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文档简介

2014年南开大学自主招生选拔考试文科数学试题一、填空题1. 已知，则的值为_.2. 已知点A（1,0），点B为圆上的任意一点，设AB的中垂线与OB的交点为C，则点C的轨迹方程为_.3. 已知可行域若直线将可行域所表示的图形的面积平分，则的值为_.4. 用24个点将一个圆24等分，任意选择其中的三点，则可以组成_个不同的直角三角形.5. 已知函数的最小值是1，则的值为_.6. 7. 已知圆上A、B、C、D四点依次排列，AB=BC=3，CD=4，DA=8，则该圆的半径为_.8. 若对任意恒成立，则的取值范围是_.二、解答题9. 已知四棱锥， ，点为的中点. （1）求证：； （2）在平面上找一点，使得平面； （3）求直线与平面所成角的正弦.10. 已知数列， 求证：（1）；（2）.【答案与解析】1.【答案】 【解析】由得 所以， 所以.2.【答案】3.【答案】4.【答案】264 【解析】（个）.5.【答案】 【解析】 ， 根据题意得，解得.6.【答案】 【解析】由 ， 令，得 ， 令，得 ， 以上两式相加得.7.【答案】 【解析】连接，设，利用余弦定理得 ，由此解得再利用正弦定理解得圆的半径为.8.【答案】9. 解：（1）取的中点，连接. 因为点为的中点，点为的中点，所以. 因为，所以，所以， 所以四边形是平行四边形，所以，所以. （2）取的中点，连接，交于点. 设. 因为所以.又因为所以 所以所以平行四边形是矩形. 在等腰直角三角形中，点为的中点， 所以，又， 所以，又，所以， 所以，又因为，所以， 所以，即. 因为，所以，所以， 所以. （3）直线与平面所成角即与平面所成角， 连接，由,知 易求得，所以.10. 证明：（1）由，得. 易证，所以，即数列单调递增， 所以. （2）利用不等式进行证明
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