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第 30 卷 V o l 30 第 6 期 N o 6 西南师 范大学 学 报 自然科 学版 J uorna l o f 阮 ut h w es t C hi na N o nar r lU 山 ver si ty 嘛 t uar l 段 i ene e 20 05 年 21月 D e e 2005 文章编号 10 0 0 一 5471 2 0 05 06 一 1 412 一 05 再探数学分析教学难问题 谢太光 宜宾学院数学系 四川宜宾 6440 0 7 摘要 以建构主 义为指导开 展数学 分析教学改革实验1 2年 改革举措新 力度大 以建构良好的极 限认知建构 为 中心组织教学突破了 高门槛 分层次教学 建构作业引 导 与 学习共同体的建设等措施都 明显缓解了造成教学难 的各种矛盾 关键词 数学分析 跨越 高门槛 分层次教学 建构作业 中圈分类号 G420 文献标识码 A 1 研究背景 数学分 析是数学专 业十分重要的一 门基础课 其 教学 则 是 世 界著 名 的 老 大 难 问题 为解 决 这一难 题 多年来 尤其是最近半个 世纪来 无数 专家学 者进行了艰辛的探 索和改 革 取 得了大量研 究成果 但由 于学生间学习能 力 钻 研精神以及已有知 一 识结构的差异 等 使得数 学分 析教 学难 问题仍然非 常 突 出 2 0世 纪8 0 年代末 在世界 教育 界迅速 兴起的建构 主义理论 给了我们极大的启迪和鼓舞 建构主义认 为 认识并非 主体对于客 观实在 的 简单 被 动反映 而是学习主体的一个 主 动建构的过程 即所有的知识都是建构 出来 的 在建构 过程中主体已有 的认 知结构发挥了特别重 要 的作用 并处于 不断 的发展 之 中 建构主 义 相对于 传统的刺激 反应 学习理 论是 一场深刻 的革命 于是我们以认知心理学和建构主义 为指导 开展 了长 达 1 2年的数学分析教 学改 革实验 旨在深人探 索并 尝试解 决数学分析教 学难 问题 2 实验内容与过程 2 1 实验 的第一 阶段 19 92年 秋至1 999年夏 我们 先后在 宜宾学 院数学 系的 1 9 92级 1 9 9 4级 19 96级和1998级 全为 专科 的一个 班进行了教 学改革 实验 在研 究认清 数学分 析课程 知识体系的 3大特 点 系 统庞大 结 构复 杂 概 念 艰深 入门困难 转换 多样 论证难 和新生的知识结构 与认知结构的 3个主要特点 数学结 构较 丰富 逻辑 结构较 贫乏 代数结构较 丰富 拓朴结 构较贫乏 自我 中心 突出 同化倾向明显 强于顺 化 的基础上 我 们主要采取了3项 教学改革措施 一是辩证 施 治 分类 引导建 构 二是 练习册 微 观引 导建构 三是推 进考 试 改革 强化激励 机 制 详细情况 见参 考文献巨 1三 2 2 实验 的第二 阶段 为 了发 展第一 阶段实 验的成果 解决 尚存的 问题与新出现 的间题 1 9 9 9 年秋至今 我们又先 后在 宜宾 学 院数学 系的 19 9 9级 200 1 级和 20 03级 本科 的 2个班进行了新一 轮 的教 学改 革实验 这一 阶段 主要采 取了以下 4 项新的措施 2 2 1 以建构良好的极限认知结构 为中心组织教 学 跨越 高门槛 极限的 语 言定义是数学 分析教学 中公认的一 大难 点 在第 一 阶段 的实验 中 我 们确 实比 以往 更多 地 收稿日期 ZJOS 0 4一 7 作者简介 谢太 光 194 6 一 男 四川 降吕 人 大学本科 副教授主要从事高等数学教育研究 第 6期 谢太光 再探数学分析教学难问题 1 134 关注了学习主体已有 的知识结构 并 采取了相应 的改善 极限概 念 教学 的措施 但 是对 通 过极 限教 学主体应 该建构起 怎样 的知识结构 或认知 结构我 们还 很少关注 人们都习惯于按教 材 的知识体系来讲授 来组 织教 学 经过认真研究 我 们发 现 现今 的数学分析教 材其极限知识结构 在认 知 