新课标高中数学必修+选修知识点精华归纳-04-数列(精心排版校正)

数 列（必修5第二章）1 数列的概念及其表示法1、通项公式与递推公式2、数列中与之间的关系(注意通项能否合并)：* 以下各常数不加说明均为正整数.2 等差数列 1、递推公式(定义)：2、等差中项：三数成等差数列3、通项公式： * 三个数成等差的设法：四个数成等差的设法：4、前项和公式：5、常用性质： 单调性：的公差为，则：)为递增数列；)为递减数列；)为常数列；* 首项为正(或负)的递减(或递增)等差数列前 项和的最值问题,转化为解不等式：(或)；亦可用的二次函数关系来分析. (反之未必成立)；* ； 亦为等差数列； 等差数列亦为等差数列； 下标为等差数列的项亦为等差数列； 等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”,亦为等差数列； ； ； 等差数列：项数为时,；项数为时,且.3 等比数列1、递推公式(定义)：2、等比中项：三数成等比数列 ().3、通项公式：* 三个数成等比的设法：四个数成等比的错误设法：4、前项和公式：* 5、常用性质： 单调性：为递增数列；为递减数列；为常数列；为摆动数列； (反之未必成立)* ； 亦为等比数列，公比依次是； 下标成等差数列的项()，构成公比为的等比数列； 等比数列“间隔相等的连续等长片断和序列”,亦为等比数列； 等比数列：项数为时,；项数为时,.6. 其他性质： 既是等差数列又是等比数列的数列是非零常数列； 等差数列(有意义)是等比数列； 等比数列是公差为的等差数列； 若两个等差数列有公共项,则由它们的公共项顺次组成的数列亦为等差数列，且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数； 若一个等差数列和一个等比数列有公共项,则由它们的公共项顺次组成的数列是等比数列,可由特殊到一般的方法探求其通项.4 非等差、等比数列通项公式的求法类型 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律.类型 作差法： 类型 作商法：类型 累加法： ，将上述个式子两边分别相加，可得： 为一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 为指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 为二次函数，累加后可分组求和； 为分式函数，累加后可裂项求和. 类型 累乘法： 将上述个式子两边分别相乘，可得：若不能直接用，可变形成此形式，再用此法求解。类型 构造数列法： （均为常数且） (1)为等差数列；(2)为等比数列；(3)且为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：法一：设,展开移项，整理得：,与题设比较系数得： 即：构成首项为，公比为的等比数列.利用通项公式求出通项，整理可得法二：由得，两式相减整理得：即构成首项为，公比为的等比数列.求出的通项再转化为类型(累加法)便可求出. 当为一次函数类型(即等差数列)时：法一：设，待定系数法确定，转化成首项为，公比为的等比数列，求出通项整理可得法二：若的公差为，由递推式得：，两式相减得：.令得：转化为类型VI求出，再由类型IV(累加法）求出 当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成首项为，为公比的等比数列，再利用通项公式求出的通项，整理可得法二：若的公比为，由递推式得：，两边同乘得：，两式相减得：，即，转化为类型VI可求出法三：递推式为或时，先在原递推式两边同时除以，得： ，引入辅助数列()，得：，再应用类型VI的方法解决。 当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得：.令，则，转化为类型(累加法)，求出之后得.类型 对数变换法：两边取对数得：，令得：，转化为型，求出之后得（底数不一定要取10，可根据题意选择）.类型 倒数变换法：两边同除以，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，亦可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求.类型IX 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解.方法：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，化归为型。* 对不能转化为以上方法求解的数列，可用数学归纳法求出数列通项公式5 非等差、等比数列前项和公式的求法 错位相减 若数列为等差数列，数列为等比数列，则数列的求和采用此法. 将数列的每一项分别乘以的公比，然后在错位相减，进而可得到数列的前项和. 推导等比数列的前项和公式时即用此法. 裂项相消：设，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得，故可得：常见的拆项公式有： 分组求和既不是等差数列，也不是等比数列的一类数列，适当分拆成几个等差/比或常见数列，分别求和，再合并.一般分两步：找通项公式由通项公式确定如何分组. 倒序相加若数列中，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，得到一个常数列的和.特征： 常见数列的前项和： 5 数学建模：“分期付款”、“森林木材”型应用问题1、 此类应用题一般可转化为等差/比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则统一到“最后”解决.2、利率问题： 单利问题零存整取储蓄本利和计算模型：每期存入本金元,每期利率为,则期后