第四节 简单逻辑用语.doc

1.4常用逻辑用语（理科）自主学习 要点回顾1.简单的逻辑联结词（1）命题中的“_”、“_”、“_”叫做逻辑连接词.(2) 用来判断复合命题的真假的真值表：pqpqPqPq( Pq)( Pq)pqpq真真假假真假假真假假真真假假真真假假真假假假真真假真真2.全称量词与存在量词（1）常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等.（2）常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等.（3）全称量词用符号“_”表示；存在量词用符号“_”表示.（4）全称命题与特称命题_的命题叫做全称命题._的命题叫做特称命题.3.命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.（2）“Pq”的否定是“pq”；“Pq”的否定是“pq”.基础自测1命题p：若a、bR，则|a |b |1是|ab|1的充分而不必要条件；命题q：函数y|x1|20的解集是(，1 3，)，则( )A“p或q”为假B“p且q”为真 Cp真q假Dp假q真2下列命题中正确的是( )A若x2y2 则xy或xyB命题“若a、b都是偶数，则ab是偶数”的逆否命题是“若a、b不是偶数，则ab都不是偶数”C若“p或q”为假则“非p且非q”为真D“|x|2”是“x2x60”必要充分条件3.已知p：|xa|0，若非p是非q的充分不必要条件，则a的取值范围为()Aa6 Ba1或a6C1a6 D1a64给定下列结论：已知直线：ax3y10，l2：xby10，则l1l2的充要条件是ab3；若sin()，sin()，则tan5tan；其中正确命题为（ ） A. B. C. D.5命题“每一素数都是奇数”的否定为_.典例剖析题型1 含有逻辑联结词的命题【例1】分别指出由下列命题构成的“pq”、“pq”“ p”形式的命题的真假.（1）p：42,3，q：22,3（2）p：1是奇数，q：1是质数.（3）p：0，q：x |x23x50 R.（4）p：不等式x2+2x80的解集是x |4x2，q：不等式x2+2x80的解集是x |x4或x2.变式拓展1.分别写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假.（1）p：3是9的约数，q：3是18的约数；（2）p：菱形的对角线一定相等，q：菱形的对角线互相垂直；（3）p：方程x2+x10的两实根符号相同，q：方程x2+x10的两实根绝对值相等；题型2 全称命题与特殊命题【例2】写出下列命题的“否定”，并判断其真假，（1）p：对于任意xR，x2x+0；（2）q：所有的正方形都是矩形；（3）r：存在xR，x2+2x+20；（4）s：至少有一个实数x，使x3+10.变式拓展2.写出下列命题的否定并判断真假.（1）所有的正方形都是菱形；（2）p：直线l平面，则对任意l，ll；（3）p：若abc0，则a，b，c中至少有一个为0（4）p：若2n+10，则存在nN*，使0题型3 求参数的取值范围【例3】已知命题p：方程x2+mx+10由两个不等的负实数根，命题q：4x2+4(m2)x+10无实数根.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围.变式拓展3.给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2+(a1)x+a20（aR且a为常数）的解集为；命题乙：函数y（aR且a为常数）为增函数.（1）甲、乙至少有一个是真命题；（2）甲、乙中有且只有一个是真命题.分别求出符合（1）（2）的实数a的取值范围.方法提炼 1有关“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“p且q”形式2当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法3反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定（如“至少”等），而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；（3）由矛盾判断假设不正确，从而肯定所证命题正确 考点过关1.如果命题“ (pq)”为假命题，则( )A.p、q均为真命题 B.P、q均为假命题C.p、q中至少有一个为真命题 D.p、q中至多有一个为真命题2.