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如何利用勾股定理求得最短距离 拉萨市第八中学 李家强ABDCEFGQ图1人教版初中八年级（下册）第十八章介绍了勾股定理的内容和它的一些运用，勾股定理主要用来解决直角三角形三条边之间的关系的一个重要定理。它在解三角函数、四边形以及实际生活中的运用也极其广泛，也是近几年全国各地中考的高频考点。其中勾股定理在解决某些出现的最短距离的问题中发挥了很好的作用。现分别举出勾股定理在长方体、圆柱体、圆锥体中是如何求得最短距离的例子，以便找出用它来解决问题的技巧和方法。例1、 如图所示,有一个长方体木箱，长为40，宽为30，高为50，点距离点C为10，一只蚂蚁从点爬行到点的最短距离是多少？【分析】这一道题从表面上看似乎与勾股定理没有什么联系，但通过仔细分析后，将长方体展开，就会与勾股定理产生联系，要解决本题必须分两种情况。ABDCEFGQ图3EFQ解： 第一种情况：将长方体右侧面展开，使得与面在同一个平面上，过点作于，连接，如图2，就是蚂蚁从点爬行到点的距离。由题意可知，则，根据勾股定理可得：，。ABDCEFGQ图2FGQH第二种情况：将上面的面展开，使得与面在同一个平面上，连接，如图3，就是蚂蚁从点爬行到点的距离。由题意可知，根据勾股定理可得：，。显然，第一种情况所求得的的值要比第二种情况所求得的的值要小，所以蚂蚁从点爬行到点的最短距离是。例2、如图4，有一个圆柱体，它的高为12，底面半径为3，在圆柱体下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，沿着圆柱体侧面爬行的最短距离是多少？（的近似值取3）AB图4CAB图5 【分析】这看上去是一个曲面的路线问题，但实际上可以通过圆柱体的侧面展开图来转化为平面上的路线问题。如图5，我们把圆柱体侧面展开成长方形，显然，“两点之间，线段最短”，蚂蚁所走的最短距离为线段的长。解：将圆柱体沿直线剪开展平，如图5所示，、两点间的最短距离是的长。，根据勾股定理得，所以。答：、两点间的最短距离是的长为。例3、如图6有一个圆锥形粮堆，其主视图是边长为8的等边三角形，粮堆的母线的中点处有一只老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处BAPC图7捕捉老鼠，求小猫所经过的最短距离是多少？ABCP图6【解析】：设圆锥底面半径为，母线长为，圆心角度数为，则有，因为轴截面为等边三角形，所以，即，所以，即，圆锥的侧面展开图为图7的下半圆，如图所示，则为直角三角形，为最短距离，根据勾股定理可得，在中，答：小猫所经过的最短距离是。参考文献：人教版八年级数学（下册） 四川出版集团、四川
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