自动控制原理 第四章 根轨迹法.ppt

第四章根轨迹法 第一节根轨迹与根轨迹方程一 根轨迹当系统的某个参数 如开环增益K 由0到 变化时 闭环特征根在S平面上运动的轨迹 根轨迹举例 例 GK S K S 0 5S 1 2K S S 2 GB S 2K S2 2S 2K 特征方程 S2 2S 2K 0 根轨迹举例 由此关系逐点描绘出K由0到 变化时 闭环特征根在S平面上运动的轨迹 根轨迹 根轨迹图直观地表示了参数K变化时 闭环特征根S1 S2所发生的变化 根轨迹举例 由上述根轨迹图可知 1 当开环增益由0到 变化时 根轨迹均在S平面的左半部 因此系统对所有K值都是稳定的 2 当0 K 0 5时 闭环特征根为实根 系统呈过阻尼状态 阶跃响应为非周期过程 根轨迹举例 3 当K 0 5时 闭环特征根为重根 系统呈临界阻尼状态 阶跃响应为非周期过程 4 当K 0 5时 闭环特征根为共轭复根 系统呈欠阻尼状态 阶跃响应为衰减振荡 5 因为根轨迹的一个起点 开环传递函数的极点 位于坐标原点 所以系统为I型系统 二 根轨迹方程 GB S G S 1 G S H S 绘制根轨迹实质上还是寻求闭环特征方程的根 特征方程 1 G S H S 0根轨迹方程 Gk S G S H S 1 矢量方程 幅值条件 G S H S 1幅角条件 G S H S 2K 1 开环传递函数的标准形式 绘制根轨迹时开环传递函数的标准形式 K S Z1 S Z2 S Zm G S H S S P1 S P2 S Pn 其中 K 根迹增益Zm 开环零点Pn 开环极点 开环传递函数的标准形式举例 例 将下面的开环传递函数化成标准形式10 5S 1 10 5 S 1 5 25 3 S 1 5 G S H S 2S 1 3S 1 2 3 S 1 2 S 1 3 S 1 2 S 1 3 K 10 开环增益K 25 3 根迹增益K K P1P2 Pn Z1Z2 Zm 第二节绘制根轨迹的基本法则 一 根轨迹的分支数根轨迹在S平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数 证明 n阶特征对应有n个特征根 当开环增益K由0到 变化时 这n个特征根随K变化必然会描绘出n条根轨迹 绘制根轨迹的基本法则 二 根轨迹对称于实轴 证明 闭环特征根若为实数 则必位于实轴上 闭环特征根若为复数 则一定是以共轭形式成对出现 所以根轨迹必对称于实轴 绘制根轨迹的基本法则 三 根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点 终止于开环零点 如果开环极点数n大于开环零点数m 则有 n m 条根轨迹终止于无穷远 证明 由根迹方程 K S Z1 S Z2 S Zm G S H S 1 S P1 S P2 S Pn 绘制根轨迹的基本法则 S Z1 S Z2 S Zm 1 K 1 AK S P1 S P2 S Pn 其中 A P1P2 Pn Z1Z2 Zm起点 K 0 1 AK 上式中只有S Pi时 等号才成立 起点 开环极点 S Pi 终点 K 1 AK 0 上式中只有S Zi时 等号才成立 终点 开环零点 S Zi 绘制根轨迹的基本法则 当n m时 只有m条根轨迹趋向于开环零点 还有 n m 条 n m S 有 S Z1 S Z2 S Zm 1 1 S P1 S P2 S Pn K AK可写成 左边 1 Sn m 0当K 时 右边 0K 终点 对应于S 趋向无穷远 即 有 n m 条根轨迹终止于无穷远 绘制根轨迹的基本法则 四 实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧 开环零极点数目之和应为奇数 证明 由幅角条件 G S H S 2K 1 S Z1 S Z2 S Zm S P1 