贵州省遵义四中高三数学上学期第三次月考试卷 文（含解析）.doc
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贵州省遵义四中高三数学上学期第三次月考试卷
文含解析
贵州省
遵义
中高
数学
学期
第三次
月考
试卷
解析
- 资源描述：
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贵州省遵义四中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集u={1，2，3，4，5}，集合a={1，2}，b={2，3，4}，则（∁ua）∩b=( )
a．{2} b．{3，4} c．{1，4，5} d．{2，3，4，5}
2．复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于( )
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
3．若角α的终边经过点p（1，﹣2），则tan2α的值为( )
a． b． c． d．﹣
4．已知函数f（x）=是偶函数，则f（﹣）=( )
a．2 b． c．﹣2 d．﹣
5．设sn为等差数列{an}的前n项和，s8=4a1，a7=﹣2，则a9=( )
a．﹣6 b．﹣4 c．﹣2 d．2
6．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是( )
a．y=log2（x+1） b．y=|x|+1 c．y=﹣x2+1 d．y=2﹣|x|
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为( )
a．﹣7 b．﹣4 c．1 d．2
8．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面，下列说法正确的是( )
a．若n⊂α，m⊥n，则m⊥α b．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
c．若α⊥β，m⊥α，则m∥β d．若α∥β，n⊂α，则n∥β
9．设sn为等比数列{an}的前n项和，s4=1，s8=3，则s20=( )
a．15 b．16 c．81 d．31
10．设a＞0，b＞0，a（1，﹣2），b（a，﹣1），c（﹣b，0），若a、b、c三点共线，则+的最小值是( )
a．3+2 b．4 c．6 d．
11．将函数y=sin（4x+φ）的图象向左平移个单位，得到新函数的一条对称轴为x=，则φ的值不可能是( )
a．﹣ b． c． d．
12．若函数f（x）=alnx﹣x+1在，x∈内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是( )
a．（﹣∞，e2） b．（﹣∞，e） c．（0，e2） d．（0，e）
第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数的定义域为__________．
14．设x∈r，向量，，若，则x=__________．
15．若正三棱柱abc﹣a1b1c1的底面边长为2，侧棱长为2，则此三棱柱外接球的表面积为__________．
16．已知在△abc中，点m，p满足=2，=2，若||=2，||=3，∠bac=60，则•=__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数（x∈r）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若，求f（x）的值域．
18．已知a，b，c分别为△abc三个内角a，b，c所对边的边长，设=（b﹣，a），=（cosa，cosb），且⊥．
（Ⅰ）求角a的大小；
（Ⅱ）若a=，△abc的面积为1，求b，c．
19．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+3．
（Ⅰ）证明{an+3}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=log2（an+3），求数列{}的前n项和tn．
20．某中学欲制定一项新的制度，学生会为此进行了问卷调查，所有参与问卷调查的人中，持有“支持”、“不支持”和“既不支持也不反对”的人数如下表所示：
支持 既不支持也不反对 不支持
2014-2015学年高一学生 800 450 200
2014-2015学年高二学生 100 150 300
（Ⅰ）在所有参与问卷调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”的人中抽取了45人，求n的值；
（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有1人是2014-2015学年高一学生的概率．
21．如图，四棱锥p abcd中，底面abcd为平行四边形，∠abc=60，pa⊥平面abcd，e为pd的中点．
（Ⅰ）证明：pb∥平面aec；
（Ⅱ）设ad=2，pa=ab=1，求点d到平面aec的距离．
22．已知函数f（x）=lnx．
（Ⅰ）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；
（Ⅱ）证明曲线y=f（x）与曲线y=x﹣有唯一的公共点；
（Ⅲ）设0＜a＜b，比较与的大小，并说明理由．
贵州省遵义四中2015届高三上学期第三次月考数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集u={1，2，3，4，5}，集合a={1，2}，b={2，3，4}，则（∁ua）∩b=( )
a．{2} b．{3，4} c．{1，4，5} d．{2，3，4，5}
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：先求出a的补集，再求出（∁ua）∩b即可．
解答： 解：∵={3，4，5}，
∴（∁ua）∩b={3，4}，
故选：b．
点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题
2．复数z=（i是虚数单位）在复平面内对应的点位于( )
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
考点：复数代数形式的乘除运算．
分析：先由对数的运算化简z，再由复数的几何意义得出其对应点的坐标即可得出
解答： 解：z==，
故其对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限．
故选d．
点评：本题考查复数的运算及复数的几何意义，是复数的基本题
