江苏2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.1直线的方程教师用书文苏教版.docx

9.1 直线的方程1.直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.(2)范围：直线的倾斜角的取值范围是0，180).2.斜率公式(1)若直线l的倾斜角90，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1x2，则l的斜率k.3.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy1k(xx1)不含直线xx1斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A，B不全为0)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(4)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()1.(2016常州模拟)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为_.答案解析设P(m,1)，Q(7，n)，由题意知解得所以P(5,1)，Q(7，3)，所以k.2.直线xya0的倾斜角为_.答案60解析化直线方程为yxa，ktan .0180，60.3.如图所示，直线l过点P(1,2)，且与以A(2，3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为_.答案(，5，)解析设PA与PB的倾斜角分别为、，直线PA的斜率k15，直线PB的斜率k2.当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由增到90，斜率的变化范围为5，)；当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角为90增至，斜率的变化范围为(，故直线l的斜率的取值范围是(，5，).4.(教材改编)直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_.答案1或2解析令x0，得直线l在y轴上的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为1.依题意2a1，解得a1或a2.5.过点A(2，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_.答案3x2y0或xy50解析当直线过原点时，直线方程为yx，即3x2y0；当直线不过原点时，设直线方程为1，即xya，将点A(2，3)代入，得a5，即直线方程为xy50.故所求直线的方程为3x2y0或xy50.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)(2016镇江模拟)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是_.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_.答案(1)0，)(2)(，1，)解析(1)设直线的倾斜角为，则有tan sin .因为sin 1,1，所以1tan 1，又0，)，所以0或.(2)如图，kAP1，kBP，k(， 1，).引申探究1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.解如图，直线PA的倾斜角为45，直线PB的倾斜角为135，由图象知l的倾斜角的范围为0，45135，180).思维升华直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当时，斜率k0，)；当时，斜率不存在；当时，斜率k(，0).(2016淮安模拟)若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是_.答案(，)解析直线l恒过定点(0，).作出两直线的图象，如图所示，从图中看出，直线l的倾斜角的取值范围应为(，).题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，且直线到原点的距离为5.解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为，则sin (00，b0)，把点P(3,2)代入得12，得ab24，从而SAOBab12，当且仅当时等号成立，这时k，从而所求直线方程为2x3y120.方法二依题意知，直线l的斜率k存在且k0.则直线l的方程为y2k(x3)(k0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)(1212)12.当且仅当9k，即k时，等号成立.即ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x3y120.命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2a，直线l2在x轴上的截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a42，当a时，面积最小.思维升华与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的直线mxym30交于点P(x，y)，则PAPB的最大值是_.答案2解析因为mR，所以定点A(0,0)，B(1,3)，又1mm(1)0，所以这两条直线垂直，则PA2PB2AB210，则PAPB2，当且仅当PAPB时，等号成立.9.求与截距有关的直线方程典例设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示现场纠错解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，a2，方程即为3xy0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a2，即a11.a0，方程即为xy20.综上，直线l的方程为3xy0或xy20.(2)由(a2)得a20或a11，a2或a2.纠错心得在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.1.直线x的倾斜角等于_.答案解析由直线x，知倾斜角为.2.(2016无锡模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线yx1的倾斜角小的直线方程是_.答案x2解析直线yx1的斜率为1，则倾斜角为，依题意，所求直线的倾斜角为，斜率不存在，过点(2,1)的所求直线方程为x2.3.直线mxy2m10经过一定点，则该定点的坐标是_.答案(2,1)解析mxy2m10，即m(x2)y10.令得故定点坐标为(2,1).4.(2016徐州模拟)已知两点M(2，3)，N(3，2)，直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是_.答案(，4，)解析如图所示，kPN，kPM4.要使直线l与线段MN相交，当l的倾斜角小于90时，kkPN；当l的倾斜角大于90时，kkPM.由已知得k或k4.5.(2016无锡模拟)已知两点A(1，5)，B(3，2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是_.答案解析设直线AB的倾斜角为2，则直线l的倾斜角为，所以0.又kABtan 2，所以tan 或tan 3(舍去)，所以k.6.(2016无锡模拟)已知点A(1,0)，B(cos ，sin )，且AB，则直线AB的方程为_.答案xy10或xy10解析AB，所以cos ，sin ，所以kAB，即直线AB的方程为y(x1)，即xy10或xy10.7.若直线l的斜率为k，倾斜角为，而，则k的取值范围是_.答案，0)解析当时，tan 1，k1；当时，tan 0，k1或0，解得1a或a0.综上知，a0.10.(2016泰州模拟)平面上三条直线x2y10，x10，xky0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为_.答案0，1，2解析直线x2y10与x10相交于点P(1,1)，当P(1,1)在直线xky0上，即k1时满足条件；当直线x2y10与xky0平行，即k2时满足条件；当直线x10与xky0平行，即k0时满足条件，故实数k的取值集合为0，1，2.11.已知两点A(1,2)，B(m,3).(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m1，1，求直线AB的倾斜角的取值范围.解(1)当m1时，直线AB的方程为x1；当m1时，直线AB的方程为y2(x1).即x(m1)y2m30.(2)当m1时，；当m1时，m1，0)(0，k(，)，)(，.综合知，直线AB的倾斜角的取值范围为，.12.已知点P(2，1).(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，1)，显然，过点P(2，1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时直线l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知得2，解得k.此时l的方程为3x4y100.综上可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图所示.由lOP，得klkOP1，所以kl2.由直线方程的点斜式，得y12(x2)，即2xy50.所以直线2xy50是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.13.如图，射线OA、O