华工高数作业册答案第8章.pdf

院 系班级姓 名作业编号 1 第八章重积分 作业作业作业作业9 9 9 9二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 1 利用二重积分的性质 比较下列积分的大小 1 与 2 d D xy 3 d D xy a D 是由直线及所围成的闭区域 0 0 yx1 yx b D 是由圆周所围成的闭区域 2 1 2 22 yx 解 a 因为在区域内部有 从而大 23 1 xyxyxy 2 d D xy b 因为在区域内部有 从而大 23 1 xyxyxy 3 d D xy 2 与e d xy D 2 ed xy D a D 是矩形闭区域 10 10 yx b D 是矩形闭区域 10 01 yx 解 a 因为在区域内部有 从而大 2 02 1 xyxy xyxyee d xy D e 3 与 其中是由三个坐标面与ln 1 dxyzv 2 ln 1 dxyzv 平面所围成的闭区域 1 zyx 解 因为 在区 域内 部有 从 而 112 0ln 11xyzexyz 因此大 2 0ln 1ln1xyzxyz ln 1 dxyzv 高等数学 同步作业册 2 2 利用积分的性质 估计下列各积分的值 1 其中D是矩形闭区域 d D Ixy xy 10 10 yx 解 因为在区域内部有 因此 1 2 1xy xyD 02I 2 其中为球体 222 ln 1 dIxyzv 1 222 zyx 解 因为在区域内部有 222 4 1ln 1 ln2 3 xyzV 因此 4 0ln2 3 I 3 其中L为圆周位于第一象限的部分 d L Ixys 1 22 yx 解 因为在曲线上积分 不妨设 cos sin 2cossin2sin2 4 xt ytxyttt 2s L 因此2 22 2I 4 其中为柱面被平面所截下 222 1 dIS xyz 1 22 yx1 0 zz 的部分 解 因为在曲面上积分 从而 222 11 1 2xyz 2S 因此2I qpqqxyppxy 解 曲线方程联立 得 22 22 2 qp pxpqxqxypq 作图知 原式 22 22 2 2222 2 2 223 qy pqpq q pqpqyp p pqqyyp dydxdypq qp 5 求由四个平面所围柱体被平面及1 1 0 0 yxyx0 z632 zyx 所截得的立体的体积 解 四个平面决定的区域 D 为 1 1 0 0 yxyx01 01xy 在区域 D 内部 6236230zxy 从而所截得的立体的体积 11 00 623623 D Vxy dvdyxy dx 1 0 7 53 2 y dy 6 化下列二次积分为极坐标系下的二次积分 1 11 00 d dyf x yx 11 1 cossin 242 00000 4 cos sincos sincos sindf rrrdrdf rrrdrdf rrrdr 院 系班级姓 名作业编号 5 2 23 22 0 d d x x yfxyy 2 3sin 0 4 cos sindf rrrdr 7 利用极坐标计算下列积分 1 其中D是由圆周所围成的闭区域 22 ed xy D 4 22 yx 解 D是圆周 即4 22 yx02 02r 从而 2222 22 2 4 0 00 1 ed21 2 xyrr D de rdree 2 其中是由圆所围成的闭区域 d D xy Dyxyx 22 解 D是圆周围成 22 xyxy 知其为 3 0cossin2sin 444 r 从而原式 2sin 3 4 4 2 0 4 cossindrd2sin 4 D rrdr dr 3 4 42 4 0 4 148 3 1 2sin2sin 3433 4 2 22 dtdt 3 D是与所d D y xyx 2222 byxa 0 0 ba 确定的闭区域 解 D是圆环的关于原点对称的两部分 与arb arctanarctan arctanarctan 从而原式 arctanarctan 22 arctanarctan sindrdsinsin bb Daa rrdr drdr dr 33 arctanarctan arctanarctan coscos0 33 bb aa rr 由对称性更简单 因为 对称点的积分微元反号 x yDxyD 4 其中D是介于两圆和之间的闭区域 d D x xyx2 22 xyx4 22 解 D介于两圆之间 可知2cos4cos 22 r 高等数学 同步作业册 6 从而原式 4cos 