中学数学课堂教学艺术随想.pdf

l 8 中学数 学教 与学 2 0 0 3 2 教 改探 索 中学 数 学课堂教 学艺术 随想 华 中师 大二 附 中 朱 运 才 在 当代社 会 数 学 已 成 为现 代 文 化 的 重要 组 成 部分 通 过学 习数 学 可 体会 数学 的科学 意 义和 文化 内涵 理 解 欣 赏 数 学 的 美 学 价 值 陶 冶学生的情操 因而数学本身就是一门艺术 数 学是 一种 双边 活 动 要 充 分 发 挥 教 师 的 主 导作 用 尊重学 生 的主体 地位 调 动 学生 学 习 的主 动 性和 积 极性 教 学 的艺 术 就 是教 师在 教 学 活 动 中精 心设 计 组 织 与实施 促 进 学 生积 极参 与教 学 活动的 艺术 教学 的 艺术 就 是启 发式 的艺 术 就是 师 生 双方 密切 合作 师生 之间 学 生之 间 交 流 互动 的 艺术 教 学 有 法 教 学 要 符 合 认 可 规律 遵 循 教学 原则 教 无 定 法 每 一种 教 学 方 法都 有 它 的特 点 和 适 用 范 围 教 学 的 艺 术 就 是教 师 在教 学 活 动 中根 据 具 体 情 况 合 理 并创 造性 地 运用 教学 方 法 的艺术 1 分析 处 理教材的艺术 明确 这节课干些什么 理清教材 的基本脉络 并能 动地加 以处理 这 是教师驾驭教 材的艺术 否 则 连教材都 没有吃透 便 毫无教学艺术可 言 案 例 l形如 a s i n a b c o s a的三角 函数 的 化 简 问题 俗 称辅 助 角公 式 原 教 材 包括 实验 本 把 它放 在三 角函 数 和 差 化积 之 后 对 于这一 教 学 内容 执教 者处 理 起 来 十分 灵 活 有 的把 它 提 前 到 两 角和 差 的 正 余 弦 公 式 之 后 有 的 照教 材 处 理 前 者 的 想 法 是 辅助 角 公 式其 实 就是 和 角公 式 的逆用 放 在 和角公 式 之后 可使辅 助 角公 式 与之 浑然 一 体 衔 接 自然 后 者 的想 法是 辅 助 角公式 其 实是 三 角函数 式 的化 简 同 时 也 可 认 为是 一 种 和 差 化 积 照教 材 处 理理 由也 很 充分 不 论 哪一 种处 理 方 法 这 一 课 题 的展 开大 体 是 1 从 逆 用 和 角 公 式 切 入 从 特 殊 教 学 到 一 般教学 从数学到字母层层递进 2 公式导出后 应引导学生认识公 式 的结 构 左边 是 同角 正余 弦 的代 数和 右边 是 一 个 角 的一 个 三 角 函数 的 形式 含 系数 的规 律 和 辅 助 角 的确 定 3 关 键 是辅 助 角 的确 定 方 法 或 由 的 两个 三 角 函数值 或 由 p 的一 个 三 角 函数 值 和 p 所 在 的象 限确 定 4 提 出 问 题 为 什 么 要 把 形 如a s i n a b c o s a的三 角 函数 化 为一 个 角 的一 个 三 角 函数 的形式 这 是 为 了进一 步解 决 三 角 函数 的图 象 和性质 方 面 的问题 如 求周 期 最 值 单 调 区 间 化 简 三角 函数 式 以及 图 象 的平 移和 对称 问题 5 在较 复杂 的情 景下 运 用 辅助 角公 式 解 决 有关 问题 时 要着 力解 决 化 同角 化弦 的 问题 案 例 2 棱 锥 圆锥 的体 积 锥体 的 休 积 这 一 节 课 主 要 应 解 决 两 大 问 题 弄 清三 个 定 理 的有 机 联 系 和 揭示 隐含 在 教 材 中的数 学 基本方 法 我 们 不妨 把 教材 中三 个定 理 按顺 序分 别 称 为定理 l 定 理 2 定理 3 为 了解 决 底 面 积 为 S 高为 h的 锥 体体 积 问题 