？ 核心思想：利用割补法，将梯形面积化归为矩形、平行四边形、三角形的面积例3 乘法公式的理解及教学设计 多项式运算就是含有字母符号的算式之间的运算（字母代表数，数满足运算律，所以字母也满足运算律）； 两个多项式的乘积就是用分配律把它归于单项式的乘积之和来计算，单项式的乘积是用乘法的交换律、结合律和指数法则来计算运算法则； 乘法公式是一类特殊的多项式乘法问题，是一个模式。乘法公式蕴含的思想方法 乘法公式是研究一般多项式乘法基础上对“特例”的考察，寻找一个模式： 在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b，c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即（1）a=c，b=d时有平方差公式；（2）a=c，b=d时有完全平方和公式；等。从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例”是数学研究的“基本套路”。教学过程设计 1复习与引入 问题1 前面我们学习了单项式、多项式的乘法，你能说说运算法则吗？这些运算的依据是什么？ 设计意图：回顾运算法则，强化“用运算律计算”的意识。 先行组织者：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，a，b，c，d可以是数、式或别的什么。数学中，经常要通过考察特殊情况来获得对问题的进一步认识，例如在两条直线的位置关系中，我们特别研究了平行、垂直两种特殊的位置关系，得到了一些有用的结论。类似的，在多项式乘法中，也有一些特殊情形值得研究。 2公式的探究 问题2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接写出结果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x时的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？ 设计意图：通过“先行组织者”，渗透从一般到特殊，考察特例，深入认识数学对象的方法；在让学生自主活动之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使学生有一个类比对象，明确思考方向。 问题3 请你用自己的语言表述平方差公式、完全平方公式。 设计意图：帮助学生理解公式。 3例题 本环节主要目的是通过变式（字母a，b取数、式等各种变形），让学生体会公式在“形式化运算”中的作用。另外，通过适当反例，纠正学生可能的疏忽。最终要让学生明确：第一，具备形式(a+b)(ab)或(ab)2，就可以用公式；第二，要注意哪个代表a，哪个代表b。 4公式的多元联系表示 问题4 如果a，b表示线段的长，则a2，b2分别表示正方形的面积。你能根据公式的形式，自己构造一个图形表示上述乘法公式吗？ 设计意图：通过构造几何模型表示公式，以开拓学生的思路。通过数形结合、图形直观，以加深理解、增强记忆。 5小结 （1）请你总结一下本节课讨论问题的基本过程。 设计意图：引导学生总结“基本套路”，即“多项式乘法（一般）乘法公式（特殊）公式特征分析与相关知识的联系”。 （2）为什么要讨论“特殊情形”？是如何得到的？ 设计意图：体会“如何提出问题”。 （3）能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题？ 设计意图：引导学生自主研究。必要时可作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推广“次数”，可以研究(a+b)3，(a+b)4。虽然这不是“课标”要求的，但对学生思维发展是有好处的。 提高课堂教学的立意，是落实“教育中的科学发展观”，全面关注学生的发展。 当前，社会功利化、各级政府的教育行政主管部门等以升学率为主要考核标准的不良导向，导致教育的短期行为愈演愈烈，“全面关注”变成了“只关注分数”，而且为了分数可以不择手段竭泽而渔。五、提高概念的教学水平1当前概念教学的问题 概念教学走过场，常常采用“一个定义，三项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠 有些老师不知如何教概念2教概念的意义 李邦河院士：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！ 以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空3概念教学的核心 概念教学的核心是概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。4理论依据 概括是人们掌握概念的直接前提； 概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础； 概括是科学研究的关键机制； 学习和应用知识的过程也是概括的过程； 数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力的训练是数学能力训练的基础； 概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础。5概念教学的基本环节 典型丰富的具体例证属性的分析、比较、综合； 概括共同本质特征得到概念的本质属性； 下定义（准确的数学语言描述）； 概念的辨析以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义； 用概念作判断的具体事例形成用概念作判断的具体步骤； 概念的“精致”建立与相关概念的联系。