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三角函数(下)【例题解析】例1 完成下列选择题（1）已知sinsin，那么下列命题成立的是（ ）A.若、是第一象限角，则coscosB.若、是第二象限，则tantanC.若、是第三象限角，则coscosD.若、是第四象限角，则tantan（2）下列命题中正确的是（ ）A.y=tanx是增函数B.y=sinx在第一象限是增函数C.y=arccosx是奇函数D.y=sinx的反函数是y=arcsinx（3）函数y=sin(2x+)的图象是由函数y=sin2x的图像（ ）A.向左平移单位B.向右平移单位C.向左平移单位D.向右平移单位解析 （1）当，（0，）时，由sinsin得，此时cossin得,，此时tansin得，此时cossinsin2sin21cos2cos2tan2tan2 tan0,tantan。故答案选D。（2）y=tanx在每一个定义区间上都是增函数，但在其定义域内并不是增函数；y=sinx在第一象限的每个区间上都是增函数，但在第一象限上并不是增函数；y=arcsinx只是y=sinx，x,的反函数；令f(x)= arccosx,则f(x)= arccos(x)=arccosx= f(x)所以y=arccosx是奇函数。故答案选C。（3）y=sin2x图像向左平移单位后得:y=sin2(x+)=sin(2x+);y=sin2x图像，向右平移单位后得y=sin2(x)=sin(2x);y=sin2x图象向左平移单位后得：y=sin2(x+)=sin(2x+)=sin(2x);y=sin2x图像向右平移单位后得：y=sin2(x)=sin(2x)=sin(2x+)，故答案选D。例2 已知函数f(x)=tan(sinx)（1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（，）中，求f(x)的单调区间；（3）判定方程f(x)=tan在区间（，）上解的个数。解 （1）1sinx1 sinx。又函数y=tanx在x=k+(kZ)处无定义，且 （，）,（, ），令sinx=，则sinx=解之得：x=k (kZ)f(x)的定义域是A=x|xR，且xk，kZtanx在（，）内的值域为（，+），而当xA时，函数y=sinx的值域B满足（，）Bf(x)的值域是（，+）。（2）由f(x)的定义域知，f(x)在0，中的x=和x=处无定义。设t=sinx，则当x0, )（，）（，）时，t0, (,，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，上分别单调递增。又当x0，时，函数t=sinx单调递增，且t0, 当x（，时，函数t=sinx单调递增，且t（, 当x，时，函数t=sinx单调递减，且t（, 当x（，）时，函数t=sinx单调递减，且t（0，）f(x)=tan(sinx)在区间0，,（,上分别是单调递增函数；在上是单调递减函数。又f(x)是奇函数，所以区间（，0，也是f(x)的单调递增区间是f(x)的递减区间。故在区间（，）中,f(x)的单调递增区间为：，（，），（，单调递减区间为。（3）由f(x)=tan得：tan(sinx)=tan()sinx=k+ （kZ）sinx=k+(kZ)又1sinx1，k=0或k= 1当k=0时，从得方程sinx=当k=1时，从得方程sinx= +显然方程sinx=,sinx= +，在（, ）上各有2个解，故f(x)=tan在区间（，）上共有4个解。注 本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。例3 化简下列各式(1)cos3A+cos3(+A)+cos3(A);(2) +。 解 （1）由三倍角公式cos3=4cos33cos得：原式=cos3A+cosA+cos3（+A）+cos（+A）+cos3（A）+cos（A）=cos3A+cos3A+cos3A+ cosA+cos(+A)+cos(A)cosA+cos(+A)+cos(A)=cosA+2coscosA=0原式=cos3A(2) = = =cotcot2+=cotcot2+cot2cot4+cot4cot8+cot32cot64=cotcot64=注 本题（1）主要是降幂，通过降幂达到化简的目的。（2）利用裂项法求和。三角函数中最好记住一些简单的常用结论。如：=cotcot2,cosA+cos（+A）+cos（A）=0,cos2A+cos2(+A)+cos2(A)=等。这样既可提高运算速度又可产生联想的火花。例4 已知:sin3+cos3=1，求sin+cos; sin4+cos4;sin6+cos6的值。解法一 令sin+cos=t，则sincos=sin3+cos3=(sin+cos)(sin2sincos+cos2)=t(1)=1，得：t33t+2=0(t1)2(t+2)=0t2 t=sin+cos=1，且sincos=0。sin4+cos4=(sin2+cos2)2 2sin2cos2=120=1sin6+cos6=(sin2+cos2)(sin4sin2cos2+cos4)=1解法二 sin3sin2,cos3cos2sin3+cos3sin2+cos2=1等号当且仅当时成立，或sin+cos=sin4+cos4=sin6+cos6=1注 （1）凡是遇到sinx+cosx与sinxcosx类的问题，均应采用换元法，令sinx+cosx=t，得sinxcosx=。（2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。（3）本题还可推广到一般情形：若k2且sin2k1+cos2k1=1，则sin=1，cos=0或sin=0,cos=1，若sin2k+cos2k=1，则sin=1，cos=0或sin=0,cos=1。