即 定 理 3 首 先 要 创 设转化 的前提 等 底 面 积 等 高 的 两个 锥 体 的体 积相 等 即定 理 l 这 是一 个 十分 重 要 的 等 积 变 形 也 是 证 明 定 理 2的 基 础 可用 祖 咂原 理 证 明 于是 锥体 的体 积 可转 化 为等 底面 积等 高 的 三棱锥 来 求 最 简 单 的棱 锥 为 了求 三 棱 锥 的 体积 由于与 它 等 底 面 积 等 高 的 三棱 柱 的体 积 问题 已经 解 决 因 而 只需 探 讨 这 样 的 三棱 锥 与 三棱 柱 的体 积之 间 的关 系 这 是一 个难 点 需 要 突破 可 先通 过 实 验 形 成 感 性 认 识 再通 过 多 媒体辅 助 把 三棱 锥补 成 三棱 柱 然后 把补 上 去 的部分 分 割 为 两 个 三 棱 锥 运 用 定 理 l证 这 三 1 个三棱锥的体积相等 从而得到 棱 锥 s Il J 1 即 定理2 最后利用定理一 得 体 s Il 定理 3 通过 分析 使 学 生 明确 为什 么 要 在讲 维普资讯 教 改探 中学文 学囊 与学 2 0 0 3 2 l 9 锥 体 体 积公式 定 理 3 之 前 要依 次 先 讲 定理 l 和定 理 2 结 合教 学 内容 揭 示 数 学思 想 方 法 是 本 节 课 的 另 一重要 任 务 即 抓 住 契 机 介 绍 数 学 基 本 方 法 割 补法 定 理 2就 是这 方 面一 个 十分 典 型 的例 题 灵活 选取 三棱 锥 的底 面 也就 是 图形 变 式 基 本 的体 积变 换 初 步掌 握体 积 的 比与有 关 的长 度 比 面积 比的 关 系 2课题 引入 的 艺 术 引入 应 力求 先声 夺人 抓 住 听众 一个 好 的 开头 可 为整 节课 的教 学 营造 一个 良好 的氛 围 2 1 创 设 问题情 景 激 发学 习兴 趣 案例 3函数 概 念 从 一个有 趣 的 绕 圈 子 问 题谈 起 投 影 显 示 在世 界著 名 水都 威 尼斯 有个 马 尔克 广 场 广 场 的一 端有 一 座宽 8 2米 的雄 伟教 堂 教 堂 的 前 面 是一 方开 阔地 这 片 开 阔地 经 常 吸 引着 四 方 游人 到这里 做 一 种 奇 特 的游 戏 先 把跟 睛 蒙 上 然 后从 广 场的 一端 向另 一端 教 堂走 去 看谁 能 到达 教 堂 的 正 前 面 你 猜 怎 么着 尽管 这 段 距 离 只 1 7 5米 竟 没 有 一 名 游 客 能 幸 运 地 做 到 这 一点 他 们 全都 走成 了弧线 或 左或 右 偏 斜 到 了另一 边 1 8 9 6 年 挪 威 生 理 学 家 解 开 了 这 个 谜 团 他 搜 集 了大量 事 例 后 分 析 说 这 一切 都 是 由 于 人 自身 的 两 条 腿 在 作怪 长 年 累 月 的 习 惯 使 每 个人 一 只脚 伸 出 的步 子 要 比另 一 只脚 伸 出 的步 子长 一段 微 不 足 道 的距 离 而 正是 这 一 段 很小 的步差 导 致 人 们 走 出 了 一 个 半 径 为 Y 的大 圈子 设 某 人 两 脚 踏 线 问 相 隔 0 1米 平 均 步长 为 0 7米 当人 在 打 圈 子时 圆圈 半 径 Y 与 步 差 为如 下 的关 系 o 0 1 上述 生动 和趣 味 的学 习材料 是学 习的最 佳 刺 激 在 这 种情 景 下 复 习 初 中 函数 定 义 引 导 学生 分 析 以上 关 系 也 是 一 个 映 射 将 函数 定 义 由 变量 说 传统定 义 引 向集 合 映射 说 近 代 定 义 学 生在 这种 情景 下 乐 于学 习 有 利 于信 息 的贮存 和概念 的理 解 2 2从 思 维 的最 近 发 展 区引入 课题 如 