22直接证明与间接证明(学生版).doc

2.2直接证明与间接证明综合法和分析法（第1课时）学习目标：（1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；（2）了解分析法和综合法的思考过程及其特点.学习重点：会用综合法与分析法证明问题.学习难点：根据问题的特点，结合综合法和分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程：一、课前准备：阅读教材的内容，并思考下列问题：1.在数学5（必修）中，我们是如何证明基本不等式的？你能用两种方法证明吗？ 【方法一】 【方法二】 2.如图：已知于，求证：. 【证明】 3.上面的证明有上面特点？ 答： .二、新课导学： （一）新知：1.综合法：（1）定义：一般地，利用 和 等，经过一系列的推理论证，最后推出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的模式：用表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可以表示为： 2.分析法：（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等），这种证明方法叫做分析法.（2）分析法证明的思路及书写模式：用分析法的证明“若成立，则成立”的思路与步骤：要证(或为了证明)成立，只需证明成立(是成立的充分条件).要证成立，只需证明成立(是成立的充分条件). ，要证成立，只需证明成立(是成立的充分条件).因为成立， 所以成立.(二)典型例题：【例1】已知，试用综合法与分析法证明： .【证明】综合法： 分析法：动动手：设、，且，用分析法证明：【证明】【例2】的三个内角成等差数列，求证：【证明】用分析法：.三、总结提升 1. 直接证明: 从命题的条件或结论出发，根据已知的定义，公理，定理直接推证结论的真实性.2. 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理，最后导出所求证的命题.综合法是一种由因索果的证明方法.3. 分析法: 一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止分析法是一种执果索因的证明方法.四、反馈练习 1. 已知直线、与平面，给出下列三个命题： 若 若 若. 其中真命题的个数是（ ）A0B1C2D3 2函数的图象如图，其中、为常数，则下列结论正确的是（ ）A BC D 3. 函数 ( )A. 是奇函数，但不是偶函数 B. 是偶函数，但不是奇函数C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，又不是偶函数*4.已知实数a, b满足等式下列五个关系式， ， ， ， ，其中不可能成立的关系式有（ ）A1个B2个C3个D4个5. 设成等比数列，而分别为和的等差中项，则.【证明】6. 已知、是正数，用分析法证明: .【证明】 五、学后反思综合法和分析法（第2课时）学习目标：（1）进一步掌握综合法与分析法的一般步骤.（2）会解决简单证明问题，培养逻辑推理能力和思维能力.学习重点：证明方法的正确选择.学习难点：根据问题的特点，结合综合法和分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.学习过程：一、课前准备：阅读教材的内容，复习综合法与分析法的证明思路和方法，并思考下列问题：1如果数列是等差数列，则 （ ）A. B. C. D.2在中若，则等于 ( )A. B. C. D.*3下面的四个不等式：； ；.其中不成立的有 ( )A1个 B.2个 C.3个 D.4个4 已知 ，向量的 夹角为，则 .二、典型例题：【例1】直角的三边满足 ，分别以三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为，证明.【分析】三个旋转体都是圆锥，特别地，以边为轴旋转得到的是同底的两个圆锥，分别求得它们的体积，再选择适当的方法比较它们的大小.【证明】综合法：分析法：动动手：设、是互不相等的正数，且，试用综合法与分析法证明：【证明】【例2】设函数.（1）证明：；（2）设为的一个极值点，证明.【证明】动动手：已知二次函数的导数为，对于任意实数，都有，则的最小值为 ( )A 3 B C 2 D 三、总结提升 1.在证明问题时，要根据问题的条件和结论的特点选择适当的方法；当条件推到结论比较容易时，可选择综合法，当结论推到条件比较容易时，可选择分析法；有些问题的解答可以用分析法找解法而用综合法来证明.2.有些问题的证明，单纯使用综合法或分析法是很难凑效的，这时就需要把这两种方法结合起来使用. 根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间条件若由可以推出成立，就可以证明结论成立四、反馈练习 1. 函数在下列哪个区间内是增函数（ ） A B C D 2. 已知，则正确的结论是 （ ）A. B. C. D.、大小不定3. 的大小关系是 .4 下列正确命题的序号是_.若，则；若，则；若，则；若，的最小值是2.5. 设是不相等的正数，求证关于的方程没有实数根.【证明】6. 已知(是互不相等的常数)，求证：.