3．若角α的终边经过点p（1，﹣2），则tan2α的值为( )
a． b． c． d．﹣
考点：二倍角的正切；任意角的三角函数的定义．
专题：三角函数的求值．
分析：根据任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．
解答： 解：由题意可得 x=1，y=﹣2，故tanα==﹣2，∴tan2α==，
故选：a．
点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．
4．已知函数f（x）=是偶函数，则f（﹣）=( )
a．2 b． c．﹣2 d．﹣
考点：函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由已知中函数f（x）=是偶函数，可得f（﹣）=f（），结合已知解析式，代入可得答案．
解答： 解：∵函数f（x）=是偶函数，
∴f（﹣）=f（）==﹣2，
故选：c
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，对数运算，难度不大，属于基础题．
5．设sn为等差数列{an}的前n项和，s8=4a1，a7=﹣2，则a9=( )
a．﹣6 b．﹣4 c．﹣2 d．2
考点：等差数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：设出等差数列的公差，由题意列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案．
解答： 解：设等差数列{an}的公差为d，由s8=4a1，a7=﹣2，得
，解得：，
∴a9=a1+8d=﹣14+82=2．
故选：d．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．
6．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是( )
a．y=log2（x+1） b．y=|x|+1 c．y=﹣x2+1 d．y=2﹣|x|
考点：函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可得到结论．
解答： 解：a．y=log2（x+1）是增函数，但在定义域上为非奇非偶函数，不满足条件，
b．y=|x|+1是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件．
c．y=﹣x2+1，是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件，
d．y=2﹣|x|是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件，
故选：b
点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．
7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为( )
a．﹣7 b．﹣4 c．1 d．2
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点b（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可．
解答： 解：设变量x、y满足约束条件 ，
在坐标系中画出可行域三角形，
平移直线y﹣2x=0经过点a（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，
则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7．
故选a．
点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
8．已知m，n表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面，下列说法正确的是( )
a．若n⊂α，m⊥n，则m⊥α b．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
c．若α⊥β，m⊥α，则m∥β d．若α∥β，n⊂α，则n∥β
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用空间中线线、线面、面面的位置关系求解．
解答： 解：若n⊂α，m⊥n，则m与α相交或m⊂α，故a错误；
若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故b错误；
若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故c错误；
若α∥β，n⊂α，则由平面与平面平行的性质得n∥β，故d正确．
故选：d．
点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
9．设sn为等比数列{an}的前n项和，s4=1，s8=3，则s20=( )
a．15 b．16 c．81 d．31
考点：等比数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由sn为等比数列{an}的前n项和，可得s4，s8﹣s4，s12﹣s8，s16﹣s12，s20﹣s16也成等比数列，即可解出．
解答： 解：∵sn为等比数列{an}的前n项和，
∴s4，s8﹣s4，s12﹣s8，s16﹣s12，s20﹣s16也成等比数列．
且公比为2，则s12﹣s8=4，s16﹣s12=8，s20﹣s16=16，
则s12=4+3=7，s16=8+7=15，s20=16+15=31．
故选d．
点评：本题考查等比数列的性质和运用，考查运算能力，属于基础题．
10．设a＞0，b＞0，a（1，﹣2），b（a，﹣1），c（﹣b，0），若a、b、c三点共线，则+的最小值是( )
a．3+2 b．4 c．6 d．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用向量共线定理可得2a+b=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
解答： 解：=（a﹣1，1），=（﹣b﹣1，2），
∵a、b、c三点共线，
∴2（a﹣1）+b+1=0，
化为2a+b=1．
∵a＞0，b＞0，∴+=（2a+b）（+）
=3+=3+2，当且仅当b=a=﹣1时取等号．
故选：a．
点评：本题考查了向量共线定理、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．
11．将函数y=sin（4x+φ）的图象向左平移个单位，得到新函数的一条对称轴为x=，则φ的值不可能是( )