例4 函数概念的理解和教学 被扭曲的函数概念教学举例：（1）只在形式化变形上下功夫如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分，图像过点A(3,0)，对程轴为x=1，给出下列四个结论：b4ac，bc0，2a+b=0，a+b+c=0，其中正确的结论是 。（2）与平面几何知识的叠加 (3)将知识点拼凑、叠加，成为一种数学游戏据称，这是近几年中考常见的压轴题。有评论说：“这样的题目的特点是通过采用宽入口、低起点、层层递进、逐步提高知识的综合程度，利用点和线的图形运动，借助函数知识来研究图形在运动变化过程中的数量关系，同时渗透多种数学思想方法的方式设计题目的问题，为题目的区分度奠定了较好的基础。” 完全离开了函数的背景，割裂了函数与客观世界的天然联系。 人为制造，矫揉造作！关于函数概念的理解 说文解字：函信函，传递和交流信息的书面形式。引申为（有顺序的）对应关系。 函数的来源：函数来源于运动，是应“科学的数学化”之所需。“数学从运动的研究中引出了一个基本概念。在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数或变量间的关系的概念。”（M克莱因）函数概念的本质 函数概念的本质：两个变量之间的一种特殊的对应关系。“函数”不是一个数，而是一个对应关系。 函数概念所反映的基本思想：运动变化的思想。 教学的核心任务：让学生体验“一个量随着另一个量的变化而变化”的过程只有数字、图形游戏是办不到的。题目的比较 我们习以为常的题目： 这样的题目，只有形式化的训练，主要在代数运算上下功夫，函数的味道很淡，“变量”、“运动变化”、“一个量随另一个量的变化而变化”以及变化过程中“确定的关系”或“变化规律”等，都体现得不够。 换一种方法出题目： 函数味道很浓，“变量”、“一个量随另一个量的变化而变化”以及变化过程中“确定的关系”或“变化规律”等，都得到充分体现。一定要理解了概念才能回答，如必须真正理解斜率k的实际含义才能回答“是什么原因导致了他们所画的图像的不同？” 两种出题方法的教育功能也是不同的后一种方法更有助于学生理解函数概念的本质；能让学生感受数学的作用；对学生能力的培养更全面。函数概念的发展简史 背景：17世纪，科学家们致力于对运动的研究。如计算天体的位置，长距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等。涉及两个变量之间的关系，要根据这种关系对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的速度推测它能达到的高度和射程。 莱布尼兹用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等。1718年，贝努利强调函数要用公式表示。1755年，欧拉将函数定义为“如果某些变量，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的变量称为后面变量的函数”。 当时很多数学家对不用公式表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度。 1837年，狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数”。 1870年代，随着集合概念的出现，函数概念用更加严谨的集合与对应语言表述。 映射的语言定义函数则是更晚的事情了。函数概念的教学要点 为学生铺设概括函数概念的通道； 精选实际例子从实例出发，在函数概念的引入、表示、性质和应用等阶段都要注意使用实际例子，为学生提供理解函数概念的“参照物”。一个好例子胜过一千次说教。 不在字面含义、形式化“应用”等方面纠缠，多让学生用函数观点解释具体问题。 围绕运动变化、变量、一个量随另一个量的变化而变化等，以实例为载体开展教学，加强思想方法、函数建模等。例5 一次函数的例题教学 一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外，再以每分0.05元的价格按照上网时间计费。如何选择收费方式能使上网更合算？ 通常的做法：列出函数解析式，画出函数图像看出相交，再解二元一次方程组得交点坐标，结合图像，给出回答；或者引入“差额函数”，借助与x轴的交点作答。充分挖掘本题的教学价值 问题1 10分两种方式收费各多少？20分呢？50分呢？引导学生采用多种表征方式，用表格法很方便。时间（分）0102030405060方式A01.02.03.04.05.06.0方式B20.020.521.021.522.022.523.0 问题2 为什么可以用射线表示收费情况？ 问题3 为什么方式A的图像经过原点，而方式B的图像经过点（0，20）？ 问题4 如何找到上网a分时的两种方式各收费多少？ 问题5 计费方式的哪些方面在表格或图像中表现出来了？（两组数的差是常数；每多上网1分，就要再付0.1元或0.05元）。 问题6 如果你不常上网，选哪种方式更合算？如果常上网呢？ 问题7 如果你想尽量长时间上网，但又不想让费用超过40元，该选哪种方式？ 问题8 如果方式A收取基费，或方式B提高基费，对图像有什么影响？（截距问题） 问题9 如果方式A决定将每分0.1元提高到每分0.15元，它的图像有什么变化？（斜率问题） 问题10 如果方式A改为不足1分按1分算，请画出图像。（阶梯形） 问题11 哪种函数表示法更容易得到收费相等的时间点？ 问题12 哪种函数表示法更容易看出每分的收费标准？ 问题13 如何从表格中确定收费标准？ 问题14 如何从图像上确定收费增加快慢？ 问题15 如何从图像上看出用哪种方式更经济？