S P2 S Pn 2K 1 绘制根轨迹的基本法则 一对共轭的开环复数极点 或零点 对S1 在实轴上的试验点 的相角等值反号 相互抵消 而开环复数极点 或零点 又一定成对出现 所以实轴上的根轨迹与复数零 极 点无关 位于S1左边的开环实数零 极 点引向S1的相角为0 位于S1右边的开环实数零 极 点引向S1的相角为 只有实轴上某一区段右侧的开环零 极 点数目之和为奇数 才能满足幅角条件 绘制根轨迹的基本法则 五 根轨迹的渐近线如n m 则有n m条根轨迹趋向于无穷远 其方位可由渐近线决定 渐近线与实轴交点的坐标 a Pi Zi n m 渐近线与实轴正方向的夹角 a 2K 1 n m 绘制根轨迹的基本法则 证明 实验点在无穷远处 Sn既在根轨迹上 也在渐近线上 可以认为开环零点和极点到达Sn的矢量的长度是相等的 对无穷远处的试验点Sn而言 所有的零极点都汇集到实轴上的一点 a a Zi Pi Pi Zi n m a a Pi Zi n m 绘制根轨迹的基本法则 又 K S Z1 S Z2 S Zm 1 S P1 S P2 S Pn 当S 时 试验点设在无穷远处 n m S 2K 1 S a 2K 1 n m 无穷远处闭环极点的方向角 就是渐近线的方向角 绘制根轨迹的基本法则 六 根轨迹的起始角与终止角起始角 根轨迹起点处的切线与水平线正方向的夹角 mn P1 2K 1 P1 Zj P1 Pi i 1i 1 绘制根轨迹的基本法则 六 根轨迹的起始角与终止角终止角 根轨迹终点处的切线与水平线正方向的夹角 nm Z1 2K 1 Z1 Pi Z1 Zi i 1i 1 绘制根轨迹的基本法则 证明 由幅角条件 在试验点S1 S1 Z1 S1 P1 S1 P2 S1 P3 2K 1 S1 P1时 S1 P1 P1且 各零极点引向S1的向量 各零极点引向P1的向量可用P1代替S1 P1 2K 1 P1 Z1 P1 P2 P1 P3 P3 Z1 P1 P2 P1 P2 P1 Z1 P1 绘制根轨迹的基本法则 推广之 mn P1 2K 1 P1 Zj P1 Pi i 1i 1同理可证 mn Z1 2K 1 Z1 Pi Z1 Zi i 1i 1 绘制根轨迹的基本法则 七 实轴上的 分离点和会合点根轨迹离开实轴的点 实轴上的分离点 根轨迹回到实轴的点 实轴上的会合点 分离 会合 点应该是特征方程的重根 分离 会合 点对应实轴上的最大 最小 K值 分离 会合 点的求法 令dK dS 0 解出的S值即为分离 会合 点的坐标 绘制根轨迹的基本法则 八 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴相交 意味着有闭环极点位于虚轴上 即特征方程有纯虚根jw 将S jw代入特征方程 1 G jw H jw 0可分解为 Re 1 G jw H jw 0Im 1 G jw H jw 0可解出 w 与虚轴交点的坐标K 交点处对应的K值 临界稳定开环增益 绘制根轨迹举例 例 GK S K S 0 05S 1 0 05S2 0 2S 1 试绘制根轨迹 解 化成标准形式 GK S 400K S S 20 S2 4S 20 K S S 20 S 2 j4 S 2 j4 K 400K 根迹增益P1 0 P2 20 P3 2 j4 P4 2 j4n 4 m 0 绘制根轨迹举例 1 闭环有4个特征根 根轨迹有4条分支 2 画开环零极点分布图 3 确定实轴上的根轨迹 0 20 P1 P2 P3 P4 20 0 绘制根轨迹举例 4 渐近线 a Pi Zi n m 0 20 2 j4 2 j4 4 0 6 a 2K 1 n m K 0 a 45 K 1 a 135 K 2 a 225 K 3 a 315 6 绘制根轨迹举例 5 起始角 p3 2K 1 P3 Zi P3 Pi 2K 1 P3 