a．﹣ b． c． d．
考点：函数y=asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件根据函数y=asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得φ=kπ+，k∈z，由此可得结论．
解答： 解：将函数y=sin（4x+φ）的图象向左平移个单位，得到新函数的解析式为y=sin=﹣sin（4x+φ），
再根据所得函数的图象的一条对称轴为x=，则4+φ=kπ+，k∈z，即 φ=kπ+，
故φ≠，
故选：c．
点评：本题主要考查函数y=asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
12．若函数f（x）=alnx﹣x+1在，x∈内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是( )
a．（﹣∞，e2） b．（﹣∞，e） c．（0，e2） d．（0，e）
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：函数f（x）在x∈内存在单调递减区间，可得f′（x）≤0在x∈（e，e2）内恒成立，解出即可．
解答： 解：f′（x）=﹣1，
∵函数f（x）在x∈内存在单调递减区间，
∴f′（x）≤0在x∈（e，e2）内恒成立，
∴0或．
∴a≤x＜e2．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，e2）．
故选：a．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题．
第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数的定义域为（﹣1，1）．
考点：函数的定义域及其求法．
分析：由对数函数的真数一定大于0，可以得到x+1＞0，又因为偶次开方被开方数一定非负且分式中分母不能为0，可以得到﹣x3﹣3x+4＞0，进而求出x的取值范围．
解答： 解：∵x+1＞0，∴x＞﹣1，
又∵﹣x3﹣3x+4＞0，即x3+3x﹣4=（x3﹣1）+3（x﹣1）=（x﹣1）（x2+x+4），
且x2+x+4≥＞0，
故﹣x3﹣3x+4＞0⇔x﹣1＜0，解得，x＜1
从而，﹣1＜x＜1
故答案为：（﹣1，1）
点评：定义域是2015届高考必考题通常以选择或填空的形式出现，通常注意：①偶次开方被开方数一定非负，②分式中分母不能为0，③对数函数的真数一定要大于0，④指数和对数的底数大于0且不等于1．⑤另外还要注意正切函数的定义域．
14．设x∈r，向量，，若，则x=2．
考点：平面向量的坐标运算；向量的模．
专题：平面向量及应用．
分析：利用向量的运算和向量模的计算公式即可得出．
解答： 解：∵向量，，
∴，=（x﹣1，3）．
∵，∴=，
解得x=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了向量的运算和向量模的计算公式，属于基础题．
15．若正三棱柱abc﹣a1b1c1的底面边长为2，侧棱长为2，则此三棱柱外接球的表面积为．
考点：球的体积和表面积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，
代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积
解答： 解：解：由正三棱柱的底面边长为3，
得底面所在平面截其外接球所成的圆o的半径r=，
又由正三棱柱的侧棱长为2，则球心到圆o的球心距d=，
根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，
满足勾股定理，我们易得球半径r满足：
r2=r2+d2=，r=，
∴外接球的表面积s=4πr2=4=．
故答案为：．
点评：本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，
其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．
16．已知在△abc中，点m，p满足=2，=2，若||=2，||=3，∠bac=60，则•=．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：利用向量的三角形法则和已知向量共线的条件即可得到====，再利用向量的运算法则和数量积即可得出．
解答： 解：由已知可得到====，
则•=（）（）===．
故答案为：．
点评：本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积的运算，熟练掌握向量的三角形法则、向量共线定理、数量积运算是解题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数（x∈r）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（Ⅱ）若，求f（x）的值域．
考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可求得f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，从而可求其周期及单调递减区间；
（Ⅱ）x∈⇒2x﹣∈，利用正弦函数的单调性与最值即可求得f（x）的值域．
解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x
=sin2x﹣（1+cos2x）
=2sin（2x﹣）﹣1，
∴函数f（x）的最小正周期t=π；
由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+得：kπ+≤x≤kπ+，k∈z．
∴函数f（x）的单调递减区间为k∈z．
（Ⅱ）∵x∈，
∴2x﹣∈，
∴﹣≤sin（2x﹣）≤1，
∴﹣2≤2sin（2x﹣）﹣1≤1，即f（x）∈．
∴f（x）的值域为．
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查二倍角的正弦与余弦，考查正弦函数的单调性、周期性与最值，属于中档题．
18．已知a，b，c分别为△abc三个内角a，b，c所对边的边长，设=（b﹣，a），=（cosa，cosb），且⊥．
（Ⅰ）求角a的大小；
（Ⅱ）若a=，△abc的面积为1，求b，c．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．
分析：（Ⅰ）首先根据向量垂直的充要条件和正弦定理求出a的值．
（Ⅱ）利用上部结论再把余弦定理和三角形面积建立方程组求出结果．
