第四章ech42015.ppt

1 Chapter4Therootlocusmethod 重点掌握根轨迹的绘制通过根轨迹分析闭环系统的性能 Maincontents1 Therootlocusconceptandrootlocusequation2 Therootlocusprocedure3 Zerodegreerootlocus4 Estimatingthespecificationsbythedominantpoles 4 1Therootlocusconceptandrootlocusequation4 2Therootlocusprocedure4 3Zerodegreerootlocus 4 4Analysisbyrootlocus 4 1 1rootlocus反馈控制系统的性质取决于闭环传递函数 只要求解出闭环系统的特征根 系统响应的变化规律就知道了 但是对于3阶以上的系统求根比较困难 如果系统中有一个可变参数时 求根就更困难了 4 1Therootlocusconceptandrootlocusequation 1948年 伊凡思提出了一种确定系统闭环特征根的图解法 根轨迹法 在已知开环零极点分布的基础上 当某些参数变化时 利用该图解法可以非常方便的确定闭环极点 定义 当系统开环传递函数中某一参数从0 时 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹 就称作系统根轨迹 一般取开环根轨迹增益K 作为可变参数 5 开环系统 零 极点位置 闭环系统实际极点位置 C s R s G s K 参数K 从零变到正无穷大时 闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹 根轨迹 6 4 1Therootlocusconceptandrootlocusequation Therootsoftheclosed loopsystem 7 稳定性当K由0 根轨迹不会进入s右半边 即系统总是稳定的 稳态特性坐标原点有一个开环极点 所以属I型系统 根轨迹上的K值就是Kv 如果已知ess 则在根轨迹上可确定闭环极点取值范围 动态特性 当00 5时 闭环系统是复极点 为欠阻尼状态 单位阶跃响应为衰减振荡过程 8 Definition Therootslocusisthepathoftherootsofthecharacteristicequationtracedoutinthes planeasasystemparameterischanged 根轨迹是指系统中某个参数由0 变动时 闭环特征根在s平面上移动的轨迹 9 D s 1 G s H s 0 Thecharacteristicequationis Where K therootlocusgain Zerosofopenlooptransferfunction Polesofopenlooptransferfunction 4 1 2equationsofrootlocus 10 Theequationmayberewritteninpolarformas Then Magnitudeequation Phaseequation 11 凡满足幅值和幅角条件的s值 都是闭环极点 特征方程根 这些s值构成系统根轨迹 关键找出这些s点 幅角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件 因此 绘制根轨迹时 只需要使用幅角条件 而当需要确定根轨迹上各点的K值时 才使用幅值条件 4 1 3绘制根轨迹的步骤 1 寻找满足幅角条件所有的s点 由这些点构成根轨迹 2 根据幅值条件确定对应点 即特征方程根 处的K值 下面看看怎样按上式表示的幅值条件和幅角条件绘制系统的闭环根轨迹图 已知负反馈系统开环零极点分布如图示 p2 p3 p1 z1 s1 1 1 2 3 在s平面找一点s1 画出各开环零 极点到s1点的向量 检验s1是否满足幅角条件 s1 z1 s1 p1 s1 p2 s1 p3 1 1 2 3 2k 1 如果s1点满足幅角条件 则是根轨迹上的一点 寻找 在s平面内满足幅角条件的所有s1点 将这些点连成光滑曲线 即是闭环系统根轨迹 14 当K从0变化到 时 系统的根轨迹是连续的 K 0的点称为起点 K 的点称为终点 本例中有两个分支 终点都在无穷远处 这里是用解析法画出的根轨迹 但对于高阶系统 求根困难 需用图解法画图 显然 只有三角形OAB是等腰三角形时 A点在根轨迹上 点显然不在根轨迹上 Furtherdiscussion 15 4 2Therootlocusprocedure Step1 Writethecharacteristicequationas Parameterthatischanged example Case1 when 16 Characteristicequationis So Case2 