P1 P3 P2 P3 P4 2K 1 116 5 12 5 90 39 P4 39 绘制根轨迹举例 6 分离点由根迹方程 GK S 400K S S 20 S2 4S 20 1K S S 20 S2 4S 20 400 S4 24S3 100S2 400S 400dK dS 4S3 72S2 200S 400 400令 dK dS 0解得 S 15 即为分离点的坐标 绘制根轨迹举例 7 根轨迹与虚轴的交点特征方程 S S 20 S2 4S 20 K 0S4 24S3 100S2 400S K 0将S jw代入 jw 4 24 jw 3 100 jw 2 400 jw K 0实部 w4 100w2 K 0虚部 24w3 400w 0解得 w1 0 w2 3 4 1 K 1391 K 3 47 绘制根轨迹举例 0 6 15 4 1 4 1 第三节特殊根轨迹 一 参数根轨迹开环增益K为参变量绘出的根轨迹 常规根轨迹 以系统其它参数为参变量绘出的根轨迹 参数根轨迹 用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数 如开环零极点的位置 时间常数 反馈系数等对系统性能的影响 参数根轨迹 在绘制以K为参变量的常规根轨迹时是以系统的特征方程为依据 即 1 G S H S 0也可写成 1 K S Zi S Pi 0或 1 KN S M S 0如果选择系统的其它参数为参变量 则只要把特征方程改变一下形式 用所选的参数a代替K的位置 1 aP S Q S 0则绘制规则仍然适用 可绘制出参数根轨迹 参数根轨迹举例 例 GK S K S S a 试绘制以a为参变量的根轨迹 K 1 解 特征方程 1 K S S a 0进行代数变换 K S2 aSS2 K aSaS S2 K 11 aS S2 K 0给定K值 就可画出以a为参变量的根轨迹 参数根轨迹举例 K 1 GK S aS S2 1 开环零点 Z1 0开环极点 P1 j P2 j分支数 2实轴上的根轨迹 整个负实轴 渐近线 a Pi Zi n m j j 0 2 1 0 a 2K 1 2 1 180 K 0 参数根轨迹举例 会合点 aS S2 1 1a S 1 Sda dS 1 1 S2 0S 1会合点一定在根轨迹上 S 1舍 会合点 S 1 参数根轨迹举例 与虚轴交点 特征方程 S2 aS 1 0代入S jw实部 w2 1 0虚部 aw 0解得 w1 0w2 3 1 与虚轴交点 二 正反馈回路的根轨迹 在某些系统中 内环是一个正反馈回路 GB S G S 1 G S H S 特征方程 1 G S H S 0根迹方程 G S H S 1比较负反馈回路根轨迹的根迹方程 幅值条件不变 幅角条件变为 G S H S 2K 0 正反馈回路的根轨迹 零度根轨迹 凡是由幅值条件推出的规则不变 凡是由幅角条件推出的规则有变 正反馈回路的根轨迹 规则四 实轴上存在根轨迹的条件是 其右边开环零极点数目之和为偶数 规则五 n m 条渐近线的方向角为 a 2K n m 规则六 根轨迹的起始角和终止角分别为 P1 2K P1 Zi P1 Pi Z1 2K Z1 Pi Z1 Zi 正反馈回路的根轨迹举例 例 一单位负反馈系统的开环传递函数为 GK S K S 1 2 S 4 2 试绘制根轨迹 若将负反馈改为正反馈 根轨迹将如何 解 负反馈 P1 2 1 P3 4 4 n 4 m 0分支数 4 实轴上无根轨迹 渐近线 a Pi Zi n m 2 5 a 2K 1 n m 45 135 225 315 正反馈回路的根轨迹举例 与虚轴交点 S 1 2 S 4 2 K 0将S jw代入实部 w4 33w2 16 K 0虚部 10w3 40w 0解得 w 2 K 100 正反馈回路的根轨迹举例 正反馈 实轴上 整个实轴 渐近线 a Pi