六、怎样才是抓“基础” 我国“双基”的优势正在丧失； 现象： （1）数学教学题型教学刺激反应（记忆、模仿型学习）； （2）缺少概念的概括过程，以训练代替概念教学应用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的； （3）过分关注“题型”与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，结果是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；等。如何改变？ 要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性无知者无能； 不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题； 加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。 应追求解决问题的“根本大法”基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。例6 关于“配方法” 概念：把二次（三项）式配成一个含二项式的完全平方的式子 ax2+bx+c=a(x+b/2a) 2+(4acb2)/4a 依据：(a+b) 2=a 2+2ab+b2 步骤：（1）二次项系数变1；（2）加上并减去一次项系数一半的平方。 “配方法”是基本而重要的，在“三个二次”中有广泛应用。一元二次方程的求根公式 从最简单的开始：x 2=a；变式：(xp) 2=q，并分析“能解”的原因（可以通过开方将方程“降次”）。 对于ax2+bx+c=0，通过与“变式”的比较，得到化归为(xp) 2=q就能解的思想方法，并让学生独立思考获得用“配方法”推导出求根公式。 这里要让学生形成一个“基本套路”：从特殊到一般，将复杂问题化归为简单问题，要注意化归的条件（完备性思维的严谨性）二次函数y=ax2+bx+c的性质 沿用一元二次方程求根公式的“套路”，从最简单的y=x2开始，到y=ax2，再到y=a(xh)2+k ，最后到y=ax2+bx+c。 思想方法：“化归”到前一种情况。 研究工具：配方法。 研究的问题：开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性（包括最大值、最小值）等，要让学生对为什么要研究这些性质有所感受。“配方法”的灵活应用 “配方” “完全平方式”非负性 例：（1）无论m取何值，2x 2+(m1)x+(m4)=0都有两个不等实根。判别式是不等于0的“完全平方式”。 （2）已知x2+4y22x+4y+2=0，求x，y的值。一个方程两个未知量，一般是不定的，但特殊情况下可以，即实质是“方程组”，化归的方法是“配方得到完全平方式”。 七、探究式教学的天时地利人和 天时：建设创新型社会，教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”； 地利：教学内容是否适合于“探究”有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；但更多的内容可采用探究式教学； 人和：师生共同营造的“探究氛围”，有赖于学生“探究式学习的心向”，也有赖于教师的“探究型教学的意识”。 探究过程需要精心设计围绕核心的定向探究；数学思想方法在自主探究中有关键作用，需要教师的启发引导注意使用“先行组织者”。 “我校生源差，反复讲还记不住，怎能让学生自主探究？”学习是知与行的统一，只“讲”肯定不会；探究是深层次的思维活动，是“心动”与“行动”的融合。生源越差越要精心组织学生的探究活动，如何铺设探究的台阶是对教师的考验。例7 不适宜于探究的内容举例 概念名称，如“有理数”“无理数”“补角” “余角”等； 定义，什么叫代数式、两条直线平行的定义等； 数学符号，如判别式，全等，相似； 某些复杂的定理，如勾股定理，只要理解意义，会证明，能应用； 为什么用圆周角与圆心的相对位置对圆周角进行分类？例8 适宜探究的内容举例 实数运算律从具体到抽象，归纳得出； 乘法公式，平方差公式、完全平方公式等； 各种几何性质原则上都是可以探究的； 例9 等腰三角形的性质 先行组织者：对于三角形，我们研究过它的组成要素和相关要素（内角、边、外角、角平分线、中线、高等）的度量关系；研究过两个三角形的特殊关系全等问题；等。这些研究从性质和判定两个角度入手。像研究直线的特殊位置关系（垂直、平行）一样，三角形也有特殊的（是什么？）需要研究“角”为标准的直角三角形，“边”为标准的等腰三角形（特例是等边）。 问题1 你认为可以研究等腰三角形的哪些问题？性质与判定 问题2 等腰三角形的性质可以从哪些角度入手？角的关系（两底角相等）、高、中线、角平分线的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。 问题3 前面学习过轴对称图形，知道角是以角平分线为对称轴的轴对称图形。根据这些经验，请动手剪一个等腰三角形，并说明你得到的一定是等腰三角形。 问题4：从“剪”的过程看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？你可以得到哪些性质的猜想？ 问题5：“剪”的关键步骤是什么？数学含义是什么？ 问题6：上述猜想是从一个等腰三角形得到的，是否对所有等腰三角形都有这些性质呢？如何证明？通过全等三角形，注意从操作中获得证明思路的启发。 问题7：对特殊的等腰三角形等边三角形，有什么相应的特殊结论？什么时候实验，什么时候推理？ 例10 平行四边形的判定 核心：判定与性质的逻辑关系，以此为载体，培养合情推理、逻辑推理的能力 教学过程的设计要点： 复习怎样复习？