下列命题中是全称命题的是( )A.圆有内接四边形 B.C. D.若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形3.下列语句是真命题的是( )A.所有的实数x都能使x2-3x+60成立B.存在一个实数x使不等式x2-3x+60成立C.存在一条直线与两个相交平面都垂直D.存在有.4.已知特称命题P：存在xR，2x+10，则命题P的否定是( )A.存在xR，2x+10 B.任意xR，2x+10 C.存在xR，2x+10 D.存在xR，2x+105.有关命题的说法错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x2-3x+20”B.“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C.若pq为假命题，则p、q均为假命题 D.对于命题p：存在xR，使得x2+x+10，则p为：任意xR，均有x2+x+106.下列各组命题中，满足“p或q为真、p且q为假、非p为真”的是_.p：0= ，q：2 p：若cos2A=cos2B，则A=B.q：y=sin x在第一象限是增函数p：a+b2(a,bR)；q：不等于|x|x的解集是(，0) p：圆(x-1)2+(y-2)2=1的面积被直线x=1平分；q：在ABC中，sin A=sin B，则A=B7.命题“对任何xR，|x-2|+|x-4|3”的否定是_.8.已知p：|x1|2，q：5x-6x2，则非p是非q的_条件.9.已知两个命题r(x):sin xcos xm，s(x):x2mx10.如果对任意xR，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，则实数m的取值范围为_.10给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知P(2cosx1,2cos2x2)和Q(cosx，1)，x0，向量与不垂直”试写出命题的否定，并证明真假11已知c0，设P：函数y在R上单调递减，Q：不等式1的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.12已知a0.a1，设p：函数yloga(x+1)在（0，+）上单调递减；q：曲线yx2+(2a3)x+1在x轴交于不同的两点，如果p且q为假命题，p或q为真命题，求a的取值范围.1.4答案与提示要点回顾1.（1）或、且、非 (2) pqpqPqPq( Pq)( Pq)pqpq真真假假真真假假假假真假假真真假假真真假假真真假真假假真真假假假真真假假真真真真2. （3）、 （4）含有全称量词 含有存在量词基础自测 1. 解析：|ab|a|b|， |a|b|1是|ab|1的必要而不充分条件，即p假；由|x1|20，得x1，或x3，即q真.答案：D2.解析：由x2y2可得xy且xy，故A不正确；命题“若a、b都是偶数，则a b是偶数”的否命题是“若a、b不是偶数，则ab都不是偶数”，故B不正确；若“p或q”为假则“p且q”为真，正确答案：C3. C4.解析：对于易知p真，q真，故命题pq假，正确；对于l1与l2垂直的充要条件应为a+3b0；对于利用两角和与差的正弦公式展开整理即得.答案：选B5. 答案：存在一个素数不是奇数例1分析：根据或、且、非命题的形式及其值表直接判断.解：（1）p是假命题，q是真命题，pq为真，pq为假，.（2）因为1是奇数，p是真命题，又1不是质数，q是假命题，因此pq为真,pq为假，p为假.（3）0，p为假命题又x23x50 xx |x23x50x |xR成立.q为真命题.pq为真,pq为假，p为假（4）x2+2x80，(x+4)(x2)0，即4x2，x2+2x80的解集为x |4x2，命题p为真命题，q为假命题.pq为真。pq为假命题，p为假命题.【解题反思】判断含有逻辑联结词“或”、“且”“非”的命题的真假，要注意的三个方面：弄清构成它的命题p、q的真假，弄清结构形式，据真值表判断构成新命题的真假.变式拓展1.解：（1）p或q：3是9的约数或是18的约数，真；p且q：3是9的约数且是18的约数，真；非p：3不是9的约数，假.（2）p或q：菱形的对角线一定相等或互相垂直，真； p且q：菱形的对角线一定相等且互相垂直，假； 非p：菱形的对角线不一定相等，真.