§13函数与方程.doc

扬中市第二高级中学2010届高三数学教学案第16课 函数与方程【复习目标】1.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解【重点难点】1. 理解根据二次函数的图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念，对“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解；2. 通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识【自主学习】一、知识梳理1.函数零点的定义(1)方程f(x)=0的实数根又叫y=f(x)的零点。 (2) 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的 ，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的 所以，函数y=f(x)有零点等价于函数y=f(x)的图象与x轴有 ，也等价于方程f(x)=0有 2.函数零点的判断 如果函数y=f(x)在区间m,n上的图象是一条不间断的曲线，且有 ，则函数y=f(x)在区间m,n上有零点，即存在x0(m,n)，使得 ，这个x0也就是f(x)=0的根。3.二分法的定义(1) 对于在区间a,b上连续不断，且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数y=f(x)的零点所在的区间 ，使区间 的两个值逐渐逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。(2) 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步 确定区间a,b，验证 ;第二步 求区间(a,b)的中点x1;第三步 计算 ;若 ，则x1就是函数的零点;若 ，则令b=x1(此时零点x0(a,x1);若 ，则令a=x1（此时零点x0(x1,b)）第四步 判断是否满足条件，否则重复第二、三、四步。思考：如何用流程图表示求函数f(x)零点近似值的步骤。二、课前预习：1.函数f(x)=lnxx+2有 个零点。2.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且x与f(x)有如下的对应值表;x123456f(x)2.33.401.33.43.4则函数f(x)在区间1,6上的零点至少有 个。3.方程lnx+2x=6在区间k,k+1上有根，则整数k的值是 。4.若函数f(x)=|4xx2|a有3个零点，则a= .【共同探究】例1. 已知函数f(x)=mx2+(m3)x+1至少有一个值为正的零点，试求实数m的取值范围。例2. 关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m的取值范围。例3. 若函数f(x)=ax2x1只有一个零点，求实数a的取值范围。例4. 已知,函数若函数没有零点, 求的取值范围.例5.已知函数f(x)=ax2(a+3)x+4,若y=f(x)的两个零点为、，且满足020的解集是 2. 对于任意k1,1,函数f(x)=x2+(k4)x2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是 3. 关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值范围是 4. 当a 时，关于x的一元二次方程 x2+4x+2a-12=0两个根在区间-3,0中5. 若关于x的方程4x+a2x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是_6.设x1,x2 分别是log2x=4-x 和2x+x=4的实根,则x1+x2= 7. 已知,在下列说法中： (1)若f(m)f(n)0,且mn,则方程f(x)=0在区间(m,n)内有且只有一根； (2) 若f(m)f(n)0,且m0,且m0,且mn,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至多有一根； 其中正确的命题题号是 8. 函数内有且仅有一个零点,那么实数的取值范围是 9.设x1与x2分别是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0和ax2+bx+c=0的一个根，且x1x2,x10,x20,求证：方程有且仅有一根介于x1和x2之间。答案：课前预习：1. 22. 33. 24. 4例1：（1）m=0时，由f(x)=0得x=满足题意。（2）m0时，则所以m0或，由上可知m的取值范围是：m.例2. 设f(x)= mx2+2(m+3)x+2m+14,根据图象知当或时,符合题意从而得. 例3：（1）a=0显然满足条件。（2）a0时，例4：由条件得：（x2+mx+m）ex=0无解，又ex0所以方程x2+mx+m=0无解，m2-4m0, 0m0例6.若a=0,f(x)=2x-3,显然在-1,1上没有零点，所以a0.令4+8a(3+a)=0得当a=时，y=f(x)恰有一个零点在-1,1上；当f(-1)f(1)=(a-1)(a-5)=0,即a=1或a=5时，y=f(x)在区间端点处有零点；当f(-1)f(1)=(a-1)(a-5)0，即1a5时，y=f(x)在(-1,1)上有一个零点；当y=f(x)在(-1,1)上有两个零点时，则解得因此a的取值范围是a1或a巩固练习：1.x|x32.x33.m-4.5.a-46. 47. (2)8.1a9.令f(x)=,由题意