22 24 2cos 22 1 cosdrdcos648 cos 3 D rrdr drd 2 4 112112 3 1 cos7 334 2 2 d 8 用适当的坐标计算下列积分 1 其 中是 由 直 线 22 d D xy Dxy axy ay 所围成的闭区域 ay3 0 a 解 作图知由直角坐标表达方便 D3 aya yaxy 22 d D xy 3 3 33 222 3 y aa ay aa yya dyxydxaydy 3 4 4 4444 344444 13221821 9 123121232 a a yya ayaaaaa 2 其中是由圆周所围成的闭区域 222d D Rxy DRxyx 22 解 由表达式由极坐标表达方便 D0cos 22 rR 原式 cos 22 222233 00 2 2 drdsin1 3 R D Rr rdRr rdrRd 2 3333 0 2224 sin 3233239 RdRR 3 D d D xy 111 22 yx 解 先作坐标轴平移 再用极坐标 1cos 1sin 01 02uxrvyrddudvrdrdr 原式 1 dudv D uvuv 21 2 00 sincoscossin1drrrdr 2 2 2 00 11111 sincoscossinsinsincos 432832 d 院 系班级姓 名作业编号 7 4 D 22 22 d D xy ab 1 2 2 2 2 b y a x 解 用广义极坐标 cos sin 01 02xarybrdabrdrdr 原式 1 21 3 00 0 2 2 33 r drrdr 高等数学 同步作业册 8 作业作业作业作业11111111三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算 1 试将三重积分化为三次积分 其中积分区域分别为 df x y zv 1 由双曲抛物面及平面所围的闭区域zxy 0 01 zyx df x y zv 11 000 xy x dxdyf x y z dz 2 由曲面及所围的闭区域 22 2yxz 2 2xz df x y zv 22 22 212cos 00 1 sin cos sin r r drdrf rrz dz 2 计算下列三重积分 1 其中为平面 所围 3 1 d 1 v xyz 0 0 0 zyx1 zyx 成的四面体 解 分析边界作图知为 01 01xyx 01zxy 原式 1 1111 32 00000 1111 1 24 1 x y xx dxdydzdxdy xyzxy 1 0 1111ln25 2421216 x dx x 2 其中是由曲面与平面所围的闭 23d d d xy zx y z zxy 0 1 zxyx 区域 解 分析边界作图知为 01 0 xyx 0zxy 原式 111 235612 000000 111 428264 xy xx dx dyxy z dzdx x y dyx dx 3 其中是由平面及抛物柱面所围的d d dxz x y z 0 1 zyyx 2 zx 闭区域 解 分析边界作图知为 01 0yxy 2 0zx 原式 2 111 56 000000 111 21284 yyx dy dxxzdzdy x dxy dy 院 系班级姓 名作业编号 9 3 利用柱面坐标计算下列三重积分 1 其中是曲面和平面所围成的闭区域 22 ed xy v 1 22 yx1 0 zz 解 原式 222 1 21121 000000 11 21 2 rrr drdr edzderdre e 2 其中是曲面及所围成的闭区域 dz v 22 2yxz 22 yxz 解 原式 2 2 212 00 r r drdrzdz 1 21 24246 000 1117 22 224612 r drrdrrrr 3 其中是曲面和平面所围成的闭区域 22 dxyv 2 1 22 yxz 2 z 解 原式 2 222 2 1 00 2r drdrr dz 2 22 3246 000 11116 22 22123 drrdrrr 4 其中是曲面和平面所围成 32 dxxyv 1 1 22 yx2 0 zz 的闭区域 解 先作坐标轴平移 再用柱坐标 cos 1sin 01 02 02uxrvyrdvdudvdzrdrd dzrz 原式 1 2 3 u1dudvdz u v 212 2 33 000 coscossin1drrrrdr dz 21 434232 00 2cossincos2cos