解答： 解：（Ⅰ）已知a，b，c分别为△abc三个内角a，b，c所对边的边长，设=（b﹣，a），=（cosa，cosb），且⊥
利用、
所以：
利用正弦定理解得：
∵0＜a＜π
∴a=
（Ⅱ）利用余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosa
所以：①
由△abc的面积为1
解得：bc=2②
由①②得：或
点评：本题考查的知识要点：向量共线的充要条件，正弦定理的应用，余弦定理得应用，三角形的面积的应用，属于基础题型．
19．已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+3．
（Ⅰ）证明{an+3}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=log2（an+3），求数列{}的前n项和tn．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）把an+1=2an+3代入化简，根据等比数列的定义即可证明结论，再由等比数列的通项公式求出{an}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化简bn，利用裂项相消法求数列{}的前n项和tn．
解答： （Ⅰ）证明：由题意得，an+1=2an+3，
所以==2
又a1=1，则a1+3=4，
所以{an+3}是以4为首项、以2为公比的等比数列，
则an+3=4•2n﹣1，即an=2n+1﹣3；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，bn=log2（an+3）=n+1，
所以==，
则tn=（）+（）+…+（）
=
=．
点评：本题考查等比数列的定义、通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，是常考的题型．
20．某中学欲制定一项新的制度，学生会为此进行了问卷调查，所有参与问卷调查的人中，持有“支持”、“不支持”和“既不支持也不反对”的人数如下表所示：
支持 既不支持也不反对 不支持
2014-2015学年高一学生 800 450 200
2014-2015学年高二学生 100 150 300
（Ⅰ）在所有参与问卷调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”的人中抽取了45人，求n的值；
（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有1人是2014-2015学年高一学生的概率．
考点：频率分布表；分层抽样方法；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：概率与统计．
分析：（1）根据表中数据，求出n的值；
（2）求出用分层抽样的方法抽取的5人中，2014-2015学年高一、2014-2015学年高二的人数，再求概率至少有1人是2014-2015学年高一学生的概率．
解答： 解：（1）根据表中数据得，
=，
解得n=100；…
（2）在“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人，
则2014-2015学年高一2人，2014-2015学年高二3人，
从这5人中任意选取2人，至少有1人是2014-2015学年高一学生的概率为
p=1﹣=1﹣=0.7…
点评：本题考查了概率与统计的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题以及求概率的应用问题，是基础题．
21．如图，四棱锥p abcd中，底面abcd为平行四边形，∠abc=60，pa⊥平面abcd，e为pd的中点．
（Ⅰ）证明：pb∥平面aec；
（Ⅱ）设ad=2，pa=ab=1，求点d到平面aec的距离．
考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）首先利用中位线定理得到线线平行，进一步转化为线面平行．
（Ⅱ）利用余弦定理求出相关的线段的长为求锥体的体积打下基础，利用不同的角度计算锥体的体积，进一步求出点到直线的距离．
解答： 证明：（Ⅰ）连结bd交ac于点o，底面abcd为平行四边形，
可得：o是bd的中点，e为pd的中点．
所以：pb∥oe
pb⊄平面aec，oe⊂平面aec
所以：pb∥平面aec
（Ⅱ）由ad=2，pa=ab=1，∠abc=60，
利用余弦定理得：ac2=ab2+bc2﹣2ab•bccos∠abc
解得：ac=
因为：pa⊥平面abcd
解得：pb=
利用中位线得：oe=
设：点d到平面aec的距离h，
根据ve﹣acd=vd﹣ace
所以：
解得：h=
点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，余弦定理得应用．点到面之间的距离，锥体的体积公式的应用．属于基础题型．
22．已知函数f（x）=lnx．
（Ⅰ）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；
（Ⅱ）证明曲线y=f（x）与曲线y=x﹣有唯一的公共点；
（Ⅲ）设0＜a＜b，比较与的大小，并说明理由．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求出f（x），设切点为（x0，y0），则，可得x0=1，进而可得y0，代入y=x+m即得m；
（Ⅱ）令h（x）==，问题转化为函数h（x）有唯一零点，利用导数可判断h（x）的单调性，易知1为其一零点，从而可得结论；
（Ⅲ）作差法：﹣=，易知＞1，构造函数φ（x）=，（x＞1），利用导数可判断φ（x）在（1，+∞）内的单调性，进而可得x＞1时，φ（x）＞0，故可得结论；
解答： 解：（i）f（x）=，
设切点为（x0，y0），则，
∴x0=1，y0=lnx0=ln1=0，
代入y=x+m，得m=﹣1．
（ii）令h（x）==，
则==＜0，
∴h（x）在（0，+∞）内单调递减．
又h（1）=ln1﹣1+1=0，
∴x=1是函数h（x）唯一的零点，
故点（1，0）是两曲线唯一的公共点．
（iii）﹣=，
∵0＜a＜b，∴＞1，
构造函数φ（x）=，（x＞1），
则φ′（x）===＞0，
∴φ（x）在（1，+∞）内单调递增．
又当x=1时，φ（1）=0，
∴x＞1时，φ（x）＞0，即，
则有成立，
即，即＞．
点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的零点、函数的最值，考查函数思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力．
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