结构 具 有上 述 特点 的主体那里 是很难 通过 很 难 适 应 的 因为它不符合认知心理学关于数学 学习的关联 原理 关联 原 理指 出 应把 各种概 念 原理联 系起来 在统一 的系统 中学习 因为概 念 的形 成是 将一 类 事物 的共 同因素抽象出来 并对 它作出相 同反应 的过 程川 根据关联原 理和主体认 知结 构 的特 点 我们大 胆 地调整了教材 的知 识体系 以 引导 主体建 构良好 的极 限认知结 构 为中心组 织教学 具体作法 是 1 做 好极限概念教 学 的前期准备 通过 教学使学生熟练 掌握 绝 对值与 不等 式的有关性质 理解 掌握 邻域 概 念 注意在学习了 有上界 数集 有界函数 等概念 后 引导学 生正确 地叙述 无 上界数集 无 界函数 等相反 的概念 帮 助他们纠正 易犯 的逻辑错误 2 将数列极限 与函数极 限概念 包括 非正常极 限 连在一起依次讲授 当然 以讲授前面 7种正常极 限为重点 对于后面2 1 种非 正常极限 只讲2至 3种 其余的启 发学生自主建构 在讲清每个 概念 的背景 内 涵与逻辑结 构的同时 注意 分析比较 它 与前面学过的概 念之 间 的联 系与差 异 尤 其 是 注 意将 各 种 极 限 的 共 同因素 抽象出来 3 宏 观指导 综合分 析 引导学 生建 构起 良好 的基本极 限认知结构 为达此目标 我们反复构思 精 心设 计了一幅 基 本极限结构 图 图1 该图 的构思遵循了下 述 3条 原则 一是主次分明 图表以完整展示 7种正常极限定义为主 以概略展示2 1 种 非正常极限定义为辅 相辅 相成 二是求同存异 高度概 括 这 条 原则既是体 现上述 关联原 理所必 需 又能大大缩 小篇 幅 便于察 看 促进联 想和知识迁 移 三是结构 严整 精美 图表 中除了 2条必 不可 少的文 字提示 之外 其余全是数学 符号 凸显极限概念 的本质 特征 整个图表 展现出一种结 构美 使人乐于观 赏 易于记忆 在学 完 2 8 种不 同类型的极限定义后 我们将 基本极限结构 图 发给 每个学生 并 对照图表 引导他 们 抽 象 出各种极 限概念 的共 同因素 V 日 V 日 正确理解其 逻辑 结构 正确理解 字母 G 或占 M 的 含义及其与函数 或 自变 量 变化 趋势 的关 系 找出并理 解某些 极限概念之 间的特殊关系 如 h m fx 一A与hm a 一A A及limf 二 A lim f 二 与limf 1 x limf 二 1imf x A与lim J一 x一x 言 f 二 的 与hml f x 一O等 这 一过程充 r J十 分激活了学习主体的数学 经验 促 成有关 结构 的分化 与重 组 通 过 自反 抽 象 以图 1为 框架的 主体的基 本极 限认知 结构逐 渐形成 得以改 善 4 在基本极 限认 知结 构形成 的基 础上再进 行 极限性 质 极限存在 条件 等 内容 的学习 仍 注 意关 联原 理 的指导运用 充实 完善主体 的极限认 知结构 2 2 2 因材施 教 分层次教学 在数学 分析教 学 中 基 础或学习 建 构 能力较 差 的学生学习难 的问题尤其 突 出 这个 问题长期未得 到 应有的重视 于是他 们便 被拖着 走 无 法摆脱困境 因此开展因材 施教和多样 化教学已势 在必行 经过认真 研究 我们从 199 9级1班和2班 专科 开始大胆地开展了 分层 次教学 的试验 改革 的思路与主要措施 是 l 调整培养与教 学目标 抓两头 带 中间 一 类是 基础较好 学习 建 构 能 力较强 的学生 称 为A 类 对 他们全面按教学 大纲 要求 另一 类是 基础较差 学习能力较弱的学生 称 为 B类 对他们 适 当降 低 论证推 理能力 的要求 更加注 重运算 能力 的培养 2 在教 学过程中注 意发挥两种培 养与 引导机 制 在极限教学 的第三阶段 宏 观指 导 综合分析结 束后 我们测试了学生掌握极 限概 念 的情况 及时要 求较差 的学生进行再学习 再建构 准备再检测 在极 限教学第四阶段 完成及 半期 考试后 主体的学习状 态及 