【解析版】广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学(理)试题.doc

广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题一、选择题（40分）1（5分）（2013梅州一模）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限解答：解：复数 =，复数对应的点的坐标是（ ，）复数 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中2（5分）（2013梅州一模）设集合A=x|x22x30，xR，集合B=（2，2），则AB为（）A（1，2）B（2，1）C（2，3）D（2，2）考点：交集及其运算分析：先将A化简，再求AB解答：解：A=x|x22x30，xR=（1，3）B=2，2，AB=（1，2）故选：A点评：集合的运算经常考查，本题主要是考查交集的运算，可以借助数轴来帮助解决3（5分）（2013梅州一模）下列函数中，在（0，+）上单调递增的偶函数是（）Ay=cosxBy=x3Cy=Dy=ex+ex考点：奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用分析：根据基本初等函数的单调性及单调性，逐一分析答案四个函数在（0，+）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案解答：解：y=cosx是偶函数，但在（0，+）上有增有减，故排除A；y=x3在（0，+）上单调递增，但为奇函数，故排除B；y=y=是偶函数，但在（0，+）上单调递减，故排除C；y=ex+ex是偶函数，由于y=exex，在（0，+）上，y0，故其在（0，+）上单调递增的；正确故选D点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键4（5分）（2013梅州一模）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=（）ABCD考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：先由三视图画出几何体的直观图，理清其中的线面关系和数量关系，再由柱体的体积计算公式代入数据计算即可解答：解：由三视图可知此几何体为一个三棱柱，其直观图如图：底面三角形ABC为底边AB边长为2的三角形，AB边上的高为AM=a，侧棱AD底面ABC，AD=3，三棱柱ABCDEF的体积V=SABCAD=2a3=3，a=故选C点评：本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力5（5分）（2010浙江）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）Ak4？Bk5？Ck6？Dk7？考点：程序框图分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案解答：解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 否故退出循环的条件应为k4故答案选A点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误6（5分）（2013梅州一模）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD考点：正弦函数的对称性分析：先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令x+=即可得到答案解答：解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，是其图象的一条对称轴方程故选A点评：本小题综合考查三角函数的图象变换和性质图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视一般地，y=Asin（x+）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值7（5分）（2013梅州一模）如图所示2X2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）ABCD考点：古典概型及其概率计算公式分析：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率解答：解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有44=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有166=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=故选D点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题8（5分）（2013梅州一模）若不等式x2+2xya（x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为（）A2BCD考点：函数恒成立问题专题：综合题；压轴题；不等式的解法及应用分析：x2+2xya（x2+y2）2xy（a1）x2+ay2（a1）2+a0对于一切正数x，y恒成立，依题意，令f（t）=（a1）t22t+a，列不等式组，解之即可得答案解答：解：x0，y0，x2+2xya（x2+y2）2xy（a1）x2+ay2（a1）2+a0，令t=（t0），f（t）=（a1）t22t+a，依题意，即，解得a实数a的最小值为故选D点评：本题考查函数恒成立问题，考查转化与构造函数思想，考查解不等式组的能力，属于难题二、填空题（30分）9（5分）（2013梅州一模）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为考点：双曲线的简单性质专题：计算题；压轴题分析：由ab0，从而判断渐近线的倾斜角为，得到，再根据c2=a2+b2，得到离心率解答：解：ab0，因为两条渐近线的夹角为，所以，渐近线的倾斜角为，即，故答案为：点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题的关键是由渐近线的夹角求出a10（5分）（2013梅州一模）在2012年8月15日那天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x9905M10.511销售量y11N865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：，且m+n=20，则其中的n=10考点：线性回归方程专题：应用题分析：先求出横标和纵标的平均数，把所求的平均数代入方程中，得出m，n的关系式，题目中给出m+n=20，只要代入求解即可得到结果解答：解：=（9+9.5+m+10.5+11）=（40+m），=（11+n+8+6+5）=（30+n）其线性回归直线方程是：，（30+n）=3.2（40+m）+40，即30+n=3.2（40+m）+200，又m+n=20，解得m=n=10故答案为：10点评：本题考查线性回归方程的应用，是一个运算量比较小的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃11（5分）（2013梅州一模）展开式中的常数项为372考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x的指数为0，求出展开式中常数项解答：解：展开式中的常数项为Tr+1=2r（1）r93r=0可得r=3此时常数项为（1）=372故答案为：372点评：本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题考查计算能力12（5分）（2013梅州一模）设x，y满足，则z=x+y3的最小值为1考点：简单线性规划专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，再将目标函数z=x+y3对应的直线进行平移，可得当x=2且y=0时，目标函数z取得最小值1解答：解：作出不等式组中相应的三条直线对应的图象，如图所示可得点A（2，0）是直线2x+y=4与x2y=2的交点，点B（0，1）是直线xy=1与x2y=2的交点，点C（，）直线2x+y=4与xy=1的交点，不等式组表示的平面区域是位于直线BC的下方、AC的右方，且位于直线AB上方的区域设z=F（x，y）=x+y3，将直线l：z=x+y3进行平移，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值z最小值=F（2，0）=2+03=1故答案为：1点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+y3的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题13（5分）（2013梅州一模）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意xM（MD），有x+lD，且f（x+l）f（x），则称f（x）为M上的l高调函数如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是考点：奇偶性与单调性的综合专题：新定义分析：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=|xa2|a2，画出函数f（x）的图象，可得83a2（a2），从而可得结论解答：解：当xa2时f（x）=x2a2，当0xa2时f（x）=x，再根据奇函数图象关于原点对称可作出f（x）的图象，如下图所示：由f（x）为R上的8高调函数，知f（x+8）f（x）恒成立，由图象得83a2（a2），即a22，解得a点评：本题考查基本初等函数的性质，考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，是一个新定义问题，注意对于条件中所给的一个新的概念，要注意理解14（5分）（2013梅州一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆=2上的点到直线=3的距离的最小值是1考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离减去半径即得所求解答：解：圆=2 