sincosdrrrrdr 1 2 535243 00 1111 2cossincoscos sincos 5523 rrrrd 2 2 0 24 1 sinsin 55 d 高等数学 同步作业册 10 4 利用球面坐标计算下列三重积分 1 其中是球面所围成的闭区域 222 dxyzv 2222 Rzyx 解 cos sin sin sin cosxyz 2 sin 0 02 0dvd d dR 原式 2 2444 00 0000 1 sin2sincos 42 R R ddddRR 2 其中是由不等式 dz v Rzzyx2 222 0 R 22 yxz 所确定的闭区域 解 cossin sinsin cosxyz 2 sin 02cos 02 0 4 dvd d dR 原式 2cos 2cos2 44 24 0 0000 cossin cossin2 4 R R dddd 4 4 45464 0 0 87 8coscoscos 66 RdRR 3 其中是不等式 222 1dxyzv 1 222 zyx 22 yxz 所确定的闭区域 解 cossin sinsin cosxyz 2 sin 01 02 0 4 dvd d d 原式 21 42 2222 4 0 0000 1sin2coscossindddttdt 22 2 00 1cos4sin422 2222 883216 ttt dt 5 选取适当的坐标计算下列三重积分 1 其中是柱面及平面 所围成dxy v 1 22 yx1 0 zz0 0 yx 的在第一卦限内的闭区域 解 用柱坐标 1 cos sin 01 0 01 2 xryrdvrdrd dzrz 原式 111 2 222 3 00000 0 sin1 sincossincos 88 drdr rrdzdrdr 院 系班级姓 名作业编号 11 2 其中是球面所围的闭区域 222d xyzv zzyx 222 解 用球坐标cossin sinsin cosxyz 2 sin 0cos 02 0 2 dvd d d 原式 cos2 22 2452 0 0000 sincossincos 21010 dddd 3 其中是由曲面及平面所围的闭 22 dxyv 254 222 yxz 5 z 区域 解 用柱坐标 5 cos sin 02 02 5 2 xryrdvrdrd dzrrz 原式 2 2252 23445 5 0000 2 551 2528 242 r drdrr dzrrdrrr 4 其中是球面所围的在第一卦限内的闭 222 2 ed xyz a xv 2222 azyx 区域 解 用球坐标cossin sinsin cosxyz 2 sin 0 0 0 22 dvd d da 原式 2 2 22 2 000 cos sinsin a a dded 22 22 22 2 2 22 0 00000 1sinsin2 cossin 2224 tt aa aa ddte dtatde 2 2 22 2 4 0 0 88 a tt a aa a tee dta 5 其中是椭球面所围成的闭区域 222 222 ed xyz abc v 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 解 用广义球坐标cossin sinsin cosxaybzc 2 sin 01 02 0dvabcd d d 原式 21 2 000 sinddeabcd 1 2 0 0 2cos42abcdeeabc 高等数学 同步作业册 12 作业作业作业作业12121212重积分的应用重积分的应用重积分的应用重积分的应用 1 球心在原点 半径为的球体 在其上任意一点的体密度与该点到球心的距离成R 正比 求这球体的质量 解 设球面的方程为 球的密度为 2222 xyzR 222 kxyz 则球体的质量为 222 dvkxyz dv 2 3 000 sin R ddkd 34 0 0 2cos R kdk R 2 求球体的质心 这里假设球体内各点处的密度等于该点到坐azzyx2 222 标原点的距离的平方 解 由对称性 质心应该在 z轴上 可设为 0 0 0 z 222 z Mz xyz dv 2 cos2 2 4 000 sincos a ddd 5 2 657652 0 0 2 cos 2cos2 2sincos 55735 a aa d 222 Mxyz dv 2 cos2 2 3 000 sin a ddd 4 2 545542 0 