学习效 果 明显分化 学习发展 进入 相 对 稳定 阶段 在课堂上讲授方面我们 注 意兼顾全体学生 在此基础上 进一 步强化两种 培养引 导机制 将作业 分 为必做 题和 A型 B型选作 题 对 学习状态及效 果较 好 的逐 步加强论证推理 能力 数 学能 力 的培养 充 分利用数 学 分析 练习册 微 观引导建 构l j 适 时地为他 们开 专题讲座 讲一些典型的较难 的例题 介绍重 要 的数学思 想方法 对学习状态和学习效果 较差的学生 则在 晚 自习时引导 他们 复习 加 深 理解 学 过的概 念 定理 法 则和公式 纠正作业 中 的通病 并按行 为主义的学习理论 强 化 刺 激 反应 式 的训练或测验 提高运 算 特别 是求极 限 求导 求积 分 能力 巩固基础知识 改善认知结 构 1 14 4西南师范大学学报 自然科 学版 第 30 卷 口 a n a 一召x 刻画函数的变化趋势 月AAA AA声山 盈 一 甲 且 I 曲甲 X X X X X X V V Vx M M M 日日五 广 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V V V V V V Vx l l M M M V V Vf 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 引f x 一卜 V V V V V V V V V V V V V V V V V V Vx 一M M M M M M M 丫丫丫丫丫丫丫丫丫丫x 一 J 沈0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V V Vx o戈毛兮笼 占占 V V V 0 0 0 x 呱 f 浊 f 二呱 f 忽 f 溉 f 蟋 尹 刻画自变t的变化趋势 一 2 一 矛一 V V VG O O O O O j林 尸甘 甘 日日日日 f x l G G G 厂x 一 jx 十c o fx c o f x 一c o 图 1 F ig 注 hmf x 概括 表示函数f 相 应于 6 基本 极限结构图 Ba s ieLimit 5 St r u eture x 十戈 x o o x 一加 x x了 x x x 才的 6种类型的 函数极 限 3 转变传统 的学业成绩评价 观念 因材设 考 为了考 查学 生 的推 理论 证 能力 数学分析试卷通常都 有几个 难度较 大 的证明题 若证不出来 一下便 丢掉 3 0多分 对于大部分学 生特别 是 B 类 学生这无疑是过 关 的最大障碍 本着实事求是的精神和因材施教 的原 则 经 过 改革 尝试和研究探索 我们找到了比较 理想 的因材设考 的新方案 新试卷 是这样设计的 整套试卷分为 必做题和选 作题两 大部分 必做题 大 约 7 0分 由叙述 填空 计算和讨论等题型组成 重 在考 基础知 识和基本 能力 选做题有 5一6个 2一3个 计算题 分 值分别 为 4分或5分 3个证明题 难度 较大 分值都是8一1 0分 选做题规定 至多选做 3个 这样 学得 好能 力强的学生可以主攻证明题拿高分 满分仍 是 1 0 0 分 其余考生也尽 自己最 大 的努 力有 选 择 地答 题 考 出应 有的水平 2 2 3 设 计使用 建构作业 进一步加强建构学习指导 19 92 年至 2002年教学改革实践 表明 练习册 在微 观引导学生建构方面的确发 挥了重要作用 但也 逐渐显现 出它 的缺点或不足 其一 只具体指 导解题 视野不够宽 广 实际上 许多学生做不 起题 的重要原 因之 一 就是对 刚学 的重 要定义 定理 包 括其证明 并未真正理解 并 未掌握 其二 选题太单一 只 选了证 明题 实际上 有些计算题难 度也不 小 解题 方 法和技 巧也 很重 要 讨论题和构 造举 例 题 中也有不 少好题 有 难度 的题 通 过反思和研究 在 原 练习册 的基 础上再构思 再设计 我们编写了 数学 分 析建 构作 业设计 简称 建构作 业 给 200 3级 学生使用冈 该书以认 知科学建构主义以及维果 茨基的 