即x2+y2=4，圆心为（0，0），半径等于2 直线 =3即sin+cos=6 即 y+x6=0，圆心到直线的距离等于 =3，故圆上的点到直线的距离的最小值为 32=1，故答案为 1点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题15（2013梅州一模）（几何证明选讲选做题）如图O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作O的切线，切点为C，连接AC，且CPA=30，则BP=3cm考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明专题：直线与圆分析：利用切线的性质可得OCPC利用直角三角形的边角关系可得，进而即可得出解答：解：连接OC，CP与O相切于点C，OCCPOC=3，CPA=30，=6BP=OPOB=63=3故答案为3点评：熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键三、解答题（80分）16（12分）（2013梅州一模）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（1）求角C（2）若向量与共线，且c=3，求a、b的值考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理专题：解三角形分析：（1）利用三角函数的倍角公式和两角和的正弦公式即可得出；（2）利用向量共线定理、正弦定理及余弦定理即可得出解答：解：（1），化为，C（0，），解得C=（2）向量与共线，sinB2sinA=0，由正弦定理得，b=2a由余弦定理得c2=a2+b22absinC，化为a2+b2ab=9联立，解得点评：熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和的正弦公式、向量共线定理、正弦定理及余弦定理是解题的关键17（12分）（2013梅州一模）某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有甲、乙两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，为估计各项技术的达标概率，现从中抽取1000个零件进行检验，发现两项技术指标都达标的有600个，而甲项技术指标不达标的有250个（1）求一个零件经过检测不为合格品的概率及乙项技术指标达标的概率；（2）任意抽取该零件3个，求至少有一个合格品的概率；（3）任意抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求随机变量的分布列考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题：应用题；概率与统计分析：（1）记一个零件中甲项技术达标的事件为A，乙项技术达标的事件为B，求出两项技术都达标的概率为P（AB），及甲项技术不达标的概率P（），然后可求一个零件经过检测不合格的概率为1P（AB），进而由P（B）=（2）任意抽取该种零件3个，至少有一个合格品的对立事件是都不合格，利用对立事件的概率可求（3）先判断随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，然后求出各取值下的概率，即可求解分布列解答：解：（1）记一个零件中甲项技术达标的事件为A，乙项技术达标的事件为B由题意可得，两项技术都达标的概率为P（AB）=甲项技术不达标的概率P（）=因此一个零件经过检测不合格的概率为1P（AB）=1=由独立性可知，P（AB）=P（A）P（B）P（B）=即乙项技术指标达标的 概率为（2）任意抽取该种零件3个，至少有一个合格品的概率1=（3）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4P（=0）=P（=1）=P（=2）=P（=3）=P（=4）=的分布列为点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列的求解，解题的关键是利用相互对立事件的概率公式及对立事件的概率的求解18（14分）（2013梅州一模）已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB、PD的中点（1）求证：AF平面PEC；（2）求二面角PECD的余弦值；（3）求点B到平面PEC的距离考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由题意可知AP，AB，AD三边所在直线两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出图中点的坐标，取PC中点M，求出向量与的坐标，由坐标可知向量与平行，从而得到AFEM，由线面平行的判定得结论；（2）求出两个平面PEC和ECD的法向量，利用法向量所成角的余弦值求二面角PECD的余弦值；（3）在平面PEC内任取一点E，和B连线后得一向量，由公式求点B到平面PEC的距离解答：（1）证明：因为PA平面ABCD，底面ABCD是矩形，所以以A为原点，如图建立直角坐标系则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），F（），P（0，0，1）取PC的中点M，连结ME则M（），故，即AFEM，又EM平面PEC，AF平面PEC，所以AF平面PEC；（2）设平面PEC的法向量为，则，可得，令z=1，得y=1，x=1则，取平面ABCD的一个法向量为=所以二面角PECD的余弦值等于；（3），平面PEC的法向量，所以点B到平面PEC的距离d=点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角的平面角及其求法，考查了点到面的距离，利用空间向量进行证明和计算能够使问题变得简单化，但关键是掌握向量的用法理解其中的算理此题是中档题19（14分）（2013梅州一模）已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且（1）求椭圆C1的方程；（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用抛物线的标准方程即可得出焦点坐标，再利用抛物线的定义和点M在抛物线上即可得到点M的坐标；利用点M在椭圆C1上满足椭圆的方程和c2=a2b2即可得到椭圆的方程；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1x2，由点F满足，及，故四边形AEBF的面积S=SBEF+SAEF=，再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（1，0）设M（x0，y0）（x00），由点M在抛物线上，解得，而点M在椭圆C1上，化为，联立，解得，故椭圆的方程为（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1x2，把y=kx代人，可得，x20，y2=y10，且，故四边形AEBF的面积S=SBEF+SAEF=当且仅当时上式取等号四边形AEBF面积的最大值为点评：本题综合考查了椭圆抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、四边形的面积转化为三角形的面积计算、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力和计算能力20（14分）（2013梅州一模）已知函数（）当a=1时，x01，e使不等式f（x0）m，求实数m的取值范围；（）若在区间（1，+）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性专题：计算题分析：（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将x01，e使不等式f（x0）m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用1，e上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围解答：解：（I）当a=1时，可知当x1，e时f（x）为增函数，最小值为，要使x01，e使不等式f（x0）m，即f（x）的最小值小于等于m，故实数m的取值范围是（2）已知函数若在区间（1，+）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，等价于对任意x（1，+），f