案例 l 中 和 角公 式 就 是辅 助 角公 式 的 思 维 最 近 发展 区 对 于一 个数 学公 式 我 们 不仅 要 能 够顺 用 而 且 还 要 能 逆 用 变用 和 活用 从 逆用 和角 公式 思维 的 最 近 发 展 区 出 发 可 将 具有某种形式的三角函数 式化简 然后逐层建 构 引入 辅助 角公 式 如案 例 2中 祖 眍原 理 和 柱 体 的体 积 公 式 就 是 锥体 体积 公 式 的 思维 最 近 发展 区 根 据 祖 眍原理 可得 等 底面 积等 高 的两 个 锥体 的体 积 相 等 从 而 任 意锥 体 的 体 积 可 转 化 为 与 它 等 底 面 积 等 高 的三棱 锥 的体 积 而 上述 等 积 定 理 和 三 棱 柱 的体 积公 式 又 是 求 底 面 积 为 s 高 为 h的 三 棱 锥 的体积 的思 维 最 近 发 展 区 再 利 用 割 补 法 便 可得 出锥 体 的体 积公 式 案例 4三垂 线定 理 学 生原有 的 认 知 结 构 中 已有 直 线 与 平 面 垂 直 的定 义 和判 定 定 理 从 思维 的最 近 发 展 区 出发 平 面的垂线 垂 直 于该 平 面 内的所 有 直线 平 面 的斜 线 呢 激 活原 有 认知结 构 它不 具有 上 述性 质 那 么 它能 否垂 直 于平 面 内 的某 些 直 线 呢 即平面 内 的哪些 直线 垂 直 于这 条斜 线 呢 激 发认 知 冲突 分 析 问题 设 Z 是 平 面a的斜 线 0是斜 足 P是 Z 上异 于 0的 一点 P A是 口的 垂 线 A是 垂 足 于是直 线 A O是 斜线 Z 在 平 面 a 的 射影 从 思维 的最 近 发 展 区 即直 线 和平 面垂 直 的判 定 和性 质 出 发 如 果 平 面 a 内的 直 线 n 垂 直 于斜线 Z 又 0 J P A 那 么 a J 平 面 P A O 从 而 a J A O 即 只要 平 面 内 的 直 线 垂 直 于斜 线在 平 面上 的射 影 即可 问题 得 以解 决 实现 了 学生 思 维 的顺应 依 托思 维 的最 近发 展 区直线 和 平 面垂 直的 判定 和性 质 恒有 J 平 面 P A O 从 而 在得 到三 垂线 定 理 的同 时 也 得 到 了三 垂 线 定 理 的逆 定 理 试验 本上 把三 垂线 定 理及 其逆 定 理整 合 为 平面 内的一 条直 线 和这个 平 面 的一 条斜 线垂 直 的充 要 条件是 平 面 内 的 这 条 直线 和 斜 线 在 平 面上 的射 影垂 直 吸 收 了近 年 来 三 垂 线 定理 教 学研 究 的成果 揭 示 了 三 垂线 定 理 及其 逆 定 理 的共 同前提 条件 要 有 平 面 的垂 线 及本 质 平 商内的直线与平面的斜线 和斜线在平面直的射 维普资讯 2 O 中学文 学麓 与学 2 0 0 3 2 教 改探 索 影 同 时垂直 是 教材 编写 的重 要 革新 2 3开 门见 山 提 出问题 问题 是 数 学 的心 脏 问题 解 决 的 教 学 已经 为数 学教 学 的重 要模 式 之一 精 心 巧妙 地 设置 问题 引 入 时开 门见 山 明确 地提 出问题 引 导学 生 分 析 解 决 问题 旨在 促 进 学 生 主 动 探 索 积 极思 维 充 分 发挥 学 生 的 主体 作 用 让 学 生在 动 脑 动 口 动 手 的活 动 中 掌 握 知 识 和 方 法 提 炼 规 律 2 4从 实 际 引入 概念 从 实际 提 出 问题 新 教材 一 般 都 是 这 样 做 的 如 集 合 概 念 的 引入 数 列 概念 的 引入 国 王奖 赏 国际 象棋 的发 明者 又如 前 面 案例 4中 函 数 概 念 的 引 入 等 等 这些 饶 