0 2 cos2cos2 2sin 54520 aaa d 0 8 7 z a M z M 3 设均匀平面薄片为椭圆形闭区域 求转动惯量 1 2 2 2 2 b y a x 解 用广义极坐标 212 222233 000 1cos21 sin 244 x D Iy ddb rabrdrabdab 212 222233 000 1cos21 cos 244 y D Ix dda rabrdra bda b 院 系班级姓 名作业编号 13 2222 4 Oxy D IxydIIabab 4 设半径为的球体内每一点密度的大小与该点到球心的距离成正比 求质量为R 非均匀球体对其直径的转动惯量 M 解 设球面的方程为 球的密度为 2222 xyzR 222 kxyz 则球体对其直径的转动惯量为 22222 xykxyz dv 2 6 5336 0000 0 14 sin2coscos 369 R R k ddkdkk R 5 求面密度为常数的均匀圆环形薄片 对位于轴上的 2222 0rxyRz z 点处的单位质量的质点的引力 0 0 0Paa 解 设环域上点处的单位面积产生的引力微元为 0 x y 由对称性 23 x yaG dr dFGd rrr r r 0 xy FF 3 3 2 22222 0 R zz DDr aG daG FdFdrdr xyara 222222 11 2 R r aG aG raRara 6 一均匀物体 密度为常量 占有的闭区域由曲面和平面 22 yxz 0 z 所围成 1 求物体的体积 2 求物体的质心 3 求物体关ax ay 于 z轴的转动惯量 解 22 3 2224 00 8 14 33 xy aaaaa aaaa a Vdxdydzdxxydyaxdxa 由对称性 质心应该在 z轴上 可设为 0 0 0 z z Mz dv 22 4422 000 22 xy aaaa aa dxdyzdzdxxyx ydy 高等数学 同步作业册 14 35 426 0 256 2 3545 a aa axxdxa 2 0 7 15 z a M z V 22 2 22226 0 112 45 xy aaaa z aaaa Idxdyxydzdxxydya 院 系班级姓 名作业编号 15 第八章 重积分 测试题第八章 重积分 测试题第八章 重积分 测试题第八章 重积分 测试题 1 选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论 1 设有空间闭区域 0 2222 1 zRzyxxyx 0 0 0 2222 2 zyxRzyxxyx 则有 D A B 12 d4dx vx v 12 d4dy vy v C D 12 d4dz vz v 12 d4dxyz vxyz v 2 设平面闭区域 ayxaxayxD ayxaxyxD 0 1 则 A cos sin d d D xyxyx y A B 1 2cos sin d d D xy x y 1 2d d D xy x y C D 1 4cos sind d D xyxyx y 0 3 设是有界闭区域上的连续函数 则当时 f x y 222 D xya 0a 得极限为 B 2 1 d d D f x yx y a A 不存在 B 等于 0 0 f C 等于D 等于 1 1 f 1 0 f 2 选择适当的坐标系计算下列二重积分 1 是由直线所围成的区域 cos d D xy D 0 2 yx yx 解 作图 分块积分 原式 12 422 0 42 cos dcos dcos cos y x DDy x xyxydyxy dxdxxy dy 高等数学 同步作业册 16 42 42 00 4 4 cos2cos2 1 sin2sin21 22 yx y dyxdxyx 2 0 cos2 1 22 y y 2 其中D是由和所围成 2d D y 0 4 xxy xycos 解 作图 分块积分 原式 cos0 33 22 22 0cos 4242 coscos 33 x x xx dxy dydxy dydxdx 2 33 42 1sin1sin45 sinsin2 3333912 xx xx 3 其中 22 max ed xy D 01 01 Dx yxy 原式 22222 1111 1 0 0101010 ee2e2ee1 y xx xyxxx dxdydydxdxdyxdxe 4 其中D是由和所围成的平面 22 d D xy 2 2 yxyxyxycos 区域 且 1 y 解 