第七章习题与解答.doc

第七章 非线性控制系统分析7-1 设一阶非线性系统的微分方程为试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。解：令 得 图解7-1 系统相轨迹系统平衡状态 其中： ： 稳定的平衡状态； ： 不稳定平衡状态。计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。 -2 -1 0 1 2 -6 0 0.385 0 -0.385 0 6 11 2 0 1 0 2 11 可见：当时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当时，系统发散；时，; 时，。注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个平面上任意分布。7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。 (1) (2) 解：（1）系统方程为 令，得平衡点：。系统特征方程及特征根： 计算列表 - -3 -1 -1/3 0 1/3 1 3 -1 -2/3 0 2 - -4 -2 -4/3 -1 -1 -4/3 -2 -4 2 0 -2/3 -1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a）所示。图解7-2（a）系统相平面图（2） 由式： 式代入： 即 图解7-2（b）系统相平面图令 得平衡点： 由式得特征方程及特征根为 （鞍点）画相轨迹，由式 计算列表 22.5311.52 =1/(-2)210-1-2用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（）所示。7-3 已知系统运动方程为 ，试确定奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。解：求平衡点，令 得 平衡点 )。将原方程在平衡点附近展开为台劳级数，取线性项。设 特征方程及特征根：k为偶数时 （中心点）k为奇数时 （鞍点）用等倾斜线法作相平面 -2 -1 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 1 2 -1/ 1/2 1 2 4 -4 -2 -1 -1/2作出系统相平面图如图解7-3所示。图解7-37-4 若非线性系统的微分方程为 (1) (2) 试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。解：（1） 由原方程得 令 得 解出奇点 在奇点处线性化处理。在处： 即 特征方程及特征根 （不稳定的焦点）在处： 即 特征根 （鞍点）概略画出奇点附近的相轨迹如图解7-4（1）所示：图解7-4（2）图解7-4（1）（2）由原方程 令 得奇点 ,在奇点处线性化 得 即 特征根 。奇点（中心点）处的相轨迹如图解7-4(2)所示。图7-57-5 非线性系统的结构图如图7-5所示。系统开始是静止的，输入信号，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。解：由结构图，线性部分传递函数为得 由非线性环节有 由综合点得 将、代入得开关线方程为 令 得奇点 特征方程及特征根 （中心点）III：令 得奇点 图解7-5特征方程及特征根 （中心点）绘出系统相轨迹如图解7-5所示，可看出系统运动呈现周期振荡状态。7-6 已知具有理想继电器的非线性系统如图7-6所示。试用相平面法分析： （1）时系统的运动；（2）时系统的运动，并说明比例微分控制对改善系统性能的作用； （3）时系统的运动特点。图7-6 具有理想继电器的非线性系统 解：依结构图，线性部分微分方程为 非线性部分方程为 开关线方程： 由综合口： 、代入并整理得在 I 区： 解出： （抛物线）同理在 II 区可得： （抛物线）开关线方程分别为 时， ; 时，; 时，.概略作出相平面图如图解7-6所示。由相平面图可见：加入比例微分控制可以改善系统的稳定性；当微分作用增强时，系统振荡性减小，响应加快。图解7-67-7 试推导非线性特性 的描述函数。解： 7-8 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为 (1) (2) (3) 试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高？解：线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特性曲线如图解7-8所示。图解7-8由对数幅频特性曲线可见，L2的高频段衰减较快，低通滤波特性较好，所以系统（2）的描述函数法分析结果的准确程度较高。7-9 将图7-9所示非线性系统简化成环节串联的典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。 图7-9 非线性系统结构图解： (a) 将系统结构图等效变换为图解7-9（a）的形式。 图解7-11（a） 图解7-11（b） (b) 将系统结构图等效变换为图解7-9(b)的形式。 7-10判断题7-10图中各系统是否稳定；与两曲线交点是否为自振点。题图7-10 自振分析解： （a） 不是（b） 是（c） 是（d） 点是，点不是（e） 是（f） 点不是，点是（g） 点不是，点是（h） 系统不稳定（i） 系统不稳定（j） 系统稳定7-11 已知非线性系统的结构图如图7-11所示图7-11 图中非线性环节的描述函数为试用描述函数法确定： （1）使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的值范围； （2）判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅和频率。解：（1）N(A)单调降，也为单调降函数。画出负倒描述函数曲线和曲线如图解7-11所示，可看出，当K从小到大变化时，系统会由稳定变为自振，最终不稳定。求使 的值：令得令图解7-11（2）由图解7-11可见，当和相交时，系统一定会自振。由自振条件 解出 7-12 非线性系统如图7-12所示，试用描述函数法分析周期运动的稳定性，并确定系统输出信号振荡的振幅和频率。 图 7-12解：将系统结构图等效变换为图解7-12。 令与的实部、虚部分别相等得 图解7-12 两式联立求解得 。由图7-12，时，有，所以的振幅为。7-13 用描述函数法分析图7-13所示系统的稳定性，并判断系统是否存在自振。若存在自振，求出自振振幅和自振频率（）。图7-13 非线性系统结构图解：因为，所以当时环节输出为，环节输出也为。同样输出也是；当时情况类似。所以实际上和不起作用，系统可等效为如图解7-13（）的形式。画出和曲线如图解7-16（）所示。可见系统一定自振。由自振条件 即 比较实部、虚部有 图解7-13解出 7-14 试用描述函数法说明图7-14所示系统必然存在自振，并确定输出信号的自振振幅和频率，分别画出信号的稳态波形。图7