有趣 味 的实 例 既创 设 了生 动 的问题 情 景 又培 养 了学 生用 数学 的 意识 我 们不 仅要 充 分利 用试 验 修 订本 上 的这 些 材料 还 要结 合 教 材尽 可 能地 恰 到 好 处地 增 编 一 些 旨在 培 养 学 生用 数学 的 意 识 的 实 际 问题 同 时 激 发 学 生 的学 习兴趣 课 题 引入 的 方 式 方 法 还 有 许 许 多 多 总 的 原 则是 从思 维 的最 近 发 展 区 出 发 创 设 问题 情 景 激 发 学 习 兴 趣 调 动 学 生 解 决 问 题 的 积 极 性 我 们 要认 真 构思 依 内容 定方 法 3教 学 的 艺术 重 在 过程 的设 计 3 1 高度 重视 过 程 的教 学 切 实 改 变 重结 果 轻 过 程 的现 象 那种 生 硬地 提 出概 念 性 质 和法 则 匆忙 地 讲完 公式 定 理后 便 急 于讲解 例 题 舍不 得花 气 力展 示知 识 的 发 生 发 展 与 形 成 过 程 的做 法 亟 待废 止 为更 好地 落 实 过程教 学 应 切实 做到 1 展示 概 念 公 理 的形 成 公 式 性 质 法 则 的 发现过 程 公 式 定理 的推 导 过程 问题 结 论 的探 索过 程 2 例题 和 习题 的选 取 应 注 意巩 固性 层 次 性 典 型性 和启 发 性 在 适 时 的 情 况 下 在 适 当 地带 一点 探 究性 综 合性 和应 用 性 以培 养学 生 的创 新 意识 和应 用 意识 3 在 解题 教 学 中 应 有 解题 活 动 的准 备 过 程 解 题方 法 的探 究 过 程 思 维 的优 化 过 程 解 题 经验 的总 结过 程 这 实 际上 是 问题 解 决 理 论 的重要 组成 部 分 案例 5两 角 和 的余 弦 除 向量 方 法 外 的 另一 种方 法 旨在 开 阔思路 推 导这一 公 式 有 大 量 的思 维 活 动 要 展 开 首 先 由学 生 猜 想 C O S a 口 在 验证 C O S a J9 c 0 s 口 c o s 后 提 出 C O Il 口 J 9 究竟 等 于 什么 1 明确 我 们研 究 的是 什 么问题 将 两 角 和 的 余弦 用单 角 a 口的三 角 函 数 正 余 弦 来 表 示 即 研 究 三 个 角 a a p的 正 余 弦 之 间 的关 系 而 不急 于将 结 论和 盘托 出 2 为什 么要用 直 角坐 标 系 中的单 位 圆来 研 究 在试 验 本 中 我 们 经 常在 直 角 坐 标 系中 研 究 角 而根据 任 意角 的三 角 函数 的 定义 角 的余 弦和 正弦就 是 角 的终 边 与 单 位 圆交 点 的 坐 标 也就是 用坐 标 法 来 研 究 我 们 的 问题 把 上述 三 角 函数之 间的 关 系转 化为 点 的坐 标之 间 的关 系 问题 来研 究 3 为什 么 要 作 一口角 这 是 难 点 需 要 突 破 在作 出 a角与 a p角后 a和 a p的余 弦 和正 弦 已转 化 为 点 的坐 标 尚缺 少 的余 弦 和 正弦 作 出 一 角 后 不仅 可 得到 p的余 弦 一p 角 与单位 圆交 点 的坐标 还可 得 到两 个大 小都 为 a 口的 圆 心 角 以 及 所 对 的 等 长 的 两 条 弦 利用 弦长公 式 便 可 得 到 四 个点 的 坐标 即三 个 角 a p a p的 正 余 弦之 间 的 等量 关 系 从 而 找 出解决 问题 的 突破 口 4 如果 直接 以 轴 为始 边 作 口角 交单 位 圆 于点 又如 何 呢 依 照上 述思 路 由 I PI P 4 l I P 2 P 3 I 可得 c o s p 1 s i n 2 p C O S 口 p 一C O S