When 17 Characteristicequationis 18 Step2 FactorP s writethepolynomialintheformofpolesandzeros Step3 LocatethepolesandzerosofP s ons planewithselectedsymbols 19 20 Rule1 Thelocusoftherootsofthecharacteristicequation1 K P s 0beginsatthepolesofP s andendatthezerosofP s asK increasesform0toinfinity 21 when n munlimitedzeros 有n m条根轨迹的终点在无穷远处 我们把无穷远处的零点称之为无限零点 那么 n m支根轨迹是如何趋于无限远呢 22 Rule2 Thenumberofrootsoftheequationisequaltomax m n Thus therootlocushasmax m n branches n阶系统的特征方程有n个特征根 当K 由0 变动 则n个特征根跟随变化 在s平面上必然出现n条根轨迹 Therootlocimustbesymmetricalwithrespecttothehorizontalrealaxis K 0 K 0 K K 25 Rule3 Asymptotesoftherootloci Asymptotecentroid Angleoftheasymptotes 渐近线与实轴正方向的夹角为 渐近线与实轴相交点的坐标为 26 Wehavewhen ByMagnitudeequation 28 例1 系统开环传递函数为 试确定根轨迹支数 起点和终点 若终点在无穷远处 求渐近线与实轴的交点和倾角 渐近线与实轴的交点 渐近线与实轴的倾角 零极点分布和渐近线 红线 如图所示 29 Rule4 Locatethesegmentsoftherealaxisthatarerootloci Therootlocusontherealaxisalwaysliesinasectionoftherealaxistotheleftofanoddnumberofpolesandzeros 实轴上凡有根轨迹的线段 其右侧的开环零点 极点之和必为奇数 奇是偶不是 30 例如在实轴上有两个开环极点p1 p2 复平面上有一对共轭极点p3 p4和一对共轭零点z1 z2 先看试验点s1点 成对出现的共轭零点z1 z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0 成对出现的共轭极点p3 p4对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0 试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0 试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180 所以s1点满足根轨迹相角条件 于是 p2 p1 为实轴上的根轨迹 再看s2点 不满足根轨迹相角条件 所以不是根轨迹上的点 同样s3点也不是根轨迹上的点 32 例2 已知 试画出根轨迹的大致图形 解 按根轨迹绘制的规则 1 起点 0 1 2 终点 2 分支数 n 3 根轨迹对称于实轴 3 渐近线 因为本系统中 所以渐近线共有3条 渐近线的倾角 取k 0 1 2 得到 33 渐近线与实轴的交点 4 根轨迹在实轴上的分布 1 0 2之间 34 Rule5 Determinethebreakawaypointandbreakawayangleontherealaxis 法则5根轨迹分离点和分离角两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的点 称为根轨迹的分离点 分离点的性质 1 分离点是系统闭环重根 2 由于根轨迹是对称的 所以分离点或位于实轴上 或以共轭形式成对出现在复平面上 3 实轴上相邻两个开环零 极 点之间 其中之一可为无穷零 极 点 若为根轨迹 则必有一个分离点 4 在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹 该段无分离点或分离点成对出现 证明 根轨迹在s平面上相遇 说明闭环特征方程有重根出现 设s d处为分离点 确定分离点位置的方法 均需验证 式中 zi pj是系统的有限开环零点和开环极点 分离点上 根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的分离角 用下式计算 l为分离点处根轨迹的分支数 法一 重根法 极值法 法二 公式法 设分离点的坐标为d 则d满足如下公式 牢记 证毕 例3求系统根轨迹的分离点 解 系统实轴上的根轨迹段 1 0 