结构复习题.doc

填空题：（20分）1忽略相对论效应并采用BO近似后，锂原子的薛定谔方程为：其中第一项代表 ，你填的第一空代表 ，你填的第二空代表 ，你填的第三空代表 。答：，动能，电子与核的吸引位能，电子电子间的排斥位能，本征能量2将下列分子按照每个分子中的碳氧键键长由短到长排序依次填入下面的空格中，一氧化碳，二氧化碳，丙酮。 ， ， 。答：一氧化碳，二氧化碳，丙酮。简答题：（30分）1 请简要叙述泡利原理。 写出Li原子(1s2)(2s1)的完全波函数，说明其满足泡利原理。答：泡利原理是：电子系统的波函数是反对称的，也就是任意交换两个电子的坐标（包括自旋），波函数变号。Li原子完全波函数为：交换两个电子的坐标，相当于交换上述行列式的两行，根据行列式性质，交换两行出一个负号。2 请推算(2p5)组态的光谱项和光谱支项，并指出基态光谱支项。解：(2p5)与(2p1)具有相同的光谱项。m= -1, 0, 1 mL mS -1 1/2 0 1/2 1 1/2 -1 -1/2 0 -1/2 1 -1/2mL最大为1，说明L=1，当mL=1时，mS最大为1/2，说明S=1/2，则有2P，2P谱项正好对应上述六个微观态。光谱支项为：2P3/2，2P1/2，已过半充满，所以基态光谱支项为：2P3/23简要叙述能量最低原理，说明其用处。答：能量最低原理指：对于任意一个满足系统边界条件的近似波函数，它的平均能量一定不低于此系统所具有的基态能量。由于一般薛定谔方程求解非常困难，能量最低原理可用于求一个体系的近似的基态波函数以及基态附近的激发态波函数。4写出CO分子的电子组态，并指出键级、顺反磁性。解：键级为三，反磁性。5判断下述分子的碳原子的原子轨道采用的杂化方式，如果有共轭键，指出共轭键的类型：甲烷，乙炔，苯，二氧化碳。答：sp3sp，两个互相垂直的sp2，sp，两个互相垂直的计算题：（40分）一、求几率：1 已知氢原子处于基态，波函数为：，请将波函数归一化并求出电子出现在内径为0.5外径为1.0的球壳中的几率。解：设新的波函数为，归一化条件：2. 处于二维无限深方势阱中的粒子的波函数为：，试求粒子出现在区间中的几率。解：二、求各种物理量（本征值，平均值）：1试证明满足采用自然单位的氢原子的薛定谔方程，同时也是角动量的本征函数，并求出相应的能量E和角动量的大小。解：，能量就为-1/8。，角动量的大小为。2已知某粒子的归一化了的波函数：，验证其是否为动能的本征函数，并请求出其动能。用到的积分：解：此波函数不是动能算符的本征函数，动能没有确定值，只能求动能的平均值。3无限深方势阱位于0，1区间，请写出在这个势阱中的某粒子（粒子质量为m）的薛定谔方程以及边界条件，并求出本征函数和能量。解：解此方程得：，由边界条件知：由边界条件知：或，必须舍去，否则波函数恒等于零。则，从而，n为正整数，由归一化条件得。4已知氢原子某归一化波函数表达式为：试求出其节面方程，指出其形状，求出径向分布函数方程，用径向分布函数写出（不计算）电子出现在以核为圆心的单位圆中的几率的积分表达式。解：节面：则有两解：（1），表示原点，舍去（2），表示x-y平面。径向分布函数的定义式为：三、杂化轨道理论：水分子中的氧原子采用sp3杂化与氢原子结合，已知，每个氧氢键中s轨道成分占20%，试求键角，并求出氧氢键中杂化轨道的表达式。解：设氧原子处于原点，其中一个氧氢键在x轴上，另一个在xy平面上，设两根氧氢键可以写成：正交条件：求得键角为104.5度。由于第一根键在x轴上，不含轨道，设由键角的表达式：，得：四、HMO法：1 按照Huckel的简单分子轨道理论的假设，求解环丁二烯的能级和相应的波函数，并计算离域能。解：首先列出久期行列式：其中，解之得：，有四根，。将这四个根代入线性代数方程组，并结合归一化条件可以得到四组解。将代入上述方程组中，对应的解为：能级，波函数。，将其代入久期方程组中，我们得到以及。由于为二重根，应该有两组解，我们可以任意取满足久期方程组的一组解为：休克尔分子轨道理论要求各轨道正交，也就是我们得到的各个解向量之间必须正交。另一组解必须与上述解正交，并且满足归一化条件和久期方程组（以及），即：能级，波函数为：，。有重根时，重根的第一组解可以有多种取法，只要满足久期方程就可。比如，我们也可以取，与上述步骤类似可得：，它们都是正确的解。将代入久期方程，并使用归一化条件得：能级，波函数。基态时，在中有两个电子，在