【解析】五、学后反思 反证法 （第3课时） 学习目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点.学习重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.学习难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.一、课前准备：阅读教材的内容，了解反证法的证明思路和方法，并思考下列问题：1. 应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（ ）（1）结论相反判断，即假设；（2）原命题的条件；（3）公理、定理、定义等；（4）原结论A.（1）（2） B.（1）（2）（4） C.（1）（2）（3） D.（2）（3）2命题“三角形ABC中，若”的结论的否定应该是（ ）A. B. C. D.3.求证:若一个整数的平方是偶数，则这个数也是偶数.【证明】二、新课导学（一）新知：1. 间接证明：是不同于直接证明的又一类证明方法.2. 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（也叫归谬法）.反证法是一种常用的间接证明方法.3. 归缪矛盾的几个途径：（1）与已知条件矛盾；（2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾.4. 反证法的证明过程包括以下三个步骤：（1） 反设假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；（2） 归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3） 存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立. （二）典型例题：【例1】已知，求证：中至少有一个大于.【证明】动动手：已知、是整数，且求证：、不可能都是奇数.【证明】【例2】若三个方程；至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围.【解析】动动手： 若都是正实数，求证: 、中至少有一个成立.【证明】 (用反证法证明)三、总结提升适宜使用反证法的情况: （1）结论以否定形式出现； （2）结论以“至多-，” ，“至少-” 的形式出现； （3）唯一性、存在性问题； （4）结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题.四、反馈练习1.结论“至多有两个解”的否定形式是 ( )A.没有解 B.没有解或至少有三个解C.至少有三个解 D.至少有两个解 2. 命题“关于x的方程的解是唯一的”的结论的否定是（ ）A.无解 B.两解 C.至少两解 D.无解或至少两解3. 命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角4. 用反证法证明“设、，且有有理根，求证：、中至少有一个是偶数”，其反设应是 .5.用反证法证明：“在中，若C是直角，则一定是锐角”.有一个同学的证明如下，你认为是否正确？若不正确，请指出原因.【证明】答：*6.若，求证：.【证明】*7.实数满足，求证：中至少有一个是负数【证明】五、学后反思：直接证明与间接证明习题课（第4课时）学习目标：（1）通过练习进一步了解直接证明与间接证明的方法；（2）对于具体问题的证明，能选择恰当的方法.学习重点：会用综合法与分析法及反证法证明问题.学习难点：反证法的使用.学习过程：一、课前准备：复习教材的内容，并思考下列问题：1.用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为如下三个步骤：，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设、中有两个直角，不妨设.正确顺序的序号是 .2. 用分析法证明：【证明】二、典型例题：【例1】求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大.【证明】动动手：求证：在锐角三角形中，两内角的正切之积大于1【证明】【例2】若、均为实数，且，.求证：、中至少有一个大于0.【证明】动动手：若函数在区间上是增函数，那么方程在区间上至多只有一个实根.【证明】【例3】已知，点在函数的图像上，其中，证明：数列是等比数列.【证明】动动手：若，求证：.【证明】三、总结提升 1. 综合法与分析法在证题中，有时是交替使用的，即一部分使用综合法，一部分使用分析法；有时用分析法寻找解题方法，用综合法书写解题过程.2. 应用反证法证明问题时，反设要恰当，常见的“结论词”和“反设词”归纳如下：原结论词至少有一个至多有一个至少有个至多有个只有一个反设词一个也没有至少有两个至多有个至少有没有或至少有两个原结论词对所有成立对任意不成立都是一定是或 且反设词存在某个不成立存在某个成立不都是一定不是且 或 四、反馈练习1.命题“对于任意角，”的证明： 上面的证明过程应用了 （ ）A分析法B综合法C分析法与综合法结合使用D间接证法2中，是的 （ ）A 充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件3. 要使成立，、应满足的条件是 ( )A. 且 B. 且 C. 且 D. 且或且 4.用分析法证明命题：