Zi n m 2 5 a 2K n m 0 90 180 270 分离点 特征方程 1 G S H S 0 S 1 2 S 4 2 K 0K S4 10S3 33S2 40SdK dS 4S3 30S2 66S 40 0解出分离点 S 2 5 正反馈回路的根轨迹举例 与虚轴交点 S 1 2 S 4 2 K 0代入S jw实部 w4 33w2 16 K 0虚部 10w3 40w 0解得 w 0 K 16 三 滞后系统的根轨迹 包含有时间滞后环节的系统 滞后系统 闭环传递函数 C s R s e SG s 1 e SG s 特征方程 1 e SG s 0是复变量s的超越函数 有无穷多个特征根 G S e S 滞后系统的根轨迹 根迹方程 e SG s 1e S e j e e j e j rad 57 3 G S K S Zi S Pi 幅值条件 K S Zi e S Pi 1幅角条件 S Zi S Pi 2K 1 57 3 2K 1 180 由于幅值条件和幅角条件的变化 绘制根轨迹的各项规则将会受到影响 滞后系统的根轨迹 规则一 根轨迹在S平面上的分支数有无穷多条 仍有n条分支组成主根轨迹 规则二 根轨迹仍对称于实轴 规则三 根轨迹的起点为开环极点和 根轨迹的终点为开环零点和 S Zi e 1 S Pi KK 0 起点 时 只有满足S Pi和 的条件K 终点 时 只有满足S Zi和 的条件 滞后系统的根轨迹 规则四 实轴上根轨迹区段右侧开环零极点数目之和为奇数 幅角条件虽然多了一项57 3 但对实轴 0 所以无变化 规则五 渐近线有无穷多条 且都平行于实轴 与虚轴的交点 180N 57 3 其中N值如表中所示 滞后系统的根轨迹 规则五的证明 渐进线 根轨迹 上取一点S 不是起点就是终点 如为起点 如为终点 这说明渐进线与有限的实轴无交点 即渐进线平行于实轴 只与虚轴相交 由幅角条件 S Zi S Pi 57 3 2K 1 180 m 180 n 180 57 3 2K 1 180 57 3 n m 180 2K 1 180 当n m为奇数时 2K 180 N 180 57 3 2K 180 即为渐进线与虚轴的交点 57 3 57 3 同理可证n m为偶数时渐进线与虚轴的交点 滞后系统的根轨迹 规则六 起始角和终止角起始角 P1 2K 1 180 P1 Zj P1 Pi 57 3 终止角 Z1 2K 1 180 Z1 Pi Z1 Zi 57 3 规则七 实轴上根轨迹的分离 或会合 点可由下面的方程求出dK dS 0规则八 主根轨迹与虚轴交点 可用S j 代入根迹方程求解 滞后系统的根轨迹举例 例 设滞后系统的开环传递函数为GK S Ke S S 1 试绘制系统的根轨迹 解 特征方程 1 Ke S S 1 0由规则三 起点为P1 1 和起点渐进线 终点趋向终点渐近线 由规则四 实轴上 1 区段存在根轨迹 滞后系统的根轨迹举例 由规则五 终点渐近线为 180N 57 3 3 180N 57 3 5 180N 57 3 起点渐近线为 2 180N 57 3 4 180N 57 3 6 180N 57 3 滞后系统的根轨迹举例 由规则七 实轴上的分离点K e S S 1 dK dS e S Se S e S 0S 1 设 1 分离点为 2 由规则八 与虚轴交点为j 设 1 代入到幅角条件 j 1 57 3 180 解得 2 03主根轨迹与虚轴交点为 j2 03 滞后系统的根轨迹举例 终点渐近线 终点渐近线 j 1 主根轨迹 2 0 起点渐近线 起点渐近线 终点渐近线 终点渐近线 第四节系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系 系统闭环零极点分布 根轨迹 阶跃响应 性能指标一 用闭环零极点表示的阶跃响应解析式设n阶系统的闭环传递函数为 