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第四章 刚体力学一、计算题1.如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动假设定滑轮质量为M、半径为R，其转动惯量为，滑轮轴光滑试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系 解：根据牛顿运动定律和转动定律列方程 对物体： mgT ma 2分对滑轮： TR = Jb 2分运动学关系： aRb 1分将、式联立得 amg / (mM) 1分 v00， vatmgt / (mM) 2分 2.如图所示，转轮A、B可分别独立地绕光滑的固定轴O转动，它们的质量分别为mA10 kg和mB20 kg，半径分别为rA和rB现用力fA和fB分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动为使A、B轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力fA、fB之比应为多少？(其中A、B轮绕O轴转动时的转动惯量分别为和) 解：根据转动定律 fArA = JAbA 1分其中，且 fBrB = JBbB 1分其中要使A、B轮边上的切向加速度相同，应有 a = rAbA = rBbB 1分由、式，有 由式有 bA / bB = rB / rA 将上式代入式，得 fA / fB = mA / mB = 2分3.一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图所示轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承之上当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S试求整个轮轴的转动惯量(用m、r、t和S表示) 解：设绳子对物体(或绳子对轮轴)的拉力为T，则根据牛顿运动定律和转动定律得： mgTma 2分 T rJb 2分由运动学关系有： a = rb 2分由、式解得： Jm( ga) r2 / a 又根据已知条件 v00 S， a2S / t2 2分将式代入式得：Jmr2(1) 2分 4.质量为5 kg的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端，辘轳可视为一质量为10 kg的圆柱体桶从井口由静止释放，求桶下落过程中绳中的张力辘轳绕轴转动时的转动惯量为，其中M和R分别为辘轳的质量和半径，轴上摩擦忽略不计解：对水桶和圆柱形辘轳分别用牛顿运动定律和转动定律列方程 mgT ma 1分 TRJb 1分 aRb 1分由此可得 Tm(ga)m那么 将 J =MR2代入上式，得 24.5 N 2分5.一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动抬起另一端使棒向上与水平面成60，然后无初转速地将棒释放已知棒对轴的转动惯量为，其中m和l分别为棒的质量和长度求： (1) 放手时棒的角加速度； (2) 棒转到水平位置时的角加速度 解：设棒的质量为m，当棒与水平面成60角并开始下落时，根据转动定律 M = Jb 1分其中 1分于是 1分当棒转动到水平位置时， M =mgl 1分那么 1分6.一轴承光滑的定滑轮，质量为M2.00 kg，半径为R0.100 m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m5.00 kg的物体，如图所示已知定滑轮的转动惯量为J，其初角速度 w010.0 rad/s，方向垂直纸面向里求： (1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到w0时，物体上升的高度； (3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向 解：(1) mgTma 1分 TRJb 2分 aRb 1分 b = mgR / (mR2J) 81.7 rad/s2 1分方向垂直纸面向外 1分 (2) 当w0 时， 物体上升的高度h = Rq = 6.1210-2 m 2分 (3) 10.0 rad/s 方向垂直纸面向外. 2分7.一质量为M15 kg、半径为R0.30 m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量J)现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m8.0 kg的物体不计圆柱体与轴之间的摩擦，求： (1) 物体自静止下落， 5 s内下降的距离； (2) 绳中的张力 解： J0.675 kgm2 mgTma 1分 TRJb 2分 aRb 1分 amgR2 / (mR2 + J)5.06 m / s2 1分因此(1)下落距离 h63.3 m 2分 (2) 张力 T m(ga)37.9 N 1分8.一半径为25 cm的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动圆柱体上绕上绳子圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1 m/s2的加速度运动绳与圆柱表面无相对滑动试计算在t = 5 s时 (1) 圆柱体的角加速度， (2) 圆柱体的角速度， (3) 如果圆柱体对转轴的转动惯量为2 kgm2，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉力为多少？解：(1) 圆柱体的角加速度 b ba / r4 rad / s2 2分 (2) 根据，此题中w 0 = 0 ，则有 wt = bt那么圆柱体的角速度 20 rad/s 1分 (3) 根据转动定律 fr = Jb则 f = Jb / r = 32 N 2分 9.一轴承光滑的定滑轮，质量为M2.00 kg，半径为R0.100 m，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m5.00 kg的物体，如图所示已知定滑轮的转动惯量为J，其初角速度 w010.0 rad/s，方向垂直纸面向里求： (1) 定滑轮的角加速度的大小和方向； (2) 定滑轮的角速度变化到w0时，物体上升的高度； (3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向 解：(1) mgTma 1分 TRJb 2分 aRb 1分 b = mgR / (mR2J) 81.7 rad/s2 1分方向垂直纸面向外 1分 (2) 当w0 时， 物体上升的高度h = Rq = 6.1210-2 m 2分 (3) 10.0 rad/s 方向垂直纸面向外. 