位于两个开环极点之间 该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点 设分离点的坐标为d 则 3d2 12d 5 0d1 0 472d2 3 53 不在根轨迹上 舍去 也可代入幅值方程看K 0否 分离点上根轨迹的分离角为 90 如果方程的阶次高时 可用试探法确定分离点 d1 0 472 例4已知系统开环传函为 试绘制系统的根轨迹 解 d 2 5左 0 67右 0 4d 2 01左 0 99右 99 49d 2 25左 0 8右 3 11d 2 47左 0 68右 0 65 d 2 47 40 根轨迹的起始角是指根轨迹在起点处的切线与水平正方向的夹角 根轨迹的终止角是指终止于某开环零点的根轨迹在该点处的切线与水平正方向的夹角 Rule6 Determinetheangleofdepartureofthelocusfromapoleandtheangleofarrivalofthelocusatazero 根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴方向的夹角 称为出射角 起始角 用 表示 根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴方向的夹角 称为入射角 终止角 用 表示 求出这些角度可按如下关系 证明 设开环系统有一对共轭复数极点px x 1 在十分靠近待求起始角的复数极点px的根轨迹上取一点s1 加零去余极 加极去余零 px Px 1 s1 由于s1无限接近px 因此 除px外 所有其它开环零 极点到s1点的向量幅角 都可以用它们到px的向量幅角来代替 而px到s1点的向量幅角即为起始角 根据s1点必满足幅角条件 应有 移项后 立即得到法则中的公式 证毕 试绘制出系统的根轨迹 解 例5设负反馈系统的开环传递函数为 起始角与终止角 1 2 3 1 3 2 180 1 2 3 1 2 3 180 56 5 19 59 108 5 37 90 79 180 117 90 153 63 5 119 121 149 5 45 Rule7 Determinethepointatwhichthelocuscrossestheimaginaryaxis 根轨迹与虚轴相交 表明系统闭环特征方程有纯虚根 系统处于临界稳定状态 求解方法1 将S jw代入闭环特征方程式中1 K P s 0中 得 1 K P jw 0 可分解为 Re 1 K P jw jIm 1 K P jw 0 Re 1 K P jw 0 Im 1 K P jw 0 46 求解方法2 应用Routh Hurwitz稳定判据 令Routh表s所对应的行全为零 从而求得和K Rootlocus 试绘制出系统的根轨迹 解 三个开环极点p1 0 p2 3 1 j渐近线 3条 例7设负反馈系统的开环传递函数为 根轨迹与虚轴交点 系统的闭环特征方程为s3 2s2 2s Kg 0劳斯表 s312s22Kgs1 4 Kg 2s0Kg 令s1系数为0 得Kg 4代入辅助方程2s2 Kg 0 实轴上根轨迹 0 即整个负实轴 出射角 绘制出系统根轨迹如图所示 Kg Kg Kg j1 414Kg 4 45 53 Example abandon 54 ExampleThesystemopen looptransferfunctionis Constructtherootlocus Arctan 3 71 6 180 90 71 6 45 216 6 180 90 225 180 71 6 63 4 55 Rule8 Sumofallrootsofclosed loopcharacteristicequation Theclosed loopcharacteristicequationis When Sumofrootsisconstant 根据高阶方程系数与根的关系式 若n m 2 则 利用上述基本法则 可以迅速绘制闭环系统的根轨迹草图 对需要准确绘制的根轨迹 可根据幅角方程条件使其精确化 一般而言 靠近虚轴或原点附近的根轨迹对分析系统的性能至关重要 应尽可能的准确绘制 a1称为系统闭环极点或开环极点的重心 表明当K 变化时 一些根增大时 另一些必然减小 即一些根轨迹右行 一些必然左行 重心保持不变 1 根的分量之和是一个与K 无关的常数 2 各分支要保持总和平衡 走向左右对称 试绘制出系统的根轨迹 解 例设负反馈系统的开环传递函数为 一定要写成零极点表达式 d 0 59 舍去 d 3 41 结论 由两个极点和一个有限零点组成的开环系统 只要有限零点没有位于两个实数极点之间 当K从0 时 闭环根轨迹的复数部分 是以有限零点为圆心 以有限零点到分离点为半径的一个圆 或圆的一部分 d 试绘制出系统的根轨迹 解 例设负反馈系统的开环传递函数为 渐近线 a 2 a 45 135 分离点 d 2d 2 j2 45 与虚轴交点 Kg 260s