作图知没有用上xycos 原式 2 22 63 224 11 4 33 y y yy dyxydxydy 2 754 1 761 2153105 yyy 5 D 2 d D yx 00 222 RyRyxxRy 解 作图知 分块积分区别处理较方便 22 0 DyR yRxRy 原式 22 22 0 2 Ry R y R dyxyxy dx 0 2 2 22 000 2sincos RR y R dyxydxdrrrdr 院 系班级姓 名作业编号 17 334 2 4 00 12sincos 348 R RyR dydR 3 交换下列二次积分的次序 1 1 4 4 2 04 d d y y yf x yx 2 04 224 d d x x xf x yy 2 2 111 0 d d x x xf x yy 22 122 0010 d dd d yy y yf x yxyf x yx 3 2 1 133 2 0010 d dd d xx xf x yyxf x yy 13 2 0 d d y y yf x yx 4 将变为极坐标形式的二次积分 其中D由不等式 d d D f x yx y 0 0 yx 和所规定 222322 4 yxayx 解 由 cos0 sin00 2 xryr 223222 40sin2xya x yra 从而 sin2 2 00 d dcos sin a D f x yx ydf rrrdr 5 计算 其中D是矩形域 2 d D yx 10 1 yx 解 作图 需要分块积分 原式 2 2 1111 2224 1011 1 2 x x dxxy dydxyxdyxxdx 1 1 2435 00 222211 1221 353515 xxdxxxx 6 计算 其中由所围 sin d d d yx x y z x 0 0 2 yx yzxz 解 作图或分析推理 得 0 0 0 22 xyxzx 原式 222 00000 sinsin 2 x xx yxyx dxdydzdxx dy xx 22 22 00 00 cos1cos11 coscos 4242242 xxx xdxxdx 高等数学 同步作业册 18 7 将三次积分变为柱坐标及球坐标 222 2 13 222 00 dd d y yxy y y Iyxf xyzz 的形式 解 由上下限知 2222 01 03yyyxyyzxy 从而由坐标转化公式可推出区域表达式 因此得出 在柱坐标下 sin3 22 000 dd d r Ir rf rzz 在球坐标下 sin 2 22 sin 00 6 dd sin dIf 8 计算 其中 222 ed xyz xzv 222 14 0 0 0 xyzxyz 解 由知 12 0 0 22 从而 原式 2 2 222 001 ddcos sincossin de 4 22 001 dcos sincossin dd 2 t t et 2 4 4 22 101 0 111 cossin2sind 2242 tt tee dt 2 4 24114 1 0 0 11 cosd425 2424 t eeeee 9 计算下列三重积分 1 是由球面所围成的闭区域 222 222 ln 1 d 1 zxyz v xyz 1 222 zyx 解 由 于 当时 就 有 而 积 分 微 元 x y z x yz 在对称点刚好反号 从而 222 222 ln 1 d 1 zxyz v xyz 222 222 ln 1 d 0 1 zxyz v xyz 2 其中是由xOy平面上曲线绕轴旋转而成的曲面 22 dyzv xy2 2 x 与平面所围成的闭区域 5 x 解 曲线绕轴旋转而成的曲面为 与平面的交线为xy2 2 x 22 2yzx 5 x 所围成的闭区域为 22 10 5yzx 2 02 010 5 2 r rx 院 系班级姓 名作业编号 19 2 210510 5 2223 000 2 d25 2 r r yzvdrdrr dxrdr 10 46 0 250 10 463 rr 10 求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积 1 c z b y a x 解 平面为1 xy xycc zczz abab 1 2222 00 11 x b aa D cccc Sdxdydxdy abab 2222 222 0 111 111 22 a ccxabccabc bdx abaababc 11 设在上连续 试证 f x a b 1