最近发展 区 理论为指导 其目标是 加强对数 学解题 的全面指导 帮助学 生更好 地理解 掌 握数学分析 中的数学思 想方法 促进 数学 学习观和学习方法的根 本性转变 提高数 学思维 能力 解题能力和建构 学习能力 该 书 第 6 期 谢太光 再探数学分析教学难问题 541 1 由 作业 A 与作业B 和 作业C 两部分 组成 作业A 是 为补救 练习册 的缺点一而设计的 例如 在 函 数 极 限存在 的条件 一节 作业A第 2题为 填空 教 本在证明归结原 则必要性时 是先 对极 限应 用 一定 义 然后再对极 限应 用定义 从而 证 出hmf 二 一A 在用反证法证充分性 时 为了从假 设 当 二 一 二 时f 不以A为极限 推 出矛盾 采 用了构造性证明 依次 取 一 粤 贝 存在相应 的点 认月 一一 u JJ 一 切 一 一 卜 J卜 J 口 卜 产 JJ J 一 月 外 铲 一价 一 2 乃 J J 一 H 川 使得 而 f 二 一A 一1 2 此题 的作用 在于引导学 生理清归结 原则证明的思路 领会问题解决的策略和数学思想方法 掌握证明的关键 从而提高问题解决的能力 因篇幅所限 作业B与 作业 C恕不赘述 2 2 4 努力建设一个充满 生机和活 力的 学习共同体 我们 改革 的力度很 大 如果没 有广 大 同学 支持 与积极 参 与 要顺利 推进 是 不可能 的 所以我们十分 注 重 营造 良好的教 学氛 围 密 切师生关 系 努力建设 一个充满生机和活力 的 学习共同体 其措施 包括 l 宜传数学在科技 教育和社会 生产 生 活各 方面的广泛而重要的应用 宣传数学教 育改 革 包括高 考数学 改革 巩固学生的专业思想 引导 他们树 立刻苦 学习的决心 2 正确认识数学 分析 教学难 的问题 适 时地 恰 如其 分 地 指 出教 材 教 师和学 生三方面存在 的问 题 表 明渴望 师生齐 心协力 通过 教学改革解决教学难 的愿 望和决心 课内课外 我 们抓住各种 机 会 向同学们 介绍 建构教 学 的新 观点新思想 帮 助他们 明确 教师 与学生在新型教学活动 中 在 学习共 同体 里应处的位 置 与应发挥的作用 学 会学习 3 发 扬教 学民主 尊重 学生的主体 地位 为此 在极 限概念 的第 一次测 验后 我们即在每间寝室确定 了一名 小先生 指导 他们带动帮 助其他 同学特别是 语言掌 握得 较差 的同学 学习 语言 在大 部分同学 语 言过关后 又以教 学联络 员代替了 小 先生 凡 是重要 的改 革 我们都先召集教 学联络员开会讨论 征求意 见 或进行民意测 验 小先生 和教学联络员进一步密切了教师与学 生 学 生与 学生 的关 系 促进了 学习共 同 体 的建设 3 实验结果 实践 表明 各项改革 措施 的作用 和效果如下 l 以建 构良好的极限认知 结构 为 中心组织 教学 效果显著 按此 法教 学 的 1 9 9 9级1班和2 班 20 01 级 3班和4班和2 00 3级3班和4班 第 一 学期 末 考 试极 限 定义的 正确 率 均在7 0 以上 有的班级 超 过 8 0 明显高于通常教法 的班级 大 多数 同学已建立起 良好 的基本极 限认知结构 高门槛 已基本突破 2 因材 施教 分 层次教 学得 到了学 生的广 泛认 同 效 果良好 在 对 19 9 9 级 l 班和 2班 的民意测 验 中 表示 充分 肯定 积极参 与改革 的占 6 8 7 表示 基本 赞 同 的占 2 7 9 自19 9 9级 起因材 设考 考 试成 绩均呈 正态分布 且考 试的信度和效 度都保持在 0 6或以上 普遍高于其他 试题 3 建 构作业 已初 步显现 出对学 生建 构学习的 良好 引导作用 作 业 的错误减少 特别 是难 题 的错误 减少 5 0 以上 学生叫喊作 业多 完不成 的情况 基本上没有了 学 生 数学 阅读能力 有 较大提高 多 数学 生数 学学习观正在 转变 问卷显示 认为 建构作业 对改 进学习方法 改善学习状况 很有帮 助 有较 大 帮助 有所帮助 的分别 占 3 3 3呢 3 