1.2函数的极值

课题：函数的零点导学案知识清单：1.理解函数零点的概念。 2.掌握求函数零点的方法。 3.掌握零点存在定理及其应用。 4.理解导函数的零点与函数的极值点的关系。 5.理解与函数零点有关的拓展问题的处理方法。一、 基本知识回顾1.函数的零点：对于函数，我们把方程的实数根叫作函数的零点。2、零点存在性定理：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内必有零点，即，使得 注：零点存在性定理使用的前提是在区间连续，如果是分段的，那么零点不一定存在；零点存在定理只能处理变号的零点。3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调。 4、零点与单调性配合可确定函数的符号：是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，5、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数的零点所在的一个区间是（ ） A（-12,0) B.(0，12) C.( 12,1) D.(1，32)强化训练1.函数fx=lnx-1+x的零点所在的大致区间是（ ） A（1，32) B.(32，2) C.( 2,e) D.(e，+)思路：先判断出函数f(x)的单调性，然后利用零点存在定理验证区间端点函数值的符号即可。强化训练2.函数fx=2x+x3-2在区间（0,1）内的零点个数（ ）A. 0 B.1 C. 2 D.3例2.若函数fx=2x-2-b 有两个零点，则实数b的取值范围_。小结：对于含有参数的函数的零点问题，可以考虑分离参数，把问题转化为一个新函数与一个常函数的交点个数问题。强化训练3.设函数fx=ex+2x-4,gx=lnx+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点，则（ ） A.g(a)0f(b) B .f(b)0g(a) C.0g(a)f(b) D.f(b)g(a)0强化训练4. 若对任意的实数a，函数f(x)(x1)ln xaxab有两个不同的零点，则实数b的取值范围是() A.(，1 B.(，0) C.(0，1) D.(0，)例3.已知定义在（1，+）上的函数fx=x-lnx-2.求证：函数f(x)存在唯一零点。强化训练5.设函数fnx=xn+x-1,(n 2),证明：fnx在区间（12，1）内存在唯一零点。小结：求函数在某区间（a，b）上有唯一零点问题，对于变号的零点问题，首先验证fafb0解决有零点问题，其次要讨论函数的单调性，说明唯一性;对于不变号的零点问题，可以转化为函数的最小值等于零，注意最小值唯一。例4.(2018全国卷2,理21)已知函数f(x)=ex-ax2。 (1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1; (2)若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a. 解法二：(1)当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x. 当x1时,g(x)0,h(x)没有零点;()当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x. 当x(0,2)时,h(x)0.所以h(x)在(0,2)单 调递减,在(2,+)单调递增.故h(2)=1-4ae2是h(x)在0,+)的最小值.若h(2)0,即ae24,h(x)在(0,+)没有零点;若h(2)=0,即a=e24,h(x)在(0,+)只有一个零点;若h(2)e24,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一个零点.由(1)知,当x0时,exx2,所以h(4a)=1-16a3e4a=1-16a3(e2a)21-16a3(2a)4=1-1a0.故h(x)在(2,4a)有一个零点.因此h(x)在(0,+)有两个零点.综上,f(x)在(0,+)只有一个零点时,a=e24.【小结】求函数的零点个数问题一般有三种处理方法;1. 直接解方程；2. 图像法3. 应用零点存在定理，结合函数的草图（利用导函数求函数的单调区间极值画草图）判断函数的零点个数问题。4. 对于两个函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题，可以转化为一个函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题处理。课后作业 巩固提高：1.已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax2(e为自然对数的底数，aR).(1)判断曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线yg(x)的公共点个数；(2)当x时，若函数yf(x)g(x)有两个零点，求a的取值范围.2.【201