数列求和的常用方法.doc

专题2：数列求和的常用方法数列求和问题，一般从观察数列通项公式出发，根据通项的特征选择合适的方法。一、公式法练习1. 已知数列,满足=1，=-，=2.求数列，的前n项和.二、分组求和法【例1】求之和.解：由于 ， 练习2.求数列，的前项和小结：在数列求和时，要认真观察通项公式是否能拆分成等差数列或等比数列之和。三、错位相减法形如（其中为等差数列，为等比数列）的数列求和问题，可用此法.【例2】求数列前n项的和.解：设 得 练习3.已知，求数列的前n项和.小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和公式求和.四、裂项相消法裂项法的实质是将数列中的通项写成两项之差，求和能消去一些项。 通项分解（裂项）如：（1） （2）(3) (4) .【例3】在数列中，求数列的前n项和.解: ， 练习4：等差数列满足：， ，求数列的前n项和【例4】求数列的前n项和.解: 设 ,则 五、倒序相加法【例5】求的和分析：由于数列的第项与倒数第项的和为常数1，故采用倒序相加法求和解：设则两式相加，得 练习5：求cos1cos2cos3cos178cos179的值.小结：对某些具有对称性的数列，可用此法.六、并项求和法【例6】已知，求数列的前n项和.解：当为偶数时， 当为奇数时，练习6. 求的值练习：1.已知数列的前项和，则_.2. 数列的前n项和 3.的前n项和为_.4. . 5.已知数列的前n项和为，且，数列中，点在直线上。（）求数列和的通项公式；（）记，求满足的最大正整数n.专题2：数列求和的常用方法数列求和问题，一般从观察数列通项公式出发，根据通项的特征选择合适的方法。一、公式法练习1. 已知数列,满足=1，=-，=2.求数列，的前n项和.二、分组求和法【例1】求之和.解：由于 ， 练习2.求数列，的前项和解：小结：在数列求和时，要认真观察通项公式是否能拆分成等差数列或等比数列之和。三、错位相减法形如（其中为等差数列，为等比数列）的数列求和问题，可用此法.【例2】求数列前n项的和.解：设 得, .练习3.已知，求数列的前n项和.解: 从而 得 即 小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和公式求和.四、裂项相消法裂项法的实质是将数列中的通项写成两项之差，求和能消去一些项。 通项分解（裂项）如：（1） （2）(3) (4) .【例3】在数列中，求数列的前n项和.解: ， 练习4：等差数列满足：， ，求数列的前n项和解：设等差数列的公差为d，因为，所以有，解得，所以.所以=，所以=.【例4】求数列的前n项和.解：设则 五、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.【例5】求的和分析：由于数列的第项与倒数第项的和为常数1，故采用倒序相加法求和解：设则两式相加，得 练习5：求cos1cos2cos3cos178cos179的值.解：设Scos1cos2cos3cos178cos179, S(cos1cos179)+(cos2cos178)(cos89cos91)cos900小结：对某些具有对称性的数列，可用此法.六、并项求和法【例6】已知，求数列的前n项和.解：当为偶数时， 当为奇数时，练习6. 求的值 答案：练习：1.已知数列的前项和，则_.2. 数列的前n项和_.3.的前n项和为_.4. . 5.已知数列的前n项和为，且，数列中，点在直线上。（）求数列和的通项公式；（）记，求满足的最大正整数n.解：（I） , 当时，即 ， , 即数列