不只是罗列知识点 提出判定定理的学习任务，由定义可以判定（讲清条件：两组对边互相平行），但条件的表现形式是多样化的，根据不同条件更灵活地判断学习判定定理的理由 从操作开始，还是从逆命题开始？ 暂时认同先操作：操作猜想“两组对边相等的四边形为平行四边形”证明接着干什么？（与性质定理比较） 后续的猜想，可以从性质出发。如果还不做，则在小结时无论如何要说。当前存在的问题 没有关注思维的自然，逻辑推理能力的培养，停留在“实验猜想证明应用”的模式上。 过度依赖实验，降低了平面几何的教育价值。 该推理时不推理，该证明时不证明从一般到特殊、逆命题等，都“该证明”。八、重结果轻过程的危害是什么？ 数学是思维的科学。数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。“思想”是概念的灵魂，是“数学素养”的源泉，是从知识到能力的桥梁；“过程”是“思想”的载体，是领悟概念本质的平台，是思维训练的通道，是培养数学能力的土壤。 没有过程=没有思想； 没有思想就难以理解概念的实质； 缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨别性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣。 没有“过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激反应”训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。例11 平行线的判定 过程中体现的思想性 复习： （1）在“相交线”中，我们是如何展开研究的？ 研究线索：定义（获得研究对象）图形的性质（同一类图形的共同本质特性）特例（垂直） 研究内容：四个角的位置关系、大小关系；特例的“特殊性”邻补角相等时两条直线的位置关系，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（不垂直时有两条），垂线段最短。（2）“三线八角”的研究过程是什么？其中的关键是什么？ 与相交线的研究思路一样，对“两条直线AB、CD被第三条直线EF所截”构成的八个角的位置关系进行分类。 位置关系分类的关键是确定分类标准（两个不共顶点的角在AB、CD的同一方，EF的同一侧）。“平行线的判定”的过程构建 问题一：类比相交线的特例，在“三线八角”中，有哪些特例？（两条直线平行平行公理；第三条直线与两条直线都垂直；等） 先行组织者：对于几何图形，我们主要考察位置关系和大小度量。对于某种确定的图形（位置关系），我们一般从判定和性质两个角度进行研究。判定就是具备什么条件就有这种位置关系；性质就是具有这种位置关系的图形有什么共性。下面先学习“判定”。 问题二：显然我们可以用定义来判定，但由于直线可以无限延伸，用定义判断不方便。从“三线八角”模型、画平行线的过程等操作中，你能得到什么启发？同位角相等，两直线平行（公理）。 问题三：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定呢？通过内错角、同旁内角与同位角的关系，注意训练推理的条理性，渗透化归思想。课堂小结 从运动变化观点看直线与直线的位置关系（将相交线、垂线、平行线串起来）； 研究问题的基本思路：平行是特殊的位置关系，如何判断？特殊性有哪些（性质）？ 判定方法： 一般的（同位角、内错角和同旁内角）；特殊的（a，b同时平行或同时垂直于第三条直线）九、怎样才是“数学思维的教学” 1树立正确的学生观学生的主动参与是根本保证。 2让学生真正“动起来”书上得来终觉浅，绝知此事须躬行。 3精心选择和使用例子一个好例子胜过一千次说教。 4关注课堂中生成的教学资源从学生的切身体验中引发更深层次的思考。例12 “有理数加法法则”教学设计（1）明确典型、丰富素材的类型：a+b=c中，a，b都是正数或0；正+负，负+正，负+负，负+0，0+负在异号两数相加时，还有正数的绝对值大于或小于负数的绝对值两种情况（2）创设问题情境：从O点出发，向东（西）走5米，再向（西）东走3米，结果是共向东（西）走8米分别用图和算式表示。（3）让学生自己举一些类似例子。（4）让学生概括上述情形，并填写：两个 数相加，仍得 数，并把 相加进一步地， 号两数相加，符号 ，并把 相加（5）a，b异号有几种情形？ 分类标准的选择很重要。由于a，b异号，所以以绝对值大小为标准分为：负数的绝对值较大；两数的绝对值相等；正数的绝对值较大（6）类比前面的过程，举一些负数的绝对值较大的两个异号有理数相加的实例，并概括法则。（7）其他情形如法炮制。（8）最后，再概括到一般法则。例13 “圆与直线位置关系”的教学对话 这是一个真实的故事。十、提高“理解数学”的水平 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 理解数学概念的几个方面：从表面到本质把握概念的深层结构上的进步；从抽象到具体对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更多的典型、精彩的例子；从孤立到系统对概念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体化的认识；等。 提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是重点，同时也使教师专业化发展的抓手 。例14 用频率估计概率 如何理解频率？随机变量，随试验结果的改变而改变。 概率，随机的还是确定的？ 事件A出现的概率为0，A是不可能事件吗？ 事件A出现的概率为1，A是必然事件吗如何理解用频率估计