8 6 和2 6 3 对 教学 改革持 充分肯定 和 赞 同 态度的分别 占 2 5 多和6 7 2 存在的 问题是 相 当部分 学生建 构学习的意识和 主动性 积极性还 不够 建 构作业 尚未 被多数学生 充分利 用 认 真 按 说 明使用 基本上按 说 明使用 和 主 要做作业 C 的 分 别占1 3 6 4 4 1多和2 7 1 4 学习共 同体 的建设效果不 一 有 的班级班 风学 风好 学生与我们配合很好 有 的 班级 班 风学 风 较差 总有一部 分学生不认真学习 懒 散 马虎 这 与班主任工作 及学习大环境关系较大 总而言之 1 2年教学 改革 实验总的效 果 是好的 在 得 到班主任有力 支持的班 级效果更 为 明显 例 如 委培专科班 199 6级3班 班主任 是原数 学 系 1 9 92级2班 学生 笔 者数学分析教学改革实验的首批 受益者 之 一 在她 的积极 支持下 学生认真学习 努力配合教学 改革 在第三学期期 末数 学分析统考 中 该 班平均成 绩 分别超出统招的 1 9 9 6级1班和2班 由数学功 底深厚的学校名教 师任课 1 2分和2 8分 而 1班和2班 高考总分平均分 分别比 3班高 3 4 分和3 6 分 高考数 学平 均分分 别比 3班高 42分和4 6分 又如 由 1 999 级 1班和2班 升本 同学 升 本比例 5 0 以上 编 班的新 1 9 9 9级1班 在三 四年级学习中 学习风气和数 学 1164西南师范大学学报 自然科 学版 第 30 卷 基础受 到后续课 老师 的普遍赞赏 学生邱 x 2005 年 首次考研便以总分 983 分 数学分析第一 名 的成绩考 取电子科技大学 应用数 学研 究生 4 分析与反思 从实验的总体情况看 教学改革的各项具体措施都使数学分析教学难的问题得到了 不同程度的缓解 但 问题尚未根本解决 这与实验的预期目标和人们的高期 望值还有较大差距 对此我们并 不气馁 建构主 义的卓越代表赖因德思 杜伊特教授的下述评论为 我们的实验 结果 作出了诊 释 建构主义 的 观点使科 学 教育 获益匪浅 因为建构主义激励 人们对 解决 学习困难作 多 方面的尝试 尽 管建构 主义 观 在科 学教 育 中已取 得了显著的进步 但是建构 主义的某些方面仍然没有引起人 们 足够的重 视 其中之一 是元 知 识 另 一个是关于学生 的学习态度 从建构主义角度来 看 这两个方面都非常重要 注 通过实验我 们 对这两 个方 面的重 要性都有了更深刻 的认识 进 而提出了改革 的重大 新举措困 我认为可以得 出这样 的结论 尽 管人们为改善教 与学作了各种 尝试 但是学习科学 尤其学习抽象概念 现在是 困难的 在将来也还是 困难 的川 更重 要 的是 我们实验研究 的意义 与收获 决不止 于前述 表层结果 伴随实验的反 思与理 论思辨 已促使我们的数学 教育观实现了一场 深刻 的转变 我们 的视野 更加开阔了 我们的研究 正 在跃上一个新的 平 台 我们的目标是 通过 进一步 的研究 与教育教学 改革 使数 学分析及众多类似的教学难 问题 难得更 明 白 难得 更合理 难 中有 突破 难 中有 发展 参 考文献 1 谢太光 解决 数学分析 教学难的一个新途径 J 数学教育学报 1996 2 7 0 一7 3 2 曹才翰 蔡金发 数学教育学概论 M 南京 江苏教育出版社 1 9 8 9 3 郑毓信 认知科学 建构主 义与数学教育 M 上海 上海教育出版社 1 9 9 8 4 谢太光 数学分析建构作业设计 M 北京 中国青年出版社 200 4 4 5 莱斯利 P 斯特弗 杰里 盖尔 教育中的建构主义 M 上海 华东师范大学出版社 200 2 6 谢太 光 关于高考改革的新构想 J 教育发展研究 200 5 6 2 4 一2 6 R ed is e u ss io no fth e D if f i e ultie s inTe ach ing M a them a tiealA na ly s is X IE T a i 一g u an g 印 日rt of 枷 thematl