2分10.一质量为M15 kg、半径为R0.30 m的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量J)现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m8.0 kg的物体不计圆柱体与轴之间的摩擦，求： (1) 物体自静止下落， 5 s内下降的距离； (2) 绳中的张力 解： J0.675 kgm2 mgTma 1分 TRJb 2分 aRb 1分 amgR2 / (mR2 + J)5.06 m / s2 1分因此(1)下落距离 h63.3 m 2分 (2) 张力 T m(ga)37.9 N 1分11.一半径为25 cm的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动圆柱体上绕上绳子圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1 m/s2的加速度运动绳与圆柱表面无相对滑动试计算在t = 5 s时 (1) 圆柱体的角加速度， (2) 圆柱体的角速度， (3) 如果圆柱体对转轴的转动惯量为2 kgm2，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉力为多少？解：(1) 圆柱体的角加速度 b ba / r4 rad / s2 2分 (2) 根据，此题中w 0 = 0 ，则有 wt = bt那么圆柱体的角速度 20 rad/s 1分 (3) 根据转动定律 fr = Jb则 f = Jb / r = 32 N 2分12.长为L的梯子斜靠在光滑的墙上高为h的地方，梯子和地面间的静摩擦系数为m，若梯子的重量忽略，试问人爬到离地面多高的地方，梯子就会滑倒下来？ 解：当人爬到离地面x高度处梯子刚要滑下，此时梯子与地面间为最大静摩擦，仍处于平衡状态 (不稳定的) 1分 N1f 0， N2P 0 1分 N1hPxctgq 0 1分 fmN2 1分解得 1分13.一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为w0设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即Mkw (k为正的常数)，求圆盘的角速度从w0变为时所需的时间 解：根据转动定律： Jdw / dt = -kw 2分两边积分： 得 ln2 = kt / J t(J ln2) / k 3分14.一圆柱体截面半径为r，重为P，放置如图所示它与墙面和地面之间的静摩擦系数均为若对圆柱体施以向下的力F2P可使它刚好要反时针转动，求 (1) 作用于A点的正压力和摩擦力，(2) 力与之间的垂直距离d解：设正压力NA、NB，摩擦力fA，fB 如图根据力的平衡，有fANB = F+P = 3P 1分NA =fB1分根据力矩平衡，有 Fd = ( fA+ fB ) r 2分刚要转动有 1分(1) 把及、代入可求得 NA =0.9P ， fA =0.3P 2分(2) 由可求得 d = 0.6 r 1分 15.一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m和2m的重物，如图所示绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑两个定滑轮的转动惯量均为将由两个定滑轮以及质量为m和2m的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力 解：受力分析如图所示 2分 2mgT12ma 1分T2mgma 1分 T1 rT r 1分 T rT2 r 1分 arb 2分解上述5个联立方程得： T11mg / 8 2分 16.质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所示求盘的角加速度的大小 解：受力分析如图 2分 mgT2 = ma2 1分 T1mg = ma1 1分 T2 (2r)T1r = 9mr2b / 2 2分 2rb = a2 1分 rb = a1 1分解上述5个联立方程，得： 2分 17.质量m1.1 kg的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量J(r为盘的半径)圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m11.0 kg的物体，如图所示起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v00.6 m/s匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动 解：撤去外加力矩后受力分析如图所示 2分 m1gT = m1a 1分 TrJb 1分 arb 1分 a = m1gr / ( m1r + J / r) 代入J , a = 6.32 ms-2 2分 v 0at0 2分 tv 0 / a0.095 s 1分18.一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R,质量为M / 4，均匀分布在其边缘上绳子的A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M的重物，如图设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量JMR2 / 4 ) 解：受力分析如图所示 设重物的对地加速度为a，向上.则绳的A端对地有加速度a向下，人相对于绳虽为匀速向上，但相对于地其加速度仍为a向下. 2分 根据牛顿第二定律可得： 对人： MgT2Ma 2分对重物： T1MgMa 2分 根据转动定律，对滑轮有 (T2T1)RJbMR2b / 4 2分因绳与滑轮无相对滑动， abR 1分、四式联立解得 a2g / 7 1分 19.