K S Zi Zi 闭环零点GB S S Si Si 闭环极点阶跃输入 r t I t R S 1 S有 K S Zi 1H S S Si S 系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系 若GB S 中无重极点 则 H S A0 S A1 S S1 An S Sn K Zi K SK Zi 其中 A0 AK Si SK Si SK 闭环极点 Zi 闭环零点 Si 闭环极点 不包括SK 单位阶跃响应 h t A0 Ak eSkt系统的单位阶跃响应由闭环极点SK及系数AK决定 而系数AK也与闭环零极点的分布有关 系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系 二 闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系1 要求系统稳定 所有闭环极点Si均应位于S平面的左半部 2 要求系统快速性好 则应使阶跃响应式中的每个瞬态分量eSkt衰减得快 闭环极点SK应远离虚轴 系统闭环零极点分布与阶跃响应的关系 3 要求系统平稳性好 则复数极点最好设置在S平面中与负实轴成45 夹角线附近 COS Wn Wn 45 0 707 最佳阻尼比 4 要求动态过程尽快消失 则系数AK要小 对应的瞬态分量小 AK的分子小 闭环零点靠近极点 成对靠近 AK的分母大 极点间的间距要大 三 主导极点和偶极子 离虚轴最近的闭环极点对系统动态性能的影响最大 起着主要的作用 称之为主导极点 主导极点与非主导极点的实部应相差6倍以上 往往只用主导极点 把高阶系统近似看成是一阶或二阶系统 来估算系统的动态性能 主导极点和偶极子 将一对靠得很近的闭环零极点称为偶极子 当SK与Zi靠得很近时 对应的AK很小 h t 中的这个分量可以忽略 可以有意识地在系统中加入适当的零点 和某些不利极点构成偶极子 以抵消其对动态过程的不利影响 四 利用主导极点估算系统的性能指标 例 已知系统的开环传递函数为 GK S K S S 1 0 5S 1 试应用根轨迹法分析系统的稳定性 并计算闭环主导极点具有阻尼比 0 5时的性能指标 利用主导极点估算系统的性能指标 解 GK S K S S 1 0 5S 1 2K S S 1 S 2 K S S 1 S 2 1 作根轨迹图三条根轨迹 实轴上 0 1 2 为根轨迹 渐近线 a Pi Zi n m 1 2 3 0 1 a 2K 1 n m 60 60 180 利用主导极点估算系统的性能指标 分离点 K S S 1 S 2 2 S3 3S2 2S 2dK dS 3S2 6S 2 0解出 S1 0 423 S2 1 58 不在根轨迹上 舍 与虚轴交点 特征方程 S3 3S2 2S K 0代入S jw jw 3 3 jw 2 2 jw K 0 利用主导极点估算系统的性能指标 实部 3w2 K 0虚部 w3 2w 0解得 w1 0 K 0w2 3 1 414 K 6 K 32 分析系统的稳定性当开环增益K 3时 根轨迹有两条分支伸向S平面的右半部 这时系统不稳定 因此使系统稳定的开环增益范围是 0 K 3 2 1 0 W 1 414K 3 利用主导极点估算系统的性能指标 3 根据对阻尼比的要求 确定闭环主导极点S1 S2的位置 0 5 COS 1 60 阻尼线阻尼线与根轨迹的交点为S1 从图中可得S1 0 33 j0 58S2 0 33 j0 58求与S1对应的开环增益 GK S 1代入S 0 33 j0 58 0 33 j0 58 0 33 j0 58 1 0 33 j0 58 2 2K解得 K 0 525 根轨迹上某点对应的K值 0 58 0 33 S1 阻尼线 S2 S3 2 34 利用主导极点估算系统的性能指标 确定S3的