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事件的相互独立性 1 1 条件概率的概念 2 条件概率计算公式 复习回顾 设事件A和事件B 且P A 0 在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率 叫做条件概率 记作P B A 2 思考与探究 思考1 在大小均匀的5个皮蛋中有3个红皮蛋 2个白皮蛋 每次取一个 不放回的取两次 求在已知第一次取到红皮蛋的条件下 第二次取到红皮蛋的概率 思考2 在大小均匀的5个皮蛋中有3个红皮蛋 2个白皮蛋 每次取一个 有放回的取两次 求在已知第一次取到红皮蛋的条件下 第二次取到红皮蛋的概率 3 相互独立的概念 1 定义法 P BlA P B 2 经验判断 A发生与否不影响B发生的概率B发生与否不影响A发生的概率 判断两个事件相互独立的方法 相互独立事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响 即P BlA P B 这时 我们称两个事件A B相互独立 并把这两个事件叫做相互独立事件 4 练习1 判断下列事件是否为相互独立事件 篮球比赛的 罚球两次 中 事件A 第一次罚球 球进了 事件B 第二次罚球 球进了 袋中有三个红球 两个白球 采取不放回的取球 事件A 第一次从中任取一个球是白球 事件B 第二次从中任取一个球是白球 袋中有三个红球 两个白球 采取有放回的取球 事件A 第一次从中任取一个球是白球 事件B 第二次从中任取一个球是白球 5 推广 如果事件A1 A2 An相互独立 那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积 即 P A1 A2 An P A1 P A2 P An 6 注 独立与互斥的关系 两事件相互独立 两事件互斥 例如 由此可见两事件相互独立但两事件不互斥 两事件相互独立 两事件互斥 7 性质1 1 必然事件 及不可能事件 与任何事件A相互独立 证 A A P 1 P A P A 1 P A P P A 即 与A独立 A P 0 P A P 0 P P A 即 与A独立 8 2 若事件A与B相互独立 则以下三对事件也相互独立 9 又 A与B相互独立 10 11 例题举例 例1 甲乙两名篮球运动员分别进行一次投篮 如果两人投中的概率都是0 6 计算 1 两人都投中的概率 2 其中恰有一人投中的概率 3 至少有一人投中的概率 12 练一练 已知A B C相互独立 试用数学符号语言表示下列关系 A B C同时发生概率 A B C都不发生的概率 A B C中恰有一个发生的概率 A B C中恰有两个发生的概率 A B C中至少有一个发生的概率 13 例2 甲 乙两人同时向敌人炮击 已知甲击中敌机的概率为0 6 乙击中敌机的概率为0 5 求敌机被击中的概率 解 设A 甲击中敌机 B 乙击中敌机 C 敌机被击中 依题设 由于甲 乙同时射击 甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性 所以A与B独立 进而 0 8 14 1 三事件两两相互独立的概念 多个事件的独立性 定义 15 2 三事件相互独立的概念 定义 16 独立事件不一定互斥 互斥事件一定不独立 17 例1 判断下列各题中给出的事件是否是相互独立事件 1 甲盒中有6个白球 4个黑球 乙盒中有3个白球 5个黑球 从甲盒中摸出一个球称为甲试验 从乙盒中摸出一个球称为乙试验 事件A1表示 从甲盒中取出的是白球 事件B1表示 从乙盒中取出的是白球 2 盒中有4个白球 3个黑球 从盒中陆续取出两个球 用A2表示事件 第一次取出的是白球 把取出的球放回盒中 事件B2表示事件 第二次取出的是白球 3 盒中有4个白球 3个黑球 从盒中陆续取出两个球 用A3表示 第一次取出的是白球 取出的球不放回 用B3表示 第二次取出的是白球 18 1 一个家庭中有若干个小孩 假定生男孩和生女孩是等可能的 令A 一个家庭中既有男孩又有女孩 B 一个家庭中最多有一个女孩 对下述两种情形 讨论A与B的独立性 1 家庭中有两个小孩 2 家庭中有三个小孩 19 20 21 22 23 答案 D 24 25 26 27 2 一个袋子中有3个白球 2个红球 每次从中任取2个球 取出后再放回 求 1 第1次取出的2个球都是白球 第2次取出的2个球都是红球的概率 2 第1次取出的2个球1个是白球 1个是红球 第2次取出的2个球都是白球的概率 28 解析 记 第1次取出的2个球都是白球 的事件为A 第2次取出的2个球都是红球 的事件为B 第1次取出的2个球1个是白球 1个是红球 的事件为C 很明显 由于每次取出后再放回 A B C都是相互独立事件 29 30 例3 如图 用K A1 A2三类不同的元件连接成一个系统 当K正常工作且A1 A2至少有一个正常工作时 系统正常工作 已知K A1 A2正常工作的概率依次为0 9 0 8 0 8 则系统正常工作的概率为 A 0 960B 0 864C 0 720D 0 576 31 32 答案 B 33 例4 某学生语 数 英三科考试成绩 在一次考试中排名全班第一的概率 语文为0 9 数学为0 8 英语为0 85 问一次考试中 1 三科成绩均未获得第一名的概率是多少 2 恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 34 35 36 37 38 3 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0 5 购买乙种商品的概率为0 6 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立 各顾客之间购买商品也是相互独立的 求 1 进入商场的1位顾客 甲 乙两种商品都购买的概率 2 进入商场的1位顾客购买甲 乙两种商品中的一种的概率 3 进入商场的1位顾客至少购买甲 乙两种商品中的一种的概率 39 解析 记A表示事件 进入商场的1位顾客购买甲种商品 则P A 0 5 记B表示事件 进入商场的1位顾客购买乙种商品 则P B 0 6 记C表示事件 进入商场的1位顾客 甲 乙两种商品都购买 记D表示事件 进入商场的1位顾客购买甲 乙两种商品中的一种 40 41 42 43 44 1 甲袋中有5球 3红 2白 乙袋中有3球 2红 1白 从每袋中任取1球 则至少取到1个白球的概率是 3 甲 乙二人单独解一道题 若甲 乙能解对该题的概率分别是m n 则此题被解对的概率是 m n mn 2 有一谜语 甲 乙 丙猜对的概率分别是1 5 1 3 1 4 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是 4 加工某产品须经两道工序 这两道工序的次品率分别为a b 且这两道工序互相独立 产品的合格的概率是 1 a 1 b 练习 45 D 46 B 47 答案 B 48 49 50 51 4 甲 乙2人各进行1次射击 如果2人击中目标的概率都是0 6 计算 1 2人都击中目标的概率 2 其中恰有1人击中目标的概率 3 至少有1人击中目标的概率 解析 1 记