例5 （1）已知sin(+)sin()=, (,)，求sin4；（2）已知cos(x+)=,x，求的值。解 （1）+=sin()=cos(+)sin(+)sin()=sin(+)cos(+)=sin(+2)= cos2= 又22,cos2=,sin2= sin4=2sin2cos2= 本题也可以这样解：sin(+)sin()=（sin+cos）(cossin)= cos2sin2=cos2=也可以用积化和差公式：sin(+)sin()= (cos2cos)= cos2=（2）法一:由x+(,2)知sin(x+)= cosx=cos(x+)=cos(x+)cos+sin(x+)sin= 由cosx0可知，xf()证明 tanx1+ tanx2=+=x1,x2（0，），且x1x22sin(x1+x2)0,cosx1cosx20,0cos(x1x2)1从而有0cos(x1+x2)+cos(x1x2)=2tan另证：以上是采用化弦，放缩后利用公式tan=加以证明的，也可以利用正切的和差角公式加以证明。左边右边=tanx1+tanx2tan= tanx1tan+tanx2tan=tan(x1)(1+tanx1tan)+tan(x2)(1+tanx2tan)=tan(1+tanx1tan1tanx2tan)=tantan(tanx1tanx2)(0, ) tan0又tan和tanx1tanx2在x1x2时，同为正，在x10。综上tantan(tanx1tanx2)0，即f(x1)+f(x2)f()注 在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法。本题解法一是化弦，了解决把两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小。例7 已知三角形ABC的三边a、b、c和对应的三内角A、B、C满足条件：atanA+btanB=(a+b)tan求证：ABC是等腰三角形。证明 由atanA+btanB=(a+b)tan得：a(tanAtan)=b（tantanB）化弦得：a=b两边约去cos，及正弦定理把a,b换成sinA,sinB，则上式变为sin=sinsin(tanAtanB)=0所以,tanA=tanB或者sin=0由这两个式子都可以得到A=B，因此ABC为等腰三角形。注 （1）三角形中的计算和证明是三角函数的一个重要课题，这里除了应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，三个内角的互补关系和它们半角之间的互余关系之外，还有一些独特的解题思路和方法，其中把角的函数化成边或把边化成角的函数是最基本也最常用的方法。（2）在三角形中有不少有趣的关系式，如:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot+cot+cot=cotcotcottantan+tantan+tantan=1sinA+ sinB+ sinC=4coscoscoscosA+ cosB+ cosC=1+4sinsinsinsinA+sinB+sinCsinAsinBsinCcosA+cosB+cosCcosAcosBcosCsin+sin+sinsinsinsin熟悉这些关系式常常会给解某些与三角形有关的题目带来一些方便。例8 如图，A、B是一矩 OEFG边界上不同的两点，且AOB=45,OE=1,EF=，设AOE=.（1）写出AOB的面积关于的函数关系式f();（2）写出函数f(x)的取值范围。解 （1）OE=1，EF=EOF=60当0，15时，AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tan,BE=tan(45+)f()=SAOB=tan(45+)tan=当a（15,45时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=，OB=SAOB=OAOBsin45=sin45=综上得：f()= （2）由（1）得：当0，时f()= ,1且当=0时，f()min= =时，f()max=1当时,2f（）=,且当=时，f() min=当=时，f() max=所以f(x) ,。注 三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。练习时注意三角函数的综合应用。例9 已知函数y=cos2x+sinxcosx+1 （xR）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解 （1）y=cos2x+sinxcosx+1= (2cos2x1)+ +（2sinxcosx）+1=cos2x+sin2x+=(cos2xsin+sin2xcos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2k,（kZ），即 x=+k,（kZ）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为x|x=+k,kZ（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； （iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。注 本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y=sin (x+)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx0时，y=+1=+1化简得：2(y1)tan2xtanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2y3) 0解之得