如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1m2，定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计设开始时系统静止，试求t时刻滑轮的角速度 解：作示力图两重物加速度大小a相同，方向如图. 示力图 2分 m1gT1m1a 1分 T2m2gm2a 1分设滑轮的角加速度为b，则 (T1T2)rJb 2分且有 arb 1分由以上四式消去T1，T2得： 2分开始时系统静止，故t时刻滑轮的角速度 分20.质量为M124 kg的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一端通过质量为M25 kg的圆盘形定滑轮悬有m10 kg的物体求当重物由静止开始下降了h0.5 m时，(1) 物体的速度； (2) 绳中张力 (设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过轮心且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为，) 解：各物体的受力情况如图所示 图2分由转动定律、牛顿第二定律及运动学方程，可列出以下联立方程： T1RJ1b1 方程各1分共5分 T2rT1rJ2b2 mgT2ma , aRb1rb2 , v 22ah求解联立方程，得 m/s2 =2 m/s 1分 T2m(ga)58 N 1分 T148 N 1分21.两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径2r，质量 2m组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O转动，对O轴的转动惯量J9mr2 / 2两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，如图所示这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变已知r = 10 cm求： (1) 组合轮的角加速度b； (2) 当物体A上升h40 cm时，组合轮的角速度w 解：(1) 各物体受力情况如图 图2分 Tmgma 1分 mgm 1分 (2r)Tr9mr2b / 2 1分 arb 1分 (2r)b 1分由上述方程组解得： b2g / (19r)10.3 rads-2 1分 (2) 设q为组合轮转过的角度，则 qh / r w22bq所以， w = (2bh / r)1/29.08 rads-1 2分 22.物体A和B叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示今用大小为F的水平力拉A设A、B和滑轮的质量都为m，滑轮的半径为R，对轴的转动惯量JAB之间、A与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长已知F10 N，m8.0 kg，R0.050 m求： (1) 滑轮的角加速度； (2) 物体A与滑轮之间的绳中的张力； (3) 物体B与滑轮之间的绳中的张力 解：各物体受力情况如图 图2分 FTma 1分 ma 1分 ()R 1分 aRb 1分由上述方程组解得： b 2F / (5mR)10 rads-2 2分 T3F / 56.0 N 1分 2F / 54.0 N 1分23.两个大小不同、具有水平光滑轴的定滑轮，顶点在同一水平线上小滑轮的质量为m，半径为r，对轴的转动惯量J大滑轮的质量m2m，半径r2r，对轴的转动惯量一根不可伸长的轻质细绳跨过这两个定滑轮，绳的两端分别挂着物体A和BA的质量为m，B的质量 2m这一系统由静止开始转动已知m6.0 kg，r5.0 cm求两滑轮的角加速度和它们之间绳中的张力 解：各物体受力情况如图 2分 TAmgma 1分 (2m)gTA(2m)a 1分 (TTA)r 1分 (TBT)(2r)(2m)(2r)2 1分 arb(2r) 1分由上述方程组解得： b2g / (9r)43.6 rads-2 1分 21.8 rads-2 1分 T(4/3)mg78.4 N 1分24.一质量m = 6.00 kg、长l = 1.00 m的匀质棒，放在水平桌面上，可绕通过其中心的竖直固定轴转动，对轴的转动惯量J = ml 2 / 12t = 0时棒的角速度w0 = 10.0 rads-1由于受到恒定的阻力矩的作用，t = 20 s时，棒停止运动求： (1) 棒的角加速度的大小； (2) 棒所受阻力矩的大小； (3) 从t = 0到t = 10 s时间内棒转过的角度 解：(1) 0w 0b t bw 0 / t0.50 rads-2 2分 (2) Mr ml 2b / 120.25 Nm 2分 (3) q10w 0tb t275 rad 1分25.如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没有滑动且绳子不可以伸长，轴与轮间有阻力矩，求滑轮两边绳子中的张力已知m120 kg，m210 kg滑轮质量为m35 kg滑轮半径为r0.2 m滑轮可视为均匀圆盘，阻力矩Mf6.6 Nm，已知圆盘对过其中心且与盘面垂直的轴的转动惯量为 解：对两物体分别应用牛顿第二定律(见图)，则有 m1gT1 = m1a T2 m2g = m2a 2分对滑轮应用转动定律，则有 2分对轮缘上任一点，有 a = b r 1分 又： = T1， = T2 则联立上面五个式子可以解出 2 m/s2 2分 T1m1gm1a156 N T2m2gm2 a118N 3分 26.如图所示，一半径为R的匀质小木球固结在一长度为l的匀质细棒的下端，且可绕水平光滑固定轴O转动今有一质量为m，速度为的子弹，沿着与水平面成a角的方向射向球心，且嵌于球心已知小木球、细棒对通过O的水平轴的转动惯量的总和为J求子弹嵌入球心后系统的共同角速度 解：选子弹、细棒、小木球为系统子弹射入时，系统所受合外力矩为零，系统对转轴的角动量守恒 2分 mv 0 (R + l)cosa = J + m (R + l)2 w 2分 1分27.如图所示，一半径为R，质量为m的水平圆台，正以角速度w0绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量J台上原站有2人，质量各等于转台质量的一半，一人站于台边A处，另一人站于距台中心的B处今A处的人相对于圆台以速率v顺着圆台转向沿圆周走动，同时B处的人相对于圆台以速率2v逆圆台转向沿圆周走动求圆台这时的角速度w 解：以转台和二人为研究对象，所受外力只