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文档简介

1 学习重点 理解函数项级数的一般概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 函数展开成幂级数 2 定义 3 1 收敛域与和函数 一 幂级数的收敛性 4 函数项级数的部分和 余项 x在收敛域上 注意 函数项级数在某点x的收敛问题 实质上是数项级数的收敛问题 定义域是 5 收敛性 6 2 幂级数的收敛半径 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 7 推论 8 定义 正数R称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径 9 10 例1求下列幂级数的收敛区间 解 该级数收敛 该级数发散 11 12 解 缺少偶次幂的项 级数收敛 13 级数发散 级数发散 级数发散 原级数的收敛区间为 14 3 幂级数的运算及性质 1 幂级数的运算 1 加减法 其中 15 2 乘法 其中 柯西乘积 16 3 除法 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多 2 幂级数的和函数的性质 17 收敛半径不变 18 收敛半径不变 19 注 下列常用公式 20 以上这些公式均为最基本的泰勒公式 麦克劳林 公式 请务必牢记 21 解 收敛区间 1 1 22 常用已知和函数的幂级数 23 四 函数展开成幂级数 问题 1 如果能展开 是什么 2 展开式是否唯一 3 在什么条件下才能展开成幂级数 1 泰勒级数 24 25 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f x 不一定 26 可见 在x 0点任意可导 27 28 2 函数展开成幂级数 1 直接法 泰勒级数法 步骤 29 例1 解 由于M的任意性 即得 则有幂级数 30 例2 解 31 2 间接法 根据唯一性 利用常见展开式 通过变量代换 四则运算 恒等变形 逐项求导 逐项积分等方法 求展开式 例如 32 33 例3 解 34 四 小结 2 幂级数的收敛性 收敛半径R 3 幂级数的运算 分析运算性质 1 函数项级数的概念 35 4 如何求函数的泰勒级数 5 泰勒级数收敛于函数的条件 6 函数展开成泰勒级数的方法 36 幂级数逐项求导后 收敛半径不变 那么它的收敛
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