s i n 口 p 一s i n a 化简 得 c D c o s 口 p C O S s i n 口 s i n a 无 法表 出 C 0 6 a p 不 能达 到 目的 如 果用 替 换 口 得 到 的将是 C O S 一a c o s D s 口 s i n s i n a 而 这 却 是 差 角 的余 弦 公 式 同 时 也增 加 了思维 的难 度 表述 起来 也 略嫩 繁琐 这一 公式 的推 导 是 解 题 教 学 的一 个 范 例 作 为解题 活 动 的准 备过 程 至 少 要 做 两 件 事 一 是 任意 角 的三角 函数 的定 义 二 是 两 点 间 的距 离 公式 作 为解题 方 法 的探 究 过 程 要 明确 坐 标 维普资讯 教 改探 索 中学 k学蠢 与学 2 0 0 3 2 2 l 法是 解 决 本 问题 的 核 心 方 法 作 为思 维 的 优 化 过程 要 明 确 为什 么要 作 一 角 作 为 解 题 经 验 的 总结 过 程要 学 会 寻 找 等 量 关 系 的方 法 方 程 的思 想 3 2 用 皮 亚 杰 等 的 建 构 主 义 理 论 弗 莱 登 塔 尔 的 再 创 造教 学 等理 论 指 导教 学过 程 认 识 建 构 论 科 学 地 反 映 了 人 的认 知 规 律 形成 了新 的数 学 观 学 习观 和教 学 观 其 一 般模 式 是 在激 活原 有 的认 可 结构 的 基础 上 提 出新 的认识 客 体 通 过 学 生的 自主活 动 智 力 参 与 或 根 据 认 知 同 一 的 原 则 以 同化 的 形 式 把 客体 纳 入到 已 有 的 认 知 结 构 中 使 原 有 的认 知结 构 扩 充延 伸 形成 新 的认 知结 构 或激 发 认 知 冲 突 引 导 学 生 解 决 矛 盾 实 现 思 维 的 顺 应 将 原有 的 认 知 结 构 进 行 调 整 重 组 形 成 新 的认 知 结 构 其 要 点 是 学 生 自主 活 动 在 做 数 学 中学 数 学 智力 参 与 个人 体验 再创造数学 理论认 为 数 学教 育是一 个 活 动过程 在整个 活动 中 学 生应处于一种积极 创造 的状态 教师 的任 务在于引导学生探索 获得 知识 技能 和途径 的方法 培养学 生 的创造 力 案 例 6 直 线方 程 的两 点式 这 是 一 个在 教 师 引 导 下 充 分 发 动 学 生 自 主 建构 进 行再 创造 活 动 的实 例 同时 教师 也 应 在形 式 化 过程 揭示 四 种 特 殊 形 式 的 直线 方 程 的局 限性 方 面起 到点 拨 作用 1 课 题 引 入 从思 维 的最 近 发 展 区 出发 激 活原 有 的认 知结 构 提 出新 的认 知 客体 复 习 直线 的点 斜 式 方 程 的 前 提条 件 方 程 的形 式 斜截 式 的导 出方 法 这 两种形 式 的 直线 方 程 只能 表示 怎 样 的直线 提 出问题 已知 直线 Z经 过两 点 Pl l Y 1 P2 2 Y 2 l 2 你 能 求 出 直线 Z 的方 程吗 2 学 生 自主 活 动 智 力 参 与 构 建 上 述 直 线 的 方程 比较 本 问题 的条 件 和直 线 的点斜 式 方程 的 条 件 只需 创 造 条 件 求 出 直线 z的斜 率 就 可 根 据点 斜 式 可 写 出 两 点 P l l Y 1 P 2 2 Y 2 的直 线 方 程 Y Y 这 就是 同化 3 构建 模式 实 现 表 述 的 形式 化 虽然 一t 一 1 一 已是 经过 两 点 P l l Y 1 P 2 2 Y 2 的 直 线 方 程 但 就 模 式 而 言 其 建构 尚未 形 成 还 有 一 个形式 化 阶段 如果 Y Y 2 可 进一 步 变 形 为