（3）p或q：方程x2+x10的两实根符号相同或绝对值相等，假；p且q：方程x2+x10的两实根符号相同且绝对值相等，假；非p：方程x2+x10的两实根符号不同，真.例2分析：这四个命题中，p、q是全称命题，r、s是特称命题.解（1）p：存在 xR，x2x+0，这是假命题，因为对于任意xR，x2x+14(x12）20恒成立.（2）q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.（3）r：对于任意xR，x2+2x+20，真命题，这是由于对于任意xR， x2+2x+2(x+1)2+110.（4）s：对于任意xR，x3+10，假命题，这是由于x1时，x3+10【解题反思】（1）全(特)称命题的否定与命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而命题的否定则直接否定结论即可.（2）要判断“p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假，因为p与p的真假相对.变式拓展2.解：（1）存在一个正方形不是菱形，假命题.（2）p：直线l平面，则存在l，l与l不垂直，假命题.（3）p：若abc0，则a，b，c中没有一个为0；（4）p：若an2n+10，则对于任意nN*，Sn0.例3分析：本题主要考查方程与命题的综合知识及分类讨论思想，分析问题、解决问题的能力.先将p，q中m的取值求出，然后根据“p或q”为真，“p且q”为假，可知p和q中必是一真一假，则分两种情况列出不等式组求解.解：由p得 ，则m2.由q知，16(m2)21616(m24m+3)0，则1m3.“p或q”为真，“p且q”为假，p为真，q为假，或p为假，q为真.则 或 解得m3或1m2.【解题反思】本题涉及一元二次方程，一元二次不等式（组）、补集，“p或q”、“p且q”两类符合命题的判断等知识，解答时，应注意层层推进，先将p，q化简，然后依题设条件“p或q”真，“p且q”假，推导出所有可能情况，“p或q”真，“p且q”假等价于p，q有且只有一个正确.变式拓展3.解：甲为真时，(a1)24a20即a 或a1 乙为真时，2a2a1即a1或a （1）甲、乙至少有一个真命题时，解集求并集，a的取值范围是a|a或a.（2）甲、乙有且只有一个真命题，有两种情况：甲真乙假时a1，当甲假乙真时1a. 甲、乙中有且只有一个真命题时a的取值集合为a|a1或1a.考点过关1.解析：“ (p或q)”为假命题，则“(p或q)”为真命题，也即p、q中至少有一个为真命题.答案：C2.解析：A中隐含全称量词“任意一个”，B、C、D均为特称命题.答案：A3.解析：因为x2-3x+6=(x-)2+，所以对于任意xR，x2-3x+60恒成立，因此A为真命题。4.解析：特称命题一般形式是p：存在xM，p(x).它的否定是p：任意xR，2x+10的否定是P：任意xR，2x+10答案：B5.解析：C错误，若pq为假命题，则p、q均假或二者一真一假都可以.答案：C6. 解析：非p为真，即得p为假，又p或q为真，则q为真.即在选项中找出p假且q真的答案.其中A选项为p假且q假，B选项为p假且q假，D选项为p真且q真，仅C选项为p假且q真.答案：7.答案：存在xR，使得|x-2|+|x-4|3.8.解析：p：x1或x-3，q：2x3.q是p的充分非必要条件，p是q的充分非必要条件.答案：充分非必要9.解：sin xcos x=sin(x) ，当r(x)是真命题时，m.又对任意xR，s(x)为真命题，即x2mx10恒成立,有=m240 ，2m2.当r(x)为真，s(x)为假时，m，同时m2或m2即m2，当r(x)为假，s(x)为假真时，m且2m2，即m2综上，实数m的取值范围是m2或m210.解：p：在平面直角坐标系xOy中，已知P(2cosx1,2cos2x2)和Q(cosx，1)，彐x0，使得向量p是真命题，证明如下：由得cosx(2cosx1)(2cos2x2)0化简得：2cos2xcosx0所以cosx0或cosx有因为x0，所以x或x故存在x或x，使得11.解：函数y在R上单调递减 0c1不等式x+|x2c|1的解集为R， 函数yx+|x2c|在R上恒大于1x+|x2c| 函数yx+|x2c|1在R上的最小值为2c不等式解集x+|x2c|1的解集为R2c1c.如果P正确，且Q不正确，则0c；如果p不正确，且Q正确，则c1.c的取值范围为（0，1，+）.12. 解：由题意知p与q中有且只有一个为真命题，当0a1时，函数