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线性代数期末试卷解答与参考评分标准 共4页 第4页武汉科技大学2012-2013-2线性代数期末试卷(本科A)解答与参考评分标准一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.是矩阵，是矩阵，若的第列元素全等于零，则下列结论正确的是( B ).A. 的第行元素全等于零； B. 的第列元素全等于零；C. 的第行元素全等于零； D. 的第列元素全等于零.2.设；(其中可逆)，则（ B ）.A. ； B. ； C. ； D. .3. 为3阶方阵，且,则=（ A ）.A27; B. -27; C. 3; D. -3.4,且，则的基础解系中含有（ A ）个向量.A.； B.； C.； D.不确定.5. 当满足（ C ）时，二次型为正定二次型。A. ; B. ; C. ; D. .二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设当与满足 时,有.7. 行列式 ;8. 设为阶方阵，若与阶单位矩阵等价，则方程组有 唯一解 ;9. 矩阵，则的秩为 2 ;10. 实二次型，当 1 时，其秩为2三、解答题（每小题10分，共60分）11.计算行列式 。 解： 6分 10分12. 设为三阶矩阵，满足，为三阶单位矩阵，又，求矩阵。解： 4分可逆 6分故 10分13. 求矩阵的秩。解： 6分当时， 8分当时， 9分当时， 10分14. 问取何值时，向量可由向量组，（1）唯一的线性表示， （2）无穷多的线性表示， （3）不能线性表示。解：原问题可转化为非齐次线性方程组的求解问题，由题意可得5分1) 当时，方程组有唯一解，即可由向量组唯一的线性表示。2) 当时，方程组有无穷多解，即可由向量组线性表示，且表示法有无穷多。9分3) 当时，方程组无解，即不能由向量组线性表示10分15. 设，求。解： 4分故 10分16. 设，问能否对角化。解： 3分当，即时，有三个不同的特征值，故可对角化 5分当时，的特征值为1(二重)和2，故不能对角化 8分当时，的特征值为1和2(二重)，故不能对角化 10分四、证明题（每小题5分，共10分）17.设为阶实对称矩阵，若有正交矩阵使得同为对角阵，证明：.证明：设有 2分则有 故 5分18. 设向量组和向量组的秩分别为和，试证明：若可由线性表示，则。证明：设向量组的一个最大无关组为：，向
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