j3 16 60 法则9 根轨迹上K 值的计算根轨迹上任一点S1处的K 可由幅值条件来确定 即 Rule9 CalculateK ofrootlocus 61 绘制根轨迹图的九条规则 62 绘制根轨迹图的九条规则 63 例 系统的开环传递函数试画根轨迹 并确定时K1的值 解 只对根轨迹曲线的特征点进行分析 1 渐近线 3条 渐近线的夹角 渐近线与实轴的交点 2 分离点 即 舍去 64 3 与虚轴的交点系统的特征方程 s s 4 s 6 K1 0令代入 求得实部方程 虚部方程 解得 舍去 4 确定时的K1值 过原点作OA射线交根轨迹于A 使得 测量得 求得 65 A点对应的坐标 即闭环的一个极点位置 K1 44 5时另外两个极点同理可求得根轨迹在实轴上的分离点 1 57处对应的K1 17 66 4 3Zerodegreerootloci Thecharacteristicequationofpositivefeedbacksystemis Anditsrootlocusequationis Thephaseequationis Themoduleequationis 67 Sosomerulesmustbemodified Real AxisLocus Therootlocusontherealaxisalwaysliesinasectionoftherealaxistotheleftofanevennumberofpolesandzeros Asymptotesoftherootloci theangleofdepartureofthelocusfromapoleandtheangleofarrivalofthelocusatazero 例设单位正反馈系统的开环传递函数 绘制根轨迹 解 按0 根轨迹的法则绘制 有2个开环极点 2 4 1个开环零点 1 m 1 n 2 根据法则1和2 根轨迹是关于实轴对称的连续曲线 根据法则3和4 根轨迹有2条分支 起始于2个极点 1条终止于开环零点 1条终止于无穷远处 根据法则5 根轨迹有1条渐近线 根据法则4 实轴上的根轨迹为 存在2个分离点 由下式求得 分离角 90 根据法则7 求根轨迹与虚轴的交点 根据上述结论 可绘制出根轨迹如图所示 箭头为kg增大的方向 71 参变量系统的根轨迹设系统的开环传递函数为G s H s GH s X X为系统的参变量 则系统的闭环特征方程为D s 1 G s H s 1 GH s X 0可整理为 式中 GH s 为等效系统的开环传递函数 根轨迹化为常规根轨迹或0 根轨迹 例已知某负反馈系统的开环传递函数为 试绘制参数a从零变化到正无穷时 闭环系统的根轨迹 解 系统的闭环特征方程为s3 s2 0 25s 0 25a 0 于是 等效系统开环传递函数为 把a视为根迹增益 可绘制出a变化时系统的常规根轨迹 渐近线 a 1 3 a 3 5 3 根轨迹与虚轴的交点 a 1s j 2 a j0 5a 1 分离点 d1 1 6 d2 1 2 a 77 当系统有两个参数变化时 所绘出的根轨迹称谓根轨迹族 78 79 取p为不同值时 绘制参量Kg从零变化到无穷大时的180度 常规 根轨迹 这时 根轨迹方程为 kg不同时的根轨迹如右所示 试确定系统根轨迹的类型 解 系统 1 和系统 2 都在s平面右半部具有一个开环零点z 1 所以 系统均属非最小相位系统 非最小相位系统的根轨迹在s平面右半部具有开环零点和 或 极点的反馈系统称为非最小相位系统 绘制方法同最小相位系统 但必须将开环传递函数整理成标准形式 然后才能确定按180 根轨迹还是0 根轨迹的法则绘制 例10设负反馈系统的开环传递函数为 其根轨迹方程为 可按180 根轨迹的基本法则绘制系统的根轨迹 对系统 2 其闭环特征方程为 此时按0 根轨迹的基本法则绘制系统的根轨迹 对系统 1 其闭环特征方程为 83 利用根轨迹 可以对闭环系统的性能进行分析和校正由给定参数确定闭环系统的零极点的位置 分析参数变化对系统稳定性的影响 分析系统的瞬态和稳态性能 根据性能要求确定系统的参数 对系统进行校正 4 4Analysisbyrootlocus 一 闭环零点和闭环极点的确定只要求出系统的闭环零极点 就知道系统的响应 就可实现对系统的性能分析 1 由开环传递函数确定系统的闭环零点 设 zi pj KGg分别是系统前向通道传递函数G s 的零点 极点和根轨迹增益 zk pl KHg分别是系统反馈通道传递函数H s 的零点 极点和根轨迹增益 于是 系统的闭环传递函数为 比较上两式 即有如下结论 1 系统的闭环零点由其前向通道G s 的零点 m1个 和其反馈通道H s 的极点 n2个 两部分组成 对于单位反馈系统 H s 1 闭环零点就是开环零点 2 系统的闭环根轨迹增益等于其前向通道的根轨迹增益 对于单位反馈系统 系统的闭环根轨迹增益等于其开环根轨迹增益 设系统的闭环零点 极点和根轨迹增益分别为zj si和K g 则系统的闭环传递函数可表示为 2