线代数第八.doc

非齐次方程组（*）：齐次方程组（*）：称（*）为（*）的导出方程组性质 (1) 设是非齐次线性方程组 AX = b的任意两个解向量，则 是其导出方程组 的解向量。(2) 设是非齐次线性方程组 AX = b的任一个解向量，是其导出方程组 的任一个解向量，则 是AX = b的解向量。定理 设非齐次线性方程组AX = b有无穷多个解，则其一般解为其中 是AX = b的一个特解，是导出方程组的一个基础解系，是t个任意常数。例 求下列方程组的一般解解 考虑方程组一般解为。 例 已知非齐次方程组 的两个解 ，求其一般解。解 因为方程组有两个解，解不唯一，故其系数矩阵A的秩小于等于2。又A的前两行线性无关，说明A的秩大于等于2。由此得 秩 = 2。于是，原方程组的导出方程组 的基础解系含3-2=1个解。可取 作为导出方程组的基础解系，取作为原方程组的特解，则原方程组的一般解为。思考题 设 是非齐次线性方程组 的导出方程组，问 （1）有非零解 有无穷多解？ （2）有唯一解 只有零解？小结：1.求线性表出2.判别线性相关性3.求向量组的秩与极大无关组4.求矩阵的秩5.求齐次线性方程组的基础解系6.非齐次线性方程组解的结构例 证明：若向量组 线性相关，则向量组也线性相关 证明 因为可由 线性表出，所以 秩秩。 已知 线性相关，故有秩 n于是， 秩 n。由此可得 线性相关。例 证明：若向量组 线性无关，则向量组当n为奇数时线性无关，当n为偶数时线性相关。证明 令 ，则因 线性无关，故 （1）取其系数矩阵，对A顺序做初等行变换当n为奇数时，A可化为此时，齐次方程组（1）只有零解，故有 , 。于是，线性无关。当n为偶数时，A可化为此时，齐次方程组（1）有非零解，故线性相关。例 设 是非齐次线性方程组 的一个特解，是导出方程组 的一组基础解系。令证明：线性无关。解 令， 则 （1）由此得因为 ，故 （2）于是由 式(1) 得 。已知 是基础解系，它们线性无关，故。由 式(2)得。所以,线性无关。 例 设 （1） 证明：若 有解，则 的任一组解也是 的解； （2）证明：有解 无解，其中0是 零矩阵。证明 （1）设 有解，则存在一个 ，使。于是，。 任取 的一个解 ，则 。因 ，故 是 的解。（2） 设 有解，则有。因故 。由此得。设，则又 ，故 。由此得 。所以，方程组 有解。 例 已知四元齐次线性方程组（I） 与四元齐次线性方程组（II）的一般解 。问方程组（I）与（II）有无非零公共解？求它们的全部公共解。 解 （法一）易得方程组（I）的一般解为 。设 是方程组（I）与（II）的公共解，则存在数 使 ，即因向量组 线性相关，故存在不全为零的 使上式成立。由此可知，方程组（I）与（II）有非零公共解 。由上式可得 ，解得其一般解为 。于是，方程组（I）与（II）的全部公共解为。 （法二）因方程组（II）的一般解为，代入方程组（I）有 。由此得 。所以，方程组（I）与（II）的全部公共解为。例 考虑方程组(I) ， () 。在只能处理3位有效数字的计算机上讨论它的解。讨论 首先，方程组()的理论解为 ，方程组()的解为 。1. 把 舍入为 1.01，得， 的解为 ，的解为 。2. 把 舍入为 1.02，得 ， 的解为 ，的解为 。上述讨论可得，方程组()的系数的一个极小变化对解产生很大影响，称这样的方程组为病态的。而方程组()则无此现象，相应称之为良态的。例（投入产出问题）假设有三户人家，其中一户有一人是木工，令一户有一人是电工，第三户有一人是水管工。三家约定合作修理他们的住房。他们共同制订了一个修理计划：每户出一人，工作天，并且每人工作一天应由三家共同支付工资（包括维修自己的住房）。具体日程表如下每个工人的工作天数木工电工水管工木工住房的维修所需天数216电工住房的维修所需天数451水管工住房的维修所需天数443出于可以理解的原因，这三户要求满足如下的平衡条件：“每户在天内的总支出=其总收入”。若规定每个工人的日工资在元间浮动，则我们的问题是，如何确定每个工人的日工资数额，以使上述修理计划得以实现。解 设 分别表示木工，电工，水管工的日工资，则平衡条件可以表示为。整理并写成矩阵形式，得。所以，是齐次线性方程组 的解。不难求出上述方程组的一般解为 ，这里，是任意常数。根据事先规定的工资浮动范围，可取 。由此得木工、电工、水管工的日工资分别为元，元，元。这个例子有一个显著特征：我们把这三个工人看成一个经济体系中的三个主体（称为企业），他们在获得投入（工资）的前提下，都具有产出（工作）的能力。而且，每个人的产出量（天数）是确定的，但产出的价格（日工资）不确定。我们需要确定每个人的产出价格，以使在固定时间周期（天）内，每个人的总产出等于其所获得的总收入。显然，这三个工人在这天就构成了一个自给自足式的经济系统。下面考虑一般情况。假设有一个经济系统由个企业构成，顺序给这些企业标号为第，第，第个企业。在一个固定时间周期内，每个企业都能产出可被整个系统完全利用的某种商品或服务（产出量是确定的）。一个重要问题是如何确定这 个企业产出的价格，以使每个企业的总产出等于其总收入。这样的价格结构反映出该经济系统处于一个自我平衡的状态。在固定时间周期内，令第个企业关于其总产出的报价第个企业被第个企业购买的那部分产出在其总产出中的比值，。根据上述定义，得 令 ，称 为价格向量，为交易矩阵。则该经济系统的平衡状态可公式化为 或 。上式为一个关于向量 的齐次线性方程组，它有非零解 。因为交易矩阵的每列元素的和均为，故可知。所以，方程组 总有非零解。但是，我们还必须要求价格向量的每个分量均非负（当一个向量或矩阵的元素均非负时，记或），对此，我们有定理 如果 是一个交易矩阵，那么齐次线性方程组必有一个分量均非负的非零解。例 设，则平衡条件为。它有一般解 ，这里是任意常数。显然，只要取 ，则可得非零解 。第三章 向量空间3.1 向量空间与子空间一 、数域定义 设 是数的集合，若其满足（1）（2）均有，则称 是数域。 ，实数域，有理数域 常用数域 ，复数域二 、向量空间定义 设是数域，是的一个非空子集。如果(1) 对任意 ，均有；(2) 对任意 及任意 ，均有，那么称 构成数域上的向量空间。例 设是数域，令 ，这里是n元零向量，则显然 和 都构成上的向量空间。而对中的向量构成的任一向量空间，均有 。例 设，则齐次线性方程组 的全部解向量的集合构成 上的向量空间，称之为齐次方程组 的解空间，也可称之为矩阵的零空间，记为。显然，。例 令 ，则 不构成向量空间。三、子空间定义 设是数域上的向量空间，是的一个非空子集。若也构成上的向量空间，则称是的向量子空间，简称子空间。例 设是向量空间，则一定包含零向量 。同时，本身及 都是 的子空间，称它们为的平凡子空间。的其他子空间，如果还有的话，均称为非平凡子空间。例 令问 和 是否构成 的子空间？定理 设 是数