第06讲 几何的定值.doc

第06讲 几何的定值内容提要1. 解答动态几何定值问题的方法，一般有两种： 第一种是分两步完成 ： 先探求定值.它要用题中固有的几何量表示. 再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明. 第二种是采用综合法，直接写出证明.乙例题例1.已知：ABC中，ABAC，点P是BC上任一点，过点P作BC的垂线分别交AB，AC或延长线于E，F.求证：PEPF有定值.分析：（探求定值）用特位定值法. 把点P放在BC中点上.这时过点P的垂线与AB，AC的交点都是点A，PEPF2PA，从而可确定定值是底上的高的2倍.DAEBPCF因此原题可转化：求证：PAPB2AD（AD为底边上的高）.证明：ADPF，；.BCFPA即.PEPF2AD. 把点P放在点B上.这时PE0，PF2AD（三角形中位线性质），结论与相同.还可以由PFBCtanC，把定值定为：BCtanC.即求证PEPFBCtanC.（证明略）同一道题的定值，可以有不同的表达式，只要是用题中固有的几何量表示均可.例2.已知：同心圆为O中，AB是大圆的直径，点P在小圆上求证：PA2PB2有定值.分析：用特位定值法.设大圆，小圆半径分别为R，r. 点P放在直径AB上.得PA2PB2（Rr）2（. Rr）22（R2r2）. 点P放在与直径AB垂直的另一条直径上也可得PA2PB2 R2r2R2r22（R2r2）.证明：设POA，根据余弦定理，得PA2R2r22RrCos，PB2R2r22RrCos(180).Cos(180)Cos.PA2PB22（R2r2）.本题一般知道定值是用两个圆的半径来表示的，所以可省去探求定值的步骤，直接列出PA，PB与R,r的关系式，关键是引入参数.例3.已知：ABC中，ABAC，点P在中位线MN上，BP，CP的延长线分别交AC，AB于E，F.求证：有定值，分析： 本题没有明显的特殊位置，不过定值一般是用三角形边长a,b,c来表示的, 为便于计算引入参数t, 用计算法证明.证明：设MP为t, 则NP=at.MNBC，.即；=c 是定线段，是定值.即有定值.例4.已知：在以AB为弦的弓形劣弧上取一点M(不包括A、B两点)，以M为圆心作圆M和AB相切，分别过A，B作M的切线，两条切线相交于点C.求证：ACB有定值.分析：M是ABC的内切圆，AMB是以定线段AB为弦的定弧所含的圆周角，它是个定角.(由正弦定理SinAMB=)，所求定值可用它来表示.证明：在ABC中，MAB+MBA=180AMB，M是ABC的内心，CAB+CBA=2(180AMB).ACB=180（CAB+CBA）=1802(180AMB)= 2AMB180.由正弦定理，SinAMB=.弧AB所在圆是个定圆，弦AB和半径R都有定值，AMB有定值.ACB有定值2AMB180.练习1.用固有的元素表示下列各题中所求的定值(不写探求过程和证明)：.等腰三角形底边上的任一点到两腰距离的和有定值是_.等边三角形内的任一点到三边距离的和有定值是.正n边形内的任一点到各边距离的和有定值是.延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边，相交得五个角：B1，B2，B3，B4，B5它们的度数和是_，延长凸n边形(n5)的各边相交，得n个角，它们的度数和是_.(2001年希望杯数学邀请赛初二试题)2.已知：点O是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点P在BC的延长线上，PDBA交BA延长线于D，PEAC交AC的延长线于E.求证：DOE是定角3已知：点P是线段AB外一点，PDAB于D，且PD=AB，H是PAB的垂心，C是AB的中点.求证：CH+DH是定值.4.经过XOY的平分线上的任一点A，作一直线与OX，OY分别交于P，Q则OP，OQ的倒数和是一个定值.5 ABC中，AB=AC=2，BC边有100个不同点P1，P2，P100，记mi=APi2+BpiPiC (i=1,2,3,100).则m1+m2+m100=. (1990年全国初中数学联赛题)阅读材料：动 起 来 的 数 学 问 题 让学生动起来，是我们数学新教材所要求的一个重要方面,也对我们数学教师提出了更高的要求。同时，促进学生动手、动脑，探索问题、解决问题、提高创新能力的一个重要举措，为此，平移、旋转、对称、运动、操作等等有关数学问题成为近几年中考考查的新的一大亮点，相继闪亮登场，现从中撷取几例加以分析。题1、（2005年山东省枣庄市中考题）如图1，四边形ABCD是等腰梯形，ABDC，由4个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形。（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用这们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致示意图。 分析：本题是操作中拼图类题目，不仅可以考察学生的观察能力，综合能力，还可以对非智力因素产生很好的锻炼。由图1中等腰梯形到图2中平行四边形的拼合，隐含了等腰梯形的内角之间，留给学生的思维空间很大，只要善于观察就不难看出三个上底角等于周角，或三个下底角等于同旁内角180，即可解出它的四个内角。对于边的关系：结合（1）的结论，通过梯形添辅助线常见方法，不难得出：BC=CD=AD=AB。而对于第三个问题，不仅仅是一个拼图游戏，更重要的是对以上性质的综合应用，还可以开发考生的想象力和图形设计的创造性思维，示意图如下： 题2、（2004年江西省中考题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=2，点E、F分别在AB、DC上，AE=DF=2，现有一块直径为2的量角器（圆心为O）放置在图形上，使其0线MN与EF重合；若将量角器0线上的端点N固定在点F上，再把量角器绕点F顺时针方向旋转（090），此时量角器的一半圆弧与EF相交于点P，设点P处量角器的读数为。（1）用含代数式表示的大小；（2）当等于多少时线段PC与MF平行？（3）在量角器旋转的过程中，过点M作MF，交AE于G，交AD于H，设GE=，AGH的面积为S，试求出S关于的函数式，并写出自变量范围。分析：这是一道以量角器旋转为背景，将学生熟悉的量角器道具放置于矩形的框架之中，融旋转变换思想于一体，可谓是独具匠心。本题抓住了量角器读数这一链结点，串联起第一问与第二问，探索图形在运动变化中本质的数量关系，着意对学生数学学习过程的评价，更关注学生数学综合能力考查；在量角器的旋转过程中，渗透了到定点距离等于定长的点的轨迹，嵌入圆与圆的位置关系，并把经过定点的圆弧的切线构造出直角三角形面积S与切线的函数关系。本题还考察了辅助元思想，整体思想。另外，本题图形的绘制，采用虚（静）实（动）的明暗处理，添上辅助线就构成了一幅美丽绝伦的几何旋转图案，这可谓是数学图形美的一次美好展示。简解：（1）连OP，可得=90-；（2）连MP，先证四边形MPCF是平行四边形，得PC=MF=2FC，=CPF=30，则由（1）结论得=120；（3）以点F为圆心，FE长为半径画ED，GMMF于M，GH是ED切线，同理GE，HD也都是ED的切线，则GE= GM，HM=HD。设GE=，DH=，则AG=2-，HM=，AH=2-。在RtAGH中，得，有，故S=AGAH= （02）。题3、（2005年大连市实验区中考题）如图，正方形ABCD和正方形BEFC。操作：M是线段AB上一动点，从A点至B点移动，DMMN，交对角线BF于点N。探究：线段DM和MN之间的关系，并加以证明。分析：本题是通过点的运动，使图形发生变化。如何化“动”为“静”，从相对静止的瞬间，发现和的等量关系。从而证明线段相等的方法可由不同的思维角度探索不同的思路。思路1，要证明DM=MN，可考虑DM，MN各自所在的两个三角形全等，而图中MN在钝角MBN中，DM在RtDAM中，故在DA上截得DH=BM，连HM，不难证得MBNDHM，得DM=MN。思路2，同上分析，也可构造MN所在的一个RtMNH与DM所在的RtADM全等。思路3，要证明DM=MN，还可构造一个以此为两腰的等腰三角形，则结论得证，而直接连DN，不易证明，考虑将问题转化为证明DM与MN都等于第三条线段，则作MBN关于直线AE的轴对称图形MBP，连BP，不难证得。题4（连云港市中考试题）如图，正ABC的中心O恰好是扇形ODE的圆心，且点B在扇形内，要使扇形ODE绕点O无论怎样转动，ABC与扇形重叠部分的面积总等于ABC的面积的，扇形的圆心角是多少度？说明理由。简解：先找到一种特殊情况，即重叠部分为OBC，即 BOC=FOG=120，易证BOFCOG ，故扇形的圆心角为120。评析：本题是动态几何问题，关键抓住转动中的“变”与“不变”，虽然旋转过程中重叠部分的图形不规则，而且形状不断变化，但旋转过程中重叠部分面积为定值。本题采用特殊值法，将扇形旋转到特殊的位置便于解答，达到出其不意的效果。题5、（2003年徐州中考题）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（1，0），将绕着原点按逆时针方向旋转30得到点，延长到点，使；再将点绕